Основы системного анализа(текст лекций)

61

ем критерия.

Однако возможность оценки альтернатив единственным критерием на практике встречается крайне редко. Гораздо чаще полное сравнение альтернатив приходится делать не по одному, а по нескольким критериям, которые к тому же часто качественно отличаются друг от друга.

Пример. При конструировании автомобиля проектировщикам нужно учитывать множество критериев: технических (скорость, маневренность, грузоподъемность и т.п.), технологических (связанных с будущим процессом серийного изготовления), экономических (определяющих затраты на производство, эксплуатацию и обслуживание машин, их конкурентоспособность), социальных (уровень шума, загрязнение атмосферы), эргономических (условия работы водителя, уровень комфорта для пассажиров) и пр.

Даже в обыденной жизни при выборе мы почти никогда не используем единственный критерий: достаточно вспомнить хотя бы затруднения при выборе подарка ко дню рождения.

Такие многокритериальные задачи не имеют однозначного общего решения. Поэтому обычно ищут способ свести такую задачу к какому-то частному виду, у которой есть одно решение. Существует несколько таких способов.

Первый способ состоит в том, чтобы многокритериальную задачу свести к однокритериальной. Это делается путем объединения критериев в один т.н. суперкритерий. Задача при этом сводится к максимизации этого суперкритерия. Однако применить этот способ можно, если критерии качественно одинаковы или близки.

Если же критерии настолько качественно различны, что нет возможности объединить их в один, тогда применяют второй способ. Он основан на том, что частные критерии обычно неравнозначны (одни из них являются более важными, чем другие). Идея состоит в том, чтобы выделить основной критерий, а остальные рассматривать как сопутствующие, дополнительные. В этом случае задача выбора сводится к нахождению условного экстремума (максимума или минимума) основного критерия при условии, что все остальные критерии фиксируются на заданных уровнях, т.е. оптимизация осуществляется по одному главному критерию с целым рядом ограничений.

Однако, так ставить вопрос можно, если различие между основным и дополнительными критериями выражено явно. Если же явно выделяющегося критерия нет, задачу решают третьим способом, ко-

62

торый называется метод уступок. Суть его заключается в следующем. Частные критерии располагают в порядке убывания их весомости. Затем берут самый важный из них и определяют наилучшую по этому критерию альтернативу. После этого просчитывается šуступкаŸ, т.е. определяется величина, на которую мы согласны уменьшить значение самого важного критерия, чтобы увеличить, насколько это возможно, значение следующего по важности критерия, и т.д. В результате оптимизация осуществляется не по одному критерию, а по всему их комплексу.

Четвертый способ применяется тогда, когда частные критерии не имеют какой-то фиксированной величины, а могут изменяться в некоторых границах. Задача при этом сводится к тому, чтобы найти альтернативу, удовлетворяющую всем граничным условиям, а если такой нет, найти наиболее близко подходящую.

И, наконец, пятый способ многокритериального выбора. Вначале договариваются о том, что предпочтение одной альтернативе перед другой можно отдавать только тогда, когда эта первая альтернатива по всем критериям лучше второй. Если же предпочтение хотя бы по одному критерию расходится с предпочтением по другим, то такие альтернативы признаются несравнимыми. В результате парного сравнения худшие по всем критериям альтернативы отбрасываются, а все оставшиеся несравнимые между собой альтернативы принимаются, и выбор на этом заканчивается. А для того чтобы из них все-таки выбрать одну альтернативу, используют дополнительные соображения, например:

вводят какие-то добавочные критерии и ограничения,

прибегают к услугам экспертов,

бросают жребий, наконец.

Бывают случаи, когда оценку какой-либо альтернативе можно дать только сравнив ее с другой. Для описания выбора в этом случае используется более общий, нежели критериальный, язык, который получил название языка бинарных отношений.

Основные предпосылки применения языка бинарных отношений сводятся к следующему:

отдельная альтернатива не оценивается;

для каждой пары альтернатив можно установить, что, либо одна из них предпочтительнее другой, либо что они равноценны, либо

63

несравнимы (последние два понятия чаще всего отождествляются);предпочтения внутри любой пары альтернатив не зависит от

остальных альтернатив, предъявленных к выбору.

В соответствии с этими предпосылками, предпочтения одной альтернативы перед другой задаются через отношения эквивалентности, порядка и доминирования.

Отношение эквивалентности говорит о том, что альтернативы по некоторым признакам равнозначны (обозначение =).

Примеры. šБыть четнымŸ, šиметь одинаковый остаток от деления на 3Ÿ равнозначность на множестве натуральных чисел; šбыть одноклассникамиŸ – на множестве учеников данной школы; šбыть легковыми автомобилямиŸ – на множестве средств автомобильного транспорта.

Отношения порядка подразделяются на отношения строгого и нестрогого порядка. Отношение нестрогого порядка характеризует такое взаимоотношение двух альтернатив, что одна из них может иметь предпочтение перед другой, а может и не иметь (обозначается). Соответственно, отношение строгого порядка говорит об однозначном преимуществе одной альтернативы перед другой (обозначение >). Отношение доминирования предполагает, что одна альтернатива имеет значительные преимущества перед другой (обозначение >>). Вполне очевидно, что строгий порядок – это частный случай доминирования.

Часто приходится также сталкиваться с ситуациями, когда предпочтение одной альтернативы другой зависит от других альтернатив.

Пример. Предпочтение покупателя между чайником и кофеваркой может зависеть от наличия в продаже кофемолки.

Возможны также такие ситуации, когда само понятие предпочтения вообще лишено смысла. Язык описания выбора в таких условиях получил название языка функций выбора. Этот язык является наиболее общим и в принципе может описать любой выбор. Однако его теория в настоящее время еще находится в стадии становления.

4.3.Коллективный (групповой) выбор

Вчеловеческом обществе единоличное принятие решений является не единственной и часто не лучшей формой выбора, поэтому

65

значительным. Например, из 100 голосующих – это 49 человек, т.е. меньшинство отличается от большинства всего на 2 голоса. То же самое, если число голосующих – 1000, 10000, и т.д. И тем не менее решение принимается этим большинством в 2 голоса. Что будет делать меньшинство, ведь решение принято без учета их мнения? В лучшем случае, оно не будет делать ничего, в худшем – будет мешать реализации этого решения. По крайней мере – помогать уж точно не будет. Поэтому по всем важным вопросам принимать решение лучше не большинством, а единогласно, консенсусом. Достижение консенсуса, как показывает мировой опыт, часто трудно, но редко невозможно.

Предлагается, например, такая весьма эффективная процедура:

вначале максимально уточняются цель выбора и формулировки альтернатив;

затем коллективно составляется тест оценки эффективности альтернатив и консенсусом принимается решение, что все согласны подчиниться результату тестирования;

после этого проводят само тестирование, получают и утверждают результат.

Пример. Законодатели одного государства не могли прийти к согласию по поводу введения смертной казни за убийство. В результате обсуждения они сначала пришли к согласию, что цель у них одна – минимизировать число жертв убийств. Как только такое согласие было достигнуто, проблема свелась к конкретному вопросу: уменьшает или не уменьшает число убийств введение смертной казни? Все согласились, что нужно провести специальное исследование, чтобы ответить на этот вопрос. Такое исследование было проведено и показало, что число убийств в ряде государств до и после введения смертной казни существенно не изменилось. После этого единогласно было принято решение смертную казнь не вводить.

При этом, если даже не удается достичь консенсуса не только по поводу самих альтернатив, но и относительно способа их проверки, то выход все равно есть: надо начать с нахождения консенсуса в вопросе – что делать дальше? В итоге консенсус, хоть и с трудностями, но практически всегда достигается.

Парадоксы голосования. Задача заведомого исключения возможности отказа от выбора из-за неполучения требуемого большинства, решается достаточно просто: надо, чтобы число голосующих было нечетным. В этом случае решение будет принято всегда. Но тут мы сталкиваемся с первым парадоксом голосования.

66

Пример. Пусть каждая из трех группировок законодателей, образующих большинство лишь попарно, выдвинули свой вариант законопроекта: а, b и с. Чтобы гарантировать большинство на каждом шаге процедуры голосования, альтернативы предъявляются попарно. Предположим, что каждая из сторон при этом руководствуется своим набором предпочтений: пусть это соответственно последовательности (a > b > c), (b > c > a), (c > a > b). После голосования по паре (а, b) в результате получаем два голоса против одного, что a > b; по паре (b, c) – b > c; по паре (с, а) – с > а. Таким образом, голосование большинством не привело к выявлению предпочтительной альтернативы: a > b > c > a. Выбор зашел в тупик.

Если же применяется процедура, при которой после рассмотрения очередной пары отвергаемая альтернатива заменяется новой, то все зависит от того, в каком порядке предъявляются альтернативы: при порядке (а, b, с) выбирается альтернатива с; при порядке (b, c, a) – а; при порядке (с, а, b) – b. В результате принятие законопроекта зависит не от большинства, и даже не от законодателей, а от организаторов голосования.

Данный парадокс голосования известен как парадокс Эрроу. Причиной его является зацикливание индивидуальных предпочтений.

Второй парадокс имеет место тогда, когда в механизм голосования вмешивается коалиция. В результате при многоступенчатом голосовании по правилу большинства коалиция, находящаяся в меньшин-

стве, может добиться принятия своего решения.

На рис. 4.1 изображено голосование по три большинством в 2 голоса из 3 на каждом этапе. Видно, что уже на втором этапе голосования меньшинство может навязы-

вать свое мнение большинству. Рис. 4.1. Голосование в коалиции Если число этапов не ограни-

чивать, то теоретически побе-

ждающее таким образом меньшинство может быть сколь угодно малым.

Пример. В 1876 г. президентом США был избран Р. Хейес (185 голосов выборщиков), а не Дж. Тилден (184 голоса), хотя на долю последнего приходился 51% голосов всех избирателей. Такие же ситуации имели место на президентских выборах 1884 и 1888 гг.

Правда, такое возможно лишь при многоступенчатом голосовании.

67

Однако, несмотря на все сложности, возникающие при голосовании, задачи группового выбора чаще все же разрешаются, т.к.:

в ряде случаев рассмотренное нами зацикливание может отсутствовать, либо могут быть заранее приняты меры по их предупреждению;

если голосование все же заходит в тупик, прибегают к т.н. šдиктаторскомуŸ принципу согласования, когда сделать выбор поручают одному из авторитетных и ответственных лиц, и некоторые другие способы.

4.4. Выбор в условиях неопределенности

Выбор в условиях неопределенности исхода. До сих пор мы говорили о таких условиях, когда последствия сделанного выбора были однозначными. В реальной практике часто бывают ситуации, когда выбор той или иной альтернативы может привести к нескольким возможным исходам. Какой из этих исходов в дальнейшем последует – в момент выбора неизвестно. Это станет ясно, когда выбор уже сделан, но тогда изменить уже ничего будет нельзя. Вопрос – как сделать наилучший выбор в таких условиях?

Метод решения таких задач основан на том, что, хотя все альтернативы имеют один и тот же набор исходов, но значение этих исходов для разных альтернатив разное. Такую ситуацию можно изобразить с помощью следующей матрицы (рис. 4.2).

тежной.

Для решения задачи необходимо, прежде всего, ввести критерий для оценки альтернатив. В данном случае, поскольку последствия выбора той или иной альтернативы неясны, оценку надо давать сразу целой строку платежной матрицы. Сравнивая затем эти оценки, мы и

68

делаем выбор.

Самым распространенным критерием выбора является здесь критерий выбора šнаименьшего из золŸ. Если платежная матрица составляется из выигрышей, то в каждой строке матрицы выбирается наименьшее значение (min qij), которое характеризует гарантированный выигрыш в самом худшем случае. Этот наименьший выигрыш и есть оценка альтернативы xi. Затем среди всех этих наименьших значений по строкам выбирается наибольшее значение (max min qij), а альтернатива, соответствующая этому значению, признается оптимальной. Такой критерий называется максиминным критерием (выбирается максимум из минимумов). Если платежную матрицу составляют не из выигрышей, а из проигрышей, то же самое осуществляют по минимаксному критерию (выбирается минимум из максимумов). Существуют и другие, промежуточные, критерии оценки.

Выбор в условиях статистической неопределенности. Существует также класс задач выбора, в которых неопределенность остается даже после того, как проведена серия экспериментов. Дело в том, что результаты измерений связаны с интересующим нас аспектом явления не непосредственно, а в совокупности с другими факторами, которые невозможно проконтролировать.

Пример. Пусть требуется знать высокоточное значение веса некоторого предмета. Неоднократное его взвешивание на аналитических весах даст хоть и близкие, но разные значения, т.к. на показания весов оказывают влияние не только вес самого взвешиваемого предмета, но и такие сторонние факторы как трение, тепловой режим, течение струй воздуха и т.д.

Аналогичная ситуация имеет место и при классификации объек-

тов.

Например, если требуется подобрать для имеющихся экспериментальных данных наиболее подходящую математическую модель.

Во всех таких задачах есть общее – необходимость выбора на основании прямых или косвенных, но обязательно šзашумленныхŸ данных. В таких случаях проблема выбора состоит в том, чтобы определить – какое именно значение интересующей нас величины принять за истинное.

Так как информация о случайном объекте, выраженная в статистической форме, содержится, как мы уже говорили, в распределении вероятностей, то любая статистическая задача, по существу, может

69

быть сведена к выбору подходящего распределения из некоторого множества известных распределений и дальнейшему расчету параметров этого распределения и получению на этой основе информации об изучаемом случайном объекте. Это – в теории.

Правила ¡статистической техники безопасности¢. Однако когда теоретические методы начинают применяться на практике, любой вариант выбора, в том числе и статистический, сопровождается разного рода šловушкамиŸ. Некорректное применение статистических методов к решению реальных проблем способно настолько извратить суть изучаемых явлений, что появилась даже известная шутка: šЕсть три вида лжи ложь, наглая ложь и статистикаŸ.

Причин некорректного применения статистических методов немного, и их знание необходимо для исследователя как своего рода šинструкция по технике статистической безопасностиŸ.

1.Статистический вывод по своей природе является случайным, и хотя он может иметь высокую надежность и точность, но никогда не бывает абсолютно достоверным.

Этот факт в статистике и не скрывается. Статистический вывод может быть ошибочным, но мы всегда знаем и можем изменять степень этих ошибок.

2.Качество решения на выходе статистической процедуры зависит от того, что подается на ее вход.

Пример. Известны случаи, когда в таблицы или протоколы наблюдений вносились произвольные (проспавший лаборант) или нужные кому-то (недобросовестность) значения. Статистическая обработка таких šданныхŸ, конечно, мало чего стоит, но виновата в этом не статистика.

3.Часто по незнанию статистической обработке подвергаются данные, не имеющие вероятностной природы.

Этот факт иногда трудно обнаружить, но при малейших сомнениях следует к результатам обработки относиться как к ориентировочным данным.

4.Использование необоснованно-усиленной шкалы измерений может привести к снижению качества статистических выводов.

Если действительный уровень экспериментальных данных не очень ясен, лучше обработать их несколькими способами. Если выводы получаются разными, то это значит, что измерительная шкала выбрана неправильно.

70

5. Совершенно правильный статистический вывод может иметь неверную или неизвестную содержательную интерпретацию.

Пример. Одно из английских статистических исследований показало, что главным фактором, влияющим на урожайность клевера, оказалось ... число старых дев в округе. Подобная связь вначале показалась абсурдом, однако позднее было выяснено, что английские старые девы держат по несколько кошек, а мыши любят разорять гнезда шмелей – основных опылителей клевера.

Выбор в условиях расплывчатой неопределенности является наиболее сложной задачей выбора. До настоящего времени рассмотрено лишь незначительное число таких задач, однако работы в этом направлении ведутся достаточно интенсивно.

4.5. Достоинства и недостатки идеи оптимальности

Во всех рассмотренных нами вариантах задач выбора проблема состояла в том, чтобы в исходном множестве найти наилучшие в данных условиях, т.е. оптимальные, альтернативы.

Достоинства оптимизационного подхода. Понятие оптимальности сейчас прочно вошло в практику проектирования и эксплуатации технических систем, широко используется в административной и даже общественной практике, стало понятием, известным почти каждому человеку. Понятие šоптимальностиŸ, вообще говоря, имеет строгое математическое обоснование, однако различие между строго научным и šобщепринятымŸ, житейским пониманием оптимальности совсем невелико. Конечно, такие выражения, например, как šнаиболее оптимальныйŸ (оптимальный – это уже означает наиболее лучший) или šдостижение максимальной прибыли при минимальных затратахŸ (такого не может быть, т.к. оптимизация может производиться лишь по одному из критериев при заданном уровне остальных) математически некорректны, однако как только дело доходит до конкретной оптимизации, все формулировки легко исправляются.

Знание параметров оптимальной альтернативы позволяет легко оценить современное состояние техники, выявлять направления ее дальнейшего развития, иметь представление о пределах ее возможностей. Часто бывает, что оптимизация не приводит к существенному улучшению качества. Это означает, что достигнутый уровень качества уже сейчас близок к оптимальному. Однако часто оптимизация вскрывает значительные резервы улучшения качества: разрыв между