Целочисленное

1

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Задача линейного целочисленного программирования формулируется следующим образом:

найти такое решение (план)

Х = (x1, x2, ..., xn), при котором линейная функция

n

L c j x j

j 1

принимает максимальное или минимальное значение при ограничениях

n

aij x j bi , i = 1, 2, ..., m

j 1

x j 0 , j = 1, 2, ... n

x j - целые числа, j = 1, 2, ... n.

Заметим, что последнее условие может накладываться не на все неизвестные и тогда говорят о частично целочисленных задачах.

Где же могут возникнуть такие задачи?

Естественно, при решении ряда задач оптимального планирования искомые величины могут быть только целочисленными. Такие задачи связаны с определением численности работников в структурных подразделениях предприятия, количеством станков в заводском цехе, объемом производства дорогой крупногабаритной, неделимой продукции (подводных лодок, вертолетов, угольных комбайнов) и т.д. Пытаться округлять получаемые оценки для объема выпуска некоторого продукта в ту или иную сторону неразумно: или столкнемся с нехваткой сырьевых ресурсов, или избыточные ресурсы можно использовать на выпуск другого продукта.

Иногда встречаются задачи, где некоторая величина хs может принимать лишь какие-то дискретные значения, например, +1, 0 или -1. Если провести замену хs=1 z1+0 z2 -1 z3 и наложить требования

z1+ z2 +z3 =1, z1, z2 , z3 0 –целые числа,

то получим эквивалентную задачу целочисленного программирования. К подобным относятся задачи с фиксированными размерами производимых или закупаемых партий каких-то продуктов

Достаточно часто возникают задачи с так называемыми булевыми переменными, решениями которых являются суждения типа

2

«да-нет». Если значению «да» сопоставить единицу, а «нет» - ноль, то добавлением условий 0 хs 1, хs –целое мы опять-таки получаем целочисленную программу.

Если целевая функция и ограничения в таких задачах линейны, то указанные замены сохраняют линейность и идет разговор о задачах линейного целочисленного программирования.

Встречаются задачи, где целевая функция содержит нелинейные элементы типа

(здесь величина В определяет непосредственные затраты на единицу производимой продукции, тогда как А – затраты на подготовку производства, отсутствующие в периоды производственного простоя).

Если ввести новую переменную 0 1 и потребовать ее целочисленности, то заменой С(х)=А +В х мы получаем целочисленную линейную программу с числом переменных на 1 большимЧасто. задачи целочисленного программирования называют задачами дискретного, или диофантова1 программирования.

2. МЕТОД ГОМОРИ

Сущность упомянутого метода заключается в построении дополнительных ограничений, «отсекающих» найденные нецелочисленные решения (нецелочисленные оптимальные планы) задачи, но «не отсекающих» ни одного целочисленного плана. Мы пользуемся термином «отсекает» в смысле «делает неприемлемым», «делает недопустимым», «делает не удовлетворяющим новой системе условий».

Хотя идея такого подхода принадлежит Дж.Данцигу2 и Р. Гомори3, достаточно эффективная ее реализация с гарантией конечности процесса отсечений справедливо называется методом Гомори.

1 Диофант Александри́йский ( III век н. э.)— древнегреческий математик. Основное его произведение «Арифметика», содержащее множество интересных задач иметодовихрешения, по существу заложило основы символьной математики ( алгебры), в дальнейшем развитые Ф.Виета и П. Ферма. Одна из главных задач этой книги - поиск целочисленных (рациональных, по Диофанту) решений т.н. неопределённых уравнений.

2 Джордж Бернард Данциг ( 1914 — 2005)– видный американский математик, в годы Второй мировой войны занимался механизацией процесса планирования поэтапного развертывания, подготовки и тылового снабжения. В своих работах

3

Алгоритм решения задачи линейного целочисленного программирования этим методом определяется следующими действиями.

1.Решаем поставленную задачу обычным симплексным методом без учета условия целочисленности. Естественно, что если все компоненты оптимального плана окажутся целочисленными, то он дает решение поставленной задачи. Столь же очевидно, что и обнаружение неразрешимости задачи при отказе от требования целочисленности свидетельствует о неразрешимости задачи целочисленного программирования.

2.Если же среди компонент найденного оптимального решения есть нецелые, то к ограничениям задачи добавляем новое ограничение, обладающее следующими свойствами:

- оно должно быть линейным; - должно отсечь найденный оптимальный нецелочисленный

план;

- не должно отсекать ни одного целочисленного плана.

Для построения такого ограничения Р.Гомори предлагает выбрать компоненту оптимального плана с наибольшей дробной частью и по соответствующей этой компоненте k-й строке симплексной таблицы (k-му уравнению) построить ограничение вида

[xj], [zkj] - целая часть, не превосходящая xj и zkj соответствен-

но.

Обратите внимание на то, что [2.57] =2, но [-2.57] = -3 и соответственно значения fkj равны 0.57 и 0.43..

Так, если выбранное уравнение имеет вид

40-50-х годов прошлого века создал симплексный метод в современной форме и, вместе с Л.В.Канторовичем, является создателем линейного программирования (термин введен в1949 г.).

3 Ральф Гомори (род. 7 мая 1929, в Нью-Йорке). Окончил Кембриджский университет, в 1954 году получил докторскую степень по математике в Принстонском университете. Вернувшись на работу в Принстон после службы во Флоте (1954-57), занялся математическими методами исследования операций и создал первые алгоритмы отсечения планов (cutting-plane algorithms). С 1959 г. работал в IBM, до 2007 года возглавлял исследовательские работы этого гиганта компьютерного мира.

4

3.14 = - 2.57 х1 + х2 + 3.12 х3 - 4.12 х4 то получаем новое (дополнительное) ограничение

0.14= 0.43 х1 + 0.12 х3 +0.88 х4 –S, S 0.

3.Составленное ограничение присоединяем к имеющимся в симплексной таблице, тем самым получая расширенную задачу. Поскольку для продолжения ее решения опять возникает вопрос о вы-

боре начального опорного плана, то для включения в число

z ij 0 zij

достигается по дополнительной строке, то эту строку (уравнение) разрешаем относительно выбранной переменной и исключаем ее из остальных (получен опорный план для расширенной задачи). Если же величина не соответствует дополнительной строке, то приходится вводить в нее искусственную переменную и надеяться, что в дальнейшем эта переменная покинет базис (этого не случится, если новое множество планов окажется пустым – новая система ограничений4.Повторяемпротиворечива)упомянутые. действия 2-3 до получения целочисленного решения или установления неразрешимости задачи.

Существует доказательство конечности этого процесса, но предсказать заранее количество таких шагов невозможно. Все зависит от количества нецелочисленных планов задачи и ее размерности (хотя многие задачи малой размерности решаются весьма долго).

Необходимо сделать некоторые замечания:

1)если для дробного xj обнаружится целочисленность всех коэффициентов соответствующего уравнения (строки), то задача не имеет целочисленного решения;

2)если дополнительная переменная S* вошла в число базисных, то соответствующие ей строку и столбец можно удалить (соблюдение этого правила сохраняет размерность решаемой задачи в разумных пределах – число уравнений не превысит m+n – суммы числа уравнений и переменных в исходной задаче).

3.ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ГОМОРИ

5

Задача: Для приобретения нового оборудования предприятие выделяет 19 ден.ед. Оборудование должно быть размещено на площади, не превышающей 16 м2. Предприятие может заказать оборудование двух видов: машины типа »А¼ стоимостью 2 ден. ед., требующие производственную площадь 4 м2 и обеспечивающие производительность за смену 8 т продукции, и машины типа »В¼ стоимостью 5 ден.ед., занимающие площадь 1 м2 и обеспечивающие производительность за смену 6 т продукции.

Требуется составить оптимальный план приобретения оборудования, обеспечивающий максимальную общую производительность.

Обозначив через x1, x2 количество приобретаемых машин соответственно типа »А¼ и »В¼ и через L - их общую производительность, получаем математическая модель задачи:

max L = 8x1 + 6x2

при ограничениях:

2x1 + 5x2 19

4x1 + x2 16 x1 0, x2 0

x1, x2 - целые числа

Решаем задачу симплексным методом без учета целочисленности (предполагаем, что читатель знаком с технологией этого метода).

Получен оптимальный нецелочисленный план Хопт = (61/18; 22/9). Lmax = 376/9.

Т.к. максимальной дробной частью обладает компонента плана х2:, относительно которой разрешено первое уравнение (4/9 > 7/18), дополнительное ограничение записываем по первой строке, получая

4/9 = 2/9x3 + 8/9x4 - S1, S1 0 - первое ограничение Гомо-

ри

(подставьте найденный оптимальный план в это условие и убедитесь в его »отсечении¼). Составленное уравнение дописываем к уже имеющимся в симплексной таблице.

Теперь имеем новую задачу линейного программирования, в которой 3 ограничения на 5 неотрицательных переменных. Для получения опорного плана этой задачи необходимо найти третью ба-

обнаружив ее соответствие дополнительной строке (третьему уравнению), не прибегая к искусственной переменной, выражаем х4.из этого уравнения и получаем опорный план расширенной задачи.

8

Минимальное значение = 2, что соответствует дополнительной строке, и после очередных симплексных преобразований получаем:

Обнаружив оптимальность, но нецелочисленность найденного плана, строим

1/2 = 1/4S3 - S4, S4 0 - четвертое ограничение Гомори.

Выявив намерение ввести в базис переменную S3, обнаружива-

Получен оптимальный целочисленный план Х8 = (3; 2; 3; 2); Lmax = 36.

В чем же результат столь длительного решения?

Экономическая интерпретация: согласно полученному решению, предприятию необходимо закупить 3 машины типа »А¼ и 2