1.5. Критерий устойчивости Гурвица

Наиболее распространенная в технической практике форма алгебраического критерия устойчивости известна под названием критерия Гурвица. Этот критерий формирует условия устойчивости в форме определителей.

Таблица составляется по следующему правилу: по главной диагонали выписываются последовательно коэффициенты характеристического уравнения, начиная с Столбцы таблицы, начиная с главной диагонали, заполняются вверх по возрастающим индексам, вниз по убывающим: все коэффициенты с индексами ниже нуля и выше степени уравнениязаменяются нулями.

(1)

Его характеристическое уравнение третьей степени системы регулирования имеет вид:

++р +=0 (2)

Условия устойчивости будут:

; ;(3)

= 0,

откуда

Окончательно получаем условия:

0, 0;(4)

Следовательно, для устойчивости системы третьего порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительны, и чтобы определитель второго порядка был положителен.

1.6. Критерий устойчивости Михайлова

Основное преимущество частотных методов заключается в их большой наглядности.

Частотные критерии устойчивости можно разделить на 2 группы:

1. Характеризует устойчивость замкнутой системы;

2. Характеризует устойчивость разомкнутой системы.

Частотные критерии являются графико-аналитическими, они позволяют определить устойчивость замкнутой системы при отсутствии характеристического уравнения и передаточных функций системы, используя экспериментально полученные характеристики.

Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали в левой полуплоскости.

Дано характеристическое уравнение:

+ (5)

Заменяем в характеристическом уравнении комплексную переменную Р мнимой переменной jw. Получим функцию мнимого переменного jw, в которой w может принимать любое значение от +∞ до -∞.

A(j) =(j+(j+(j) += 0 (6)

Выделяем мнимую и действительную части системы:

Re(j) = … - вещественная часть функцииA(j); (7)

Jm(j) = (…) - мнимая часть функцииA(j); (8)

A(j) =- модуль функцииA(j);(9)

arctg – фаза или аргумент функцииA(j). (10)

Годограф Михайлова для устойчивых систем называется правильным и имеет следующие особенности:

1.Он состоит из двух ветвей, соответствующих изменениям от 0 до +∞ и от 0 до -∞. Ветви симметричны, так как вещественная часть функции A(j) представляет собой четкую функцию , а мнимая ее часть является нечетной функцией. Поэтому достаточно исследовать только одну ветвь годографа (измерение от 0 до +∞).

2.При =0 получаем:

Re(j) = иjm() = 0,

т. е. обе ветви годографа начинаются в точке, расположенной на положительной вещественной полуоси.

3.При изменении w от 0 до +∞ кривая годографа поворачивается против часовой стрелки на угол поочередно обходя «» квадрантов комплексной плоскости, где𝚗 – степень характеристического уравнения системы.

Линейная система 𝚗 – го порядка устойчива, если при изменении w от 0 до ∞ годограф Михайлова последовательно обходит 𝚗 квандрантов комплексной плоскости против часовой стрелки, начинаясь в точке на положительной вещественной полуоси и нигде не проходят через начало координат.

Если годограф обходит меньше чем 𝚗 квадрантов или при обходе нарушается последовательность перехода его из квадранта в квадрант, то система будет неустойчивой.

Если годограф проходит через начало координат, система будет на границе устойчивости.