2. Решение задачи линейного программирования вручную

   1. Графический способ решения задачи линейного программированя

1. Переходим от системы неравенств содержащей ограничения, к системе уравнений.

2. Строим соответствующие графики функций представленные прямой линией.

   1. Находим парные решения для уравнений. ;,Получаем что прямая, заданная уравнением, проходит через точки (3;0) и (2;3);

   2. Откладываем точки на координатной плоскости и строим график (прямую) проходящий через эти точки.

3. Определяем область решения. Берём произвольную точку на плоскости координат B(1; 1) и подставляем значения в первоначальное неравенство, если после решения неравенство верно, то полуплоскость которой принадлежит точка B, будет являться областью решения. Если неравенство ошибочно, то областью решения будет противоположная полуплоскость. →Неравенство ошибочно.

Рисунок 5‑8 определение области решения

4. Аналогичным образом находим области решения для остальных уравнений.

Рисунок 5‑9 Области рещения всех неравенств

5. Выделяем общую область допустимых решений, отвечающую всем ограничениям, поставленным в условиях задачи.

Рисунок 5‑10 Общая область решения

6. Для нахождения экстремума целевой функции, от начала координат строим вектор градиент N(4; 6). Перпендикулярно ему строим вспомогательную линию Z, проходящую через вершины полученной области. Так как целевая функция задачи минимизация то, искомым оптимальным решением будет точка A, полученная пересечением области решения и вспомогательной линии, построенной первой по направлению вектора градиента.

Рисунок 5‑11 Нахождение точки минимума

Координаты точки А и будут являться искомыми значениями необходимыми для решения задачи. Для нахождения координат, необходимо решить систему уравнений, состоящую из функций графиков, дающих в пересечении точку А.

7. При решении системы уравнений используем метод подстановки. Для этого:

   1. Выразим из первого уравнения.

   2. Подставим во второе уравнение .

   3. Находим из полученного уравненияПолученное значение подставляем в одно из исходных уравнений (первое) и находим

В результате решения системы получили

8. Найдём значение целевой функции используя полученные значения Z(x) = 4·1.64+6·4.2 =31.6

Ответ. Наименьшие затраты 31.6 ден. ед. достигаются при составление рациона из

1.6 кг корма 1-го вида и 4.2 кг корма 2-го вида в сутки.

2. Решение задачи линейного программирования симплекс методом

1. Приведем математическую модель задачи представленную в виде уравнений к каноническому виду.

Вводим дополнительные переменные: чтобы неравенства

преобразовать в равенства. Чтобы выбрать начальный базис, вводим искусственные переменныеи очень большое число M (M → ∞). Решаем М методом.

2. Заполняем первую симплекс таблицу.

Таблица 3 Первая симлекс таблица

Сб	Б	В	4	6	0	0	0	M	M	M	Q
M		9	3	1	-1	0	0	1	0	0
M		10	1	2	0	-1	0	0	1	0
M		8	1	6	0	0	-1	0	0	1
L		Z
∆

При расчёте опорного плана используем M=1000. ;

3. Рассчитываем опорный план таблицы.

; ; ; ; ; ; ; ; ;

Поскольку есть положительные значения ∆, то план не оптимален.

4. Находим разрешающий элемент таблицы №1

Рисунок 5‑12 Таблица №1 (нулевой шаг)

Разрешающая строка Разрешающий столбец

Разрешающий элемент

Максимальное положительное значение имеет =8994, следовательно, столбец- Разрешающий. Найдём разрешающую строку, выделив наименьший положительный элементQ.

На пересечение разрешающего столбца и строки получаем разрешающий элемент =6.

5. Заполняем вторую симплекс таблицу.

   1. Разрешающую строку делим на разрешающий элемент и записываем на своем месте.

   2. Обнуляем остальные элементы разрешающего столбца

   3. Оставшиеся элементы таблицы находим по правилу прямоугольника где- Разрешающий элемент.….

   4. Рассчитываем опорный план второй таблицы (аналогично первой).

Рисунок 5‑13 Таблица №2 (первый шаг)

Поверяем новый план на оптимальность. Так как решение не найдено, возвращаемся к пункту 4.

При использование для расчётов табличного процессора MS Excel, с использованием маркера автозаполнения необходимо ввести следующие формулы

1. Для расчета элементов разрешающей строки «=C5/$E$5». Где: С5 – ячейка элемента в предыдущей таблице. $E$5 – ячейка разрешающего элемента с абсолютной адресацией

2. Для расчёта свободных элементов по правилу прямоугольника «=($E$5*E4-E$5*$E4)/$E$5». Где: $E$5 – ячейка разрешающего элемента с абсолютной адресацией E4 - ячейка элемента в предыдущей таблице E$5 – ячейка элемента находящегося в одном столбце с искомым элементом и в одной строке с разрешающим элементом. $E4 - ячейка элемента находящегося в одном столбце с разрешающим элементом и в одной строке с искомым элементом.

Рисунок 5‑14 Решение задачи Симлекс-методом с использованием MS Excel

Опорный план, составленный по последней симплекс-таблице, является оптимальным, т.к. все значения ∆ меньше или равны нулю.

6. Записываем полученный результат в ответ. Ответ: Оптимальная стоимость дневного рациона составляет 31.6ден. ед. при приобретении 1.6 кг. корма 1-го вида, и 4.2 кг. корма 2-го вида.