Karmazin_-_Teoria_Igr_Uchebnik / P12_3

Тема 12. РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ИГР

Широкий круг прикладных задач принятия решений в условиях конфликта формализуется в виде матричных игр. Оказывается, что любая матричная игра сводится к решению некоторой пары взаимно двойственных задач ЛП.

Общее описание матричной игры таково. У игрока 1 имеется набор из стратегий, нумеруемых числами ; у игрока 2 имеется стратегий, нумеруемых числами . Если игрок 1 выбрал стратегию , а игрок 2  стратегию , то выигрыш 1-го игрока равен числу (это может быть и проигрыш, если ). Матрица называется матрицей игры, упорядоченная пара стратегий  ситуацией. Ситуация называется приемлемой для игрока 1, если . Аналогично, ситуация приемлема для игрока 2, если . Ситуация, приемлемая для обоих игроков, называется равновесной, т.е.  равновесная, если

. (1)

Из (1) следует, что равновесная ситуация представляет собой седловую точку матрицы . Стратегии и , входящие в равновесную ситуацию , называются соответственно оптимальными стратегиями 1-го и 2-го игроков.

Число называется нижним значением игры, а число  её верхним значением.

Пусть  ситуация приемлемая для игрока 1, тогда ; если же приемлема для игрока 2, то . Указанные стратегии и будем называть гарантирующими соответственно для игроков 1 и 2.

Легко показать, что в общем случае .

Теорема 1. Для того чтобы матрица имела седловую точку, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство .

Если игра с матрицей имеет седловую точку, то число будем называть значением игры.

Процесс отыскания седловой точки в матрице можно представить схемой:

Пример 1. Найти седловую точку в матрице .

Так как , то седловой точки в матрице нет. При этом  гарантирующая стратегия 1-го игрока, а  2-го игрока.

Таким образом, в общем случае возникает задача раздела между игроками величины . Оказывается, что игроки должны в этом случае выбирать свои стратегии случайно.

Под смешанной стратегией игрока 1 будем понимать такой вектор , что

, (2)

. (3)

Аналогично, под смешанной стратегией игрока 2 будем понимать вектор такой, что

, (4)

. (5)

Вектор будем называть -й чистой стратегией игрока 1, а вектор  -й чистой стратегией игрока 2.

Определим билинейную функцию

,

где и  произвольные смешанные стратегии игроков 1 и 2 соответственно. Функция называется функцией выигрыша для игрока 1.

Пусть и  множества смешанных стратегий 1-го и 2-го игроков соответственно.

Решением матричной игры называется такая пара смешанных стратегий , что

.

При этом и называются оптимальными смешанными стратегиями соответствующих игроков, а величина  ценой игры.

Теорема 2. Любая матричная игра с матрицей разрешима в смешанных стратегиях, т.е. существует седловая точка функции в области .

Теорема 3. Для того чтобы была оптимальной смешанной стратегией 1-го игрока матричной игры с матрицей и ценою игры , необходимо и достаточно выполнение следующих неравенств:

. (6)

Аналогично для 2-го игрока: чтобы была оптимальной смешанной стратегией 2-го игрока, необходимо и достаточно выполнение следующих неравенств:

. (7)

Теорема 4. Пусть дана матричная игра G₁ с матрицей и ценой . Тогда оптимальные смешанные стратегии игроков матричной игры G₂ с матрицей , где , совпадают с оптимальными смешанными стратегиями соответствующих игроков в игре G₁, а цена игры G₂ равна .

Сведение матричной игры к задаче ЛП. Пусть дана матричная игра с матрицей . Будем предполагать, что цена игры положительная. Это условие не нарушает общности, так как если положить , то элементы будут заведомо положительными. При этом цена игры с матрицей будет также положительной. Осталось принять во внимание теорему 4.

Согласно теореме 3 оптимальные смешанные стратегии и соответственно 1-го и 2-го игроков и цена игры должны удовлетворять соотношениям (2), (3), (6) и (4), (5), (7) соответственно. Разделим все эти уравнения и неравенства на и введем обозначения:

.

Тогда получим задачи:

,

.

Поскольку первый игрок стремится найти такие значения и, следовательно, , чтобы цена игры была максимальна, то решение первой задачи сводится к задаче ЛП:

(8)

Аналогично вторая задача сводится к задаче ЛП:

(9)

Решив эти задачи, получим значения и , а также величину . Тогда смешанные стратегии, т.е. значения и , получаются по формулам:

. (10)

При этом заметим, что достаточно решить лишь одну задачу ЛП например, (9). Решение другой (двойственной к исходной) задачи получаем исходя из теории двойственности.

Пример 2. Найти решение игры, заданной матрицей

.

Сначала заметим, что матрица не имеет седловой точки, так как . Следовательно, игра неразрешима в чистых стратегиях.

Прибавим ко всем элементам матрицы число . В результате получим матрицу , в которой все элементы положительны:

.

Таким образом, игра с матрицей имеет заведомо положительную цену. Используя матрицу , запишем задачу ЛП вида (9):

(11)

Задачу (11) с помощью дополнительных неотрицательных переменных приводим к каноническому виду:

(12)

Задача (12) имеет очевидное опорное решение с единичным базисом . Решим эту задачу симплекс-методом. Результаты вычислений запишем в симплекс-таблицы 1  3.

Таблицы 1-3

	№	Базис	Сбаз	A0	1	1	1	1	0	0	0
					A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7
¬	1	A5	0	1	"4"	3	4	2	1	0	0
	2	A6	0	1	3	4	6	5	0	1	0
	3	A7	0	1	2	5	1	3	0	0	1
	4	-	-	0	-1	-1	-1	-1	0	0	0
								¯
	1	A1	1	1/4	1	3/4	1	1/2	1/4	0	0
¬	2	A6	0	1/4	0	7/4	3	"7/2"	-3/4	1	0
	3	A7	0	1/2	0	7/2	-1	2	-1/2	0	1
	4	-	-	1/4	0	-1/4	0	-1/2	-1/4	0	0
	1	A1	1	3/14	1	1/2	4/7	0	5/14	-1/7	0
	2	A4	1	1/14	0	1/2	6/7	1	-3/14	2/7	0
	3	A7	0	5/14	0	5/2	-19/7	0	-1/14	-4/7	1
	4			2/7	0	0	3/7	0	1/7	1/7	0

_{Вводимые в базис и выводимые из базиса векторы обозначены стрелками на краях таблицы, ведущие элементы преобразований выделены жирным шрифтом и кавычками.}

Так как в табл. 3 все оценки неотрицательные, то получено оптимальное решение задачи (12) с базисом , оптимумом и . Отбросив значения дополнительных переменных, получим оптимальное решение задачи (11) оптимум и .

Учитывая, что задача (12) (а значит и (11)) является двойственной к задаче ЛП вида (8) с матрицей , получим, что вектор определяется как решение системы:

Откуда . Далее, учитывая формулы (10), получаем ; ; . Кроме того, так как , то цена игры с исходной матрицей равна .

Таким образом, игра с матрицей решена:

 оптимальная смешанная стратегия игрока 1;

 оптимальная смешанная стратегия игрока 2;

 цена матричной игры.

Задание. В задачах 12.1  12.114 для игры, заданной платежной матрицы _, найти: нижнее и верхнее значения игры; оптимальные смешанные стратегии обоих игроков; цену игры.

12.1 A=		12.2 A=
12.3 A=		12.4 A=
12.5 A=		12.6 A=
12.7 A=		12.8 A=
12.9 A=		12.10 A=
12.11 A=		12.12 A=
12.13 A=		12.14 A=
12.15 A=		12.16 A=
12.17 A=		12.18 A=
12.19 A=		12.20 A=
12.21 A=		12.22 A=
12.23 A=		12.24 A=
12.25 A=		12.26 A=
12.27 A=		12.28 A=
12.29 A=		12.30 A=
12.31 A=		12.32 A=
12.33 A=		12.34 A=

12.35 A=		12.36 A=
12.37 A=		12.38 A=
12.39 A=		12.40 A=
12.41 A=		12.42 A=
12.43 A=		12.44 A=
12.45 A=		12.46 A=
12.47 A=		12.48 A=
12.49 A=		12.50 A=
12.51 A=		12.52 A=
12.53 A=		12.54 A=

12.55 A=		12.56 A=
12.57 A=		12.58 A=
12.59 A=		12.60 A=
12.61 A=		12.62 A=
12.63 A=		12.64 A=
12.65 A=		12.66 A=
12.67 A=		12.68 A=
12.69 A=		12.70 A=
12.71 A=		12.72 A=
12.73 A=		12.74 A=

12.75 A=		12.76 A=
12.77 A=		12.78 A=
12.79 A=		12.80 A=
12.81 A=		12.82 A=
12.83 A=		12.84 A=
12.85 A=		12.86 A=
12.87 A=		12.88 A=
12.89 A=		12.90 A=
12.91 A=		12.92 A=
12.93 A=		12.94 A=