12. Формула Тейлора

Рассмотрим многочлен степени n:

(1)

Пусть с произвольное число, положим , подставив в (1) получим

(2) Возведя квадратные скобки в степень и приводя подобные по степеням (x-c)^k получим выражение для в след форме(3)

такое представление называется разложение многочлена по степени (х-с).

Найдем выражение для коэф в выражении (3). Найдем производные многочлена :

…………………………………………………………

(4)

Производные порядка выше n равны 0. Подставляя в ф-лу (3) и (4) х=с получим:

Из этих равенств получаем (k изм=0,n) (5)

Считаем что 0!=1 и . Ф-ла (5) показывает что многочленможно разложить по степеням (х-с) единственным образом. Формулу (3) можно переписать так:

(6) эта ф-ла наз формулой Тейлора для многочлена.

Рассмотрим теперь любую фу-ию которая имеет непрерывные производные до (n+1) ого порядка в некоторой окрестности точки с. Мы можем формально составить многочленкоторый называется многочленом Тейлора фу-ииf по степеням х-с. Многочлен совпадает с фун-иейf(x) в точке х=с , но для всех ч не равных с он равен f(x) (если многочлен f(x) не явл много-ом степени не выше n ). Кроме того ,,…,. Положим:эта формула называется формулой Тейлора для фу-ииf(x); наз остаточным членом формулы Тейлора. Функция р показывает какую погрешность мы допускаем при замене f(x) на многочлен Тейлора.

Найдём выражение остаточного члена через производную. Т.к.ито функцияуд условиям. Введем вспомаг функциюЯсно что. Применяя теорему Коши о среднем к функциям

где Нодалее

Следовательно из равенства получаемМы получили остаточный член в форме Логранжа.

Таким образом имеет место теорема: если функция f(x) имеет в окрестности точки с непрерывные производные до n+1 ого порядка, то для любого х из этой окрестности найдется точка такая чтоf(x) можно представить с помощью формулы Тейлора

13. Теорема Абеля о сходимости степенного ряда.

Ряд вида , где- числа называется степенным рядом. При изучении свойств степенного ряда будем рассматривать ряды вида, этот ряд получается из предыдущего путем линейной замены переменной.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при некотором значении, то он сходится абсолютно при любом. Если ряд расходится при некотором значении, то он расходится при любом.

Доказательство. Докажем первое утверждение. Согласно условию теоремы ряд - сходится, и следовательно существует числотакое, что. Тогда. Ряд- представляет собой геометрическую прогрессию и сходится приили. Следовательно по признаку сравнения радсходится. Докажем вторую часть теоремы. Предположим противное – рядсходится в некоторой точке. Тогда согласно первому утверждению ряд сходится для всех, в том числе и в точке. А это противоречит условию. Следовательно, рядрасходится при всех.

Из теоремы Абеля следует, что существует такое число , что ряд абсолютно сходится при. Числоназывается радиусом сходимости степенного ряда, а интервал- интервалом сходимости. Для определения радиуса сходимости степенного ряда используют признаки Даламбера и Коши сходимости положительного ряда.

14. Принцип сжимающих отображений.

Пусть - метрическое пространство, отображениеназывается сжимающим отображением, если, то длявыполняется неравенство(1).

Всякое сжимающее отображение непрерывно. Действительно, если , то в силу (1). Точканазывается неподвижной точкой отображения А, если.

Теорема 1 (принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение , определенное в полном метрическом пространстве, имеет одну и только одну неподвижную точку.

Доказательство. Пусть - произвольная точка. Положим. Покажем что последовательностьфундаментальная. Положим, что, тогда

Так как , то при достаточно большомэта величина сколь угодно мала, сл. последовательность фундаментальна. В силу полнотыпоследовательностьбудучи фундаментальной, имеет предел. Положим. В силу непрерывности А. Существование неподвижной точки доказано.

Докажем единственность.

Если , так как, то отсюда следует, т.е..

Примеры.

1.

Пусть f – функция определенная на и удовлетворяет условию Липшица. Тогдаf – сжимающее отображение и следовательно последовательность и т.д. сходится к единственному корню уравнения.

а) Условия сжатости выполнено, если . Доказывается теоремой Лагранжа о среднем.

б) уравнение , причем. Введем функцию, тогдаи.