Функция Грина и её свойства.

Если непрерывная в квадрате [0;1]x[0;1] функция G(t,s) такая, что при любой

решение задачи (1)(2) представимо в виде (3), то функция G(t,s) называется функцией Грина краевой задачи (1)(2).

(1)(2)

(3)

Теорема: Если однородная краевая задача (1)(2) имеет только нулевое решение, то существует непрерывная в квадрате [0;1]x[0;1] функция , такая что любое решение неоднородной краевой задачи (1)(2) представимо в виде (3) – функция Грина.

Доказательство: Пусть однородная краевая задача (1)(2) имеет только нулевое решение. Покажем, что тогда найдется непрерывная в квадрате [0;1]x[0;1] функция , такая что любое решение неоднородной краевой задачи (1)(2) представимо в виде (3).

Действительно, в этом случае в силу альтернативы Фредгольма неоднородная краевая задача (1)(2) разрешима при любой правой части и решение представимо в виде:

(4) ,

где и- решения задач Коши (1*) и (2*).

(1*)

(2*)

Преобразуем представление (4):

(**)

Введем функцию:

Очевидно, что функция непрерывна в квадрате [0;1]x[0;1] (т.к. инепрерывные функции, а– определитель Вронского, являющийся константой).

Тогда из (**) получим:

, чтд.

Свойства функции Грина:

1. При каждом фиксированном s функция , как функция() приявляется решением однородного д.у.:. Это следует из того, чтои- решения однородного уравнения.

2. При каждом фиксированном s функция , как функция() приудовлетворяет однородным граничным условиям (2) (следует из того, что).

3. непрерывна в квадрате [0;1]x[0;1], а её производная испытывает скачек, равный 1.

или

Доказательство:

(при ) =

(при ) =

Тогда ,( т.к.). Чтд.

Утверждение. Если функция удовлетворяет свойствам 1), 2), 3), то является функцией Грина задачи (1)(2). Задача (1)(2) имеет единственную функцию Грина.

Теорема о свойствах собственных значений и собственных функций.

(1)(2) ,

Встает вопрос о существовании ненулевых решений этой задачи.

Значение параметра , при котором задача (1)(2) имеет ненулевые решения, называется собственным значением, а соответствующее ненулевое решение – собственной функцией задачи (1)(2), принадлежащей собственному значению.

Задачи на собственные значения называются спектральными задачами.

Задача (1)(2) называется спектральной задачей Штурма-Лиувилля.

Множество всех собственных значений называется спектром задачи (1)(2).

Теорема о свойствах собственных значений и собственных функций: Краевая задача (1)(2) имеет бесконечное множество собственных значений, причем на каждом конечном интервале их не больше конечного числа. Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны, а соответствующие одному собственному значению – пропорциональны.

Замечание: Все собственные значения задачи (1)(2) вещественны.

11. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа

Рассмотрим вопрос об экстремуме функции при условии, чтоисвязаны соотношением. Эта задача называетсязадачей на условный экстремум. Геометрически это означает, что мы сравниваем между собой значения функции не на всех точках области определения функции, а лишь в тех, которые лежат на кривой, определяемой уравнением.

Предположим, что уравнение определяет некоторую функцию, заданную неявно. Подставим ее в функцию, получим.

Найдем теперь экстремум функции .

-необходимое условие экстремума.

Производная неявной функции .

Тогда необходимое условие примет вид или.

Обозначим это соотношение через , получим, что в точке экстремума должны выполняться условияи(1).

Величину называюмножителем Лагранжа. Введем в рассмотрение функцию Лагранжа. .Тогда условия (1) можно записать так

А это необходимые условия безусловного экстремума функции .

Таким образом исходная задача на условный экстремум заменена эквивалентной задачей на безусловный экстремум для функции Лагранжа исходной задачи. Из уравнений (3) находят стационарные точки .

Перейдем теперь к общему случаю. Будем искать локальный экстремум функции при условии, что.

Предположи, что задача (5), (6) имеет локальный экстремум в точке , и что функции ограничений (6) удовлетворяют условию Якоби, т.е. в точкеранг матрицы Якоби, матрицы частных производных функций ограничений, совпадает с числом строк матрицы

Рассуждая так же, как в случае функции двух переменных ,получим необходимые условия которым должны удовлетворять координаты точки . Эти условия можно получить используя функцию Лагранжа.

Построим функцию Лагранжа для (5),(6).

.

Эта функция зависит от переменных. В точке экстремума все ее частные производные должны равняться нулю.

.

Вопрос о нахождении стационарных точек функции (5) при наличии связей (6) свелся к решению системы (9), (10).

Точки локального условного экстремума находятся среди стационарных точек. Выяснение вопроса о том, будет ли на самом деле стационарная точка точкой условного экстремума, требует исследование знака, если функцииидважды непрерывно дифференцируемы. При выяснении знаканужно учитывать, что дифференциалыудовлетворяют уравнениям.

Алгоритм решения задачи (5),(6).

1. Составляем функцию Лагранжа .

2. Записываем необходимые условия экстремума .

3. Решаем систему, находим стационарные точки функции ,.

4. Для найденных стационарных точек проверяем достаточные условия экстремума.

   1. Записываем выражение для второго дифференциала функции Лагранжа в точке ..

   2. Запишем связи дифференциалов . Если функцииудовлетворяют в точкеусловию Якоби, то из этой системы выразимдифференциаловчерез остальныеи представим.

   3. Если при ненулевых, то в точкеусловный локальный минимум.

   4. Если при ненулевых, то в точкеусловный локальный максимум.

   5. Если не знакопостоянный при ненулевых, то в точкеэкстремума нет.

   6. Если знакопостоянный, но при ненулевыхобращается в нуль, то требуется дополнительное исследование.

5. Вычислить значения функции в точках условного экстремума.

Пример. Найти экстремум функции при условии

Составим функцию Лагранжа .

Найдем стационарные точки .

Решая эту систему находим .

Исследуем в стационарной точке второй дифференциал функции Лагранжа

.

исвязаны соотношением.

Исследуем в стационарной точке

при условии .

Значит функция имеет в точкелокальный максимум 2.

Нахождение наибольших и наименьших значений функции.

Пусть задана непрерывно дифференцируемая функция на множестве.замкнутая и ограниченная область(компактная). Тогдадостигает максимума или минимума в некоторых точках. Эти точки могут быть внутренними и граничными. Если точкавнутренняя, то функцияимеет в ней локальный экстремум. Поэтому, чтобы найти наибольшее(наименьшее) значение функции, необходимо найти все стационарные точки, вычислить значения функции в этих точках и сравнить их со значениями функции на границе.