10. Краевые задачи. (Альтернатива Фредгольма. Функция Грина и её свойства. Теорема о свойствах собственных значений и собственных функций).

Дифференциальные уравнения имеют бесконечное множество решений. Чтобы выделить единственное решение нужно задать дополнительные условия. Если дополнительные условия задаются более чем в одной точке, то они называются краевыми или граничными.

Рассмотрим линейное уравнение второго порядка:

,

Где – известные функции, – независимая переменная.

И граничные условия:

Где - заданные константы,, причем.

Если , то краевые условия называютсяоднородными. Если д.у. однородное и краевые условия однородные, то краевая задача называется однородной.

Если , то краевые условия называютсякраевыми условиями первого рода.

Если , то краевые условия называютсякраевыми условиями второго рода.

Если (), то краевые условия называютсякраевыми условиями третьего рода.

Без ограничения общности можно считать, что в д.у. отсутствует слагаемое с первой производной, т.е что . (Доказывается с помощью введения замены).

Также без ограничения общности можно считать, что , а. Иначе можно сделать замену.

Без ограничения общности неоднородную краевую задачу можно рассматривать с однородными граничными условиями. Действительно, если, допустим, заданы неоднородные граничные условия, можно сделать замену , где функция- некоторая функция, удовлетворяющая заданным граничным условиям, а в остальном произвольная. Такую функцию всегда можно подобрать.

Например:

Тогда для z получим неоднородную краевую задачу с несколько измененной правой частью, но однородными граничными условиями.

Для простоты будем предполагать, что . Т.е. в дальнейшем будем изучать следующую краевую задачу:

(1), (2) ,

Будем предполагать, что функции иопределены и непрерывны на отрезке [0,1].

Пример:

, b – константа.

Общее решение очевидно:. Чтобы это решение удовлетворяло граничным условиям, нужно:

Если , то эта система разрешима при любой функциии имеет единственное решениеи рассматриваемая краевая задача.

Если же , то система разрешима НЕ при любой функции(аи краевая задача тоже), а только лишь при такой, при которой:

(*)

При этом очевидно, что решений у такой краевой задачи бесконечно много.

Заметим, что если , а, то условие (*) выполняется и однородная краевая задача имеет ненулевое решение:

.

Т.е. для разрешимости краевой задачи необходимо выполнение многих условий.

Альтернатива Фредгольма:

Рассмотрим краевую задачу (1)(2). Либо она разрешима при любой правой части , либо соответствующая однородная краевая задача имеет ненулевое решение.

Другими словами: Чтобы краевая задача (1)(2) была разрешима при любой правой части необходимо и достаточно, чтобы соответствующая однородная краевая задача имела только нулевое решение.

Доказательство:

) Пусть однородная краевая задача имеет ненулевое решение .

Покажем, что в этом случае неоднородная краевая задача разрешима не при любой правой части .

Возьмем решение однородного уравнения , линейно независимое с. Очевидно, что оно найдется. Тогда составим их определитель Вронского:

, при.

Т.к. в уравнении (1) отсутствует слагаемое с первой производной, т.е. коэффициент при первой производной равен 0, то в силу теоремы Лиувилля (т.к.- решение д.у.). Тогда:

,

т.к. илинейно независимы и, следовательно.

Аналогично рассмотрев , получим, что.

Тогда общее решение однородного уравнения:

,и- произвольные постоянные.

Частное решение можно найти методом вариации произвольных постоянных.

Общим решением неоднородного уравнения будет:

(3)

можно вынести за знак интеграла. Выберем итак, чтобы выполнялись граничные условия (2):

Т.к. и, то система будет совместной, если:

(4)

(ортогональное ненулевое решение ). Тогда система имеет бесконечно много решений,,.

Если же , то алгебраическая система несовместна, а следовательно краевая задача (1)(2) не имеет решений. (В частности краевая задача не будет решаться при,.)

) Пусть однородная краевая задача имеет только нулевое решение. Покажем, что неоднородная задача (1)(2) разрешима при любой правой части .

Построим два решения линейного однородного д.у. - решение однородного уравнения, удовлетворяющее условиям:и; а- решение однородного уравнения, удовлетворяющее краевым условиям:и.

(1’)

(2’)

Тогда илинейно независимы. [Доказательство: Предположим противное, тогда, значит. Но это противоречит тому, что однородная краевая задача имеет только нулевое решение, но мы бы получили, что- ненулевое решение однородной краевой задачи.]

Следовательно, иобразуют фундаментальную систему решений, а тогда общее решение неоднородного уравнения (1) имеет вид:

(5)

- получено методом вариации произвольных постоянных.

Тогда выберем итак, чтобы выполнялись граничные условия (2). Получим:

Т.к. илинейно независимы, то,, следовательно система имеет единственное решение, а значит всегда разрешима:

Подставляя найденные ив (5), получим:

(6)

Т.е. если однородная краевая задача имеет только нулевое решение, то неоднородная краевая задача разрешима при любой правой части и её решение представляется в виде (6), чтд.

Следствие: Если неоднородная краевая задача разрешима при любой правой части , то это решение единственно.

Доказательство: Предположим противное: существует два решения неоднородной краевой задачи ив условиях следствия. Рассмотрим.будет решением однородной краевой задачи и оно. Это противоречит альтернативе Фредгольма.

Утверждение: Если однородная краевая задача (1)(2) имеет нулевое решение , то для разрешимости неоднородной задачи (1)(2) необходимо и достаточно, чтобы:

При этом у (1)(2) решений существует бесконечно много.