Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов

Рассмотрим уравнение вида:

(1’)

В соответствие (6) ставим характеристический многочлен:

(2’)

Общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Если известно общее решение однородного уравнения, то для любой правой части частное решение можно найти методом вариации произвольных постоянных, но в случае, когда правая часть является суммой и/или произведениемexp, sin, cos, частное решение можно искать методом неопределённых коэффициентов.

Утверждение: Если правая часть неоднородного уравнения вида (1’) и- решение уравнения (1’) с правой частью: (), а- решение уравнения (1’) с правой частью: (), то- решение уравнения (1’) с правой частью: ().

Пусть правая часть уравнения (1’) имеет вид , где- многочлен степениm, т.е. . Т.е. мы рассматриваем уравнение:

(5) .

1) Нерезонансный случай.

Пусть не является корнем хар. уравнения, т.е.. В этом случае частное решение неоднородного уравнения (1’) существует в виде, где- многочлен степениm с неизвестными коэффициентами вида , которые находятся подстановкой в (1’).

Покажем, что эти коэффициенты определяются единственным образом. Подставим в (5) и приравняем коэффициенты при одинаковых степеняхх:

Воспользуемся формулой (**):

(6)

и формулой , получим:

Это равняется правой части: . Сократим наи приравняем коэффициенты при одинаковых степенях:

При :

При :

…

При :

При :

Т.к. - не корень хар.уравнения, т.е., то из 1-го уравненияопределяется единственным образом, подставляя его во второе однозначно определими т.д.

2) Резонансный случай.

Пусть k-кратный корень хар. уравнения, т.е.

.

В этом случае частное решение неоднородного уравнения (1’) существует в виде , где- многочлен степениm с неизвестными коэффициентами вида - которые находятся подстановкой в (1’).

Покажем, что эти коэффициенты определяются единственным образом. Подставим в (5) и приравняем коэффициенты при одинаковых степеняхх:

т.к. , а(6)

Воспользуемся тем, что -k-кратный корень хар.уравнения (во второй сумме слагаемые до k пропадают). Сделаем во второй сумме замену переменных суммирования: :

Сократим на и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях:

При :

При :

…

При :

Т.к. , то из 1-го уравненияопределяется единственным образом, подставляя его во второе однозначно определими т.д.

Поиск частного решения в вещественном случае.

Пусть правая часть уравнения (1’) имеет вид:

,

где -вещественны,и- многочлены степениm с вещественными коэффициентами и коэффициенты уравнения (1’) тоже вещественны.

В этом случае частное решение неоднородного уравнения (1’) существует в виде:

,

где и- многочлены степениm с неизвестными коэффициентами, которые находятся подстановкой в уравнение и приравниванием элементов при подобных слагаемых. Причем, еслине является корнем хар. уравнения иk = кратности в противном случае.

9. Устойчивость решения системы дифференциальных уравнений по Ляпунову. (Определение. Сведение исследования устойчивости ненулевого решения, к исследованию нулевого решения. Лемма Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению).

Рассмотрим задачу Коши для системы дифференциальных уравнений:

₍₁₎₍₂₎

где ,,

Пусть решение определено на бесконечном интервале, т.е. . Как в этом случае при малом изменении начальных условий (н.у.) будет вести себя решение?

Решение обозначим как . Решение непрерывно поx и , тогда- отрезок существования решения.

Пример.

Очевидно, что у этого уравнения есть решение .Рассмотрим задачу Коши:

Решение этой задачи - .

Рассмотрим задачу с возмущениями начальных условий:

Тогда решением этой задачи будет .

Рассмотрим разность:

1. Если a<0 и x>0, то

2. Если a>0 и , то ,независимо от.

Тогда при a<0 говорят, что решение устойчиво, а если a>0, то неустойчиво.

В качестве нормы здесь и далее будем использовать Евклидову норму:

(1)’

Решение этой задачи обозначим как , решение задачи (1)(2) -.

Определение: Решение называетсяустойчивым по Ляпунову, если , такое что для , :

.

Определение:(Асимптотическая устойчивость) Решение задачи (1)(2) называетсяасимптотически устойчивым по Ляпунову, если:

1. Оно устойчиво по Ляпунову;

2. , такое что :

.

Замечание: Исследование на устойчивость любого решения можно свести к исследованию на устойчивость нулевого решения некоторой вспомогательной задачи. Действительно, в уравнении (1)’ сделаем замену:

.

Тогда получим:

.

Обозначим как .

Заметим, что из н.у. (2) , так что н.у.

. Т.е.

Тогда :

(3) , где.

Тогда из устойчивости нулевого решения задачи (3) следует устойчивость решения уравнения (1), и обратно.



Лемма Ляпунова.

Рассмотрим систему:

В векторной записи:

Тогда

(1)

Предположим, что - решение системы (1), т.е.. Н.у. будем задавать в точке.

Лемма Ляпунова: Пусть для некоторого функцияопределена и непрерывна прии;(т.е.- решение системы (1)). Пусть присуществует непрерывно дифференцируемая функция Ляпунова:итолько в точке начала координат, при этом выполняется условие (для):

(2) .

Тогда нулевое решение системы (1) устойчиво по Ляпунову.

Если кроме этого при и:

(3) ,

где - непрерывная функция,итолько в точке начала координат, то нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Функции и- функции Ляпунова.. Выполнение (2) и (3) требуется в некоторой окрестности начала координат.

Доказательство:

А) Пусть дано некоторое . Обозначим черезсферу радиуса с центром в начале координат: , а через. Очевидно, чтосуществует (в силу теоремы Вейерштрасса) и. Выберем, такое что при(т.е. как на сфере, так и внутри неё). Такоенайдется, т.к.- непрерывная функция и в 0 она обращается в 0.

Покажем, что все интегральные кривые (решения) системы (1), начинающиеся при внутри, при увеличенииникогда не смогут достигнуть сферы, а это и будет означать устойчивость нулевого решения.

Рассмотрим некоторое решение . Тогда функциявдоль траектории этого решения является сложной функциейот, тогда в силу условия (2):

Т.е. вдоль любой интегральной кривой системы (1) функция не возрастает.

Предположим теперь, что существует такая интегральная кривая системы (1), что она начинается при внутри сферы(т.е.), но при некоторомдостигает сферы. Тогда получим, чтопо выбору сферы, но, а это противоречит тому, что функциявдоль любой траектории системы (1) не возрастает, следовательно наше предположение неверно, т.е. все траектории, начинающиеся внутри, никогда не достигнут, а следовательно нулевое решение системы устойчиво.

Б) Пусть теперь выполняется более сильное условие (3). Как и ранее, по () выберем. Тогда все траектории, начинающиеся привнутриприне покидают. Покажем, что в этом случае любая траектория, начинающаяся впри увеличениистремится к началу координат. Для этого покажем, что значениевдоль любой интегральной кривойl , при .

Предположим противное, т.е. что вдоль некоторой траектории l : . Но оно вдоль неё не возрастаетоно больше некоторого положительного значенияl располагается целиком вне некоторой сферы с достаточно малым. Тогда вдоль этой траектории (вдольl)

Проинтегрируем это неравенство от до:

при,

а это противоречит неотрицательности функции V вдоль любой траекториивдоль любой траектории, что и требовалось доказать.

(Из стремления V к 0 следует стремление к началу координат .)

Теорема Ляпунова (об устойчивости по первому приближению):

Рассмотрим систему:

В векторной записи:

Тогда

(1)

Причем, будем предполагать, что является решением системы (1), т.е. .

Теорема. Решение системы (1) асимптотически устойчиво, если правую часть этой системы можно представить в виде:

(2) ,

где А – постоянная матрица, у которой действительные части всех собственных значений отрицательны и при и достаточно малых по нормеy справедливо:

,

где и- положительные константы.

, где- непрерывны по совокупности переменных (). Т.е. устойчивость нулевого решения системы (1) определяется устойчивостью решения системы с постоянными коэффициентами.

Пояснение. Разложив по формуле Тейлора в точке 0, получим:

, где .

Если матрица A такова, что все собственные значения <0, то нулевое решение устойчиво. Об устойчивости и неустойчивости нулевого решения , которое и есть первое приближение системы (1).

Доказательство:

В системе (1) сделаем замену переменных: , где- невырожденная матрица, которая приводит к каноническому виду систему,может быть комплексным.

Рассмотрим только вещественные решения .

Положим в качестве функции . Вычислим:

,,,- матрица канонического вида.

Возьмем в канонической системе группу уравнений, соответствующих какому-либо одному Жорданову блоку. Например:

, здесь - любое число,.

является линейной комбинацией функций , т.е., поэтому

, где - константа.

(*) ,,

Т.к. , то любую компоненту вектораy, т.е. , можно оценить:

,

где положительная константа.

Обозначим . Тогда:

,.

Дальше:

(3), :

Оценим :

Оценим :

,

(4) ,

Аналогичные оценки можно получить и для других переменных (других групп уравнений соответствующих остальным жордановым блокам) используя другие группы уравнений.

Обозначим как , тогда. Просуммируем неравенства (4) по:

Пусть , тогда:

можно выбрать любым сколь угодно малым, поэтому пусть .– непрерывная функция, причем . Если выбрать по норме достаточно малым (а, значит, итакже достаточно мало), таким чтобы:. Тогда получим:

.

Тогда в качестве функции примем, следовательно, условие леммы Ляпунова выполняются, т.е. решение асимптотически устойчиво, что и требовалось доказать.

Замечание: Если хотя бы одно собственное значение матрицы А из разложения (2) имеет, то нулевое решение системы (1) неустойчиво по Ляпунову.