7. Необходимое условие условного минимума. Теорема Куна-Таккера.

Основная идея методов условной минимизации заключается в построении последовательности векторов , которые обладают следующими свойствами: 1)- существует и является решением на условный минимум,

2) Желательно, чтобы такое, что

3) Желательно, чтобы - принадлежал допустимой области.

Множество называется выпуклым, если и справедливо .

Для того, чтобы выпуклая гладкая функция имела в точке глобальный минимум, необходимо и достаточно, чтобы она была критической т.е. . Сформулируем необходимое условие условного минимума так, чтобы в формулировку не входил градиент. Преобразуем с учетом доопределения. (условие дополнительной нежесткости: i-е ограничение является активным в точке , если , существует множитель Лагранжа : - условие дополняющей нежесткости для множителей Лагранжа для ограничений  (1). Введем в рассмотрение ф-ю Лагранжа от n+m переменных: - ф-я Лагранжа основной задачи выпуклого программирования. Градиент: положим с учетом (1): -точка глобального минимума. Рассмотрим, когда достигается максимум

, - точка максимума.

Определение: точка наз. седловой точкой функции Лагранжа если: . Получим необходимое условие для основной задачи выпуклого программирования: для того, чтобы была решением задачи выпуклого программирования, при условии, что все функции, входящие в эту задачу непрерывно-дифференцируемы и градиенты активных ограничений линейно-независимы: необходимо: существует для i=1,…,n точка - седловая точка ф-и Лагранжа.

Теорема Куна-Таккера: для регулярной задачи выпуклого программирования справедливо утверждение: точка является решением задачи тогда и только тогда, когда существует вектор (компоненты которого являются множителями Лагранжа), что является седловой точкой функциии Лагранжа. Эта теорема является теоретической основой математической экономики.

8. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Построение общего решения однородного уравнения. Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом вариаций произвольных постоянных и методом неопределённых коэффициентов.

Линейное д.у. n-го порядка с постоянными коэффициентами:

(1) ,()

Построение общего решения однородного уравнения

Рассмотрим линейное однородное д.у. n-го порядка с постоянными коэффициентами (1).

Обозначим левую часть как .

(1*) ,

Решение (1) будем искать в виде:, где- искомый, пока неизвестный, коэффициент.

Подставим в (1):

Чтобы функция была решением (1) необх. и дост.- корень алгебраического уравнения:

(2)

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими числами линейного однородного уравнения (1).

Случай простых характеристических чисел.

Пусть все характеристические числа различны, т.е. уравнение (2) имеет n корней: . Тогда получим решение уравнения (1):

Покажем, что эти функции образуют ФСР (1), т.е. что они линейно независимы .

Построим определитель Вронского:

,

т.к. различны. Функциилинейно независимы и образуют ФСР, значит, общее решение уравнения (1):

,- произвольные постоянные.

Пусть коэффициенты уравнения (1) вещественны. Характеристические числа по-прежнему различные, но среди них есть комплексные. Пусть – корень (2) и характеристическое число (1). - решение (1). Вещественная и мнимая части этого решения, - тоже решения (1).

Нетрудно доказать, что если - решение (1), гдеи- вещественные функции, то вещественная и мнимая части также являются решениями (1):

Функции и линейно независимы. Иначе существуют такие и, что., но этого быть не может, значит, допущение неверно.

Т.к. коэффициенты уравнения (1) вещественны, - тоже характеристическое число. Сопряженному характеристическому числу соответствует решение , вещественная часть этого решения совпадает с вещественной частью решения, рассмотренного выше, а мнимая – линейно зависима. Т.е. комплексно-сопряженное характеристическое число не порождает новых, линейно независимых с функциями и решения (1).

Таким образом, если уравнение (1) с вещественными коэффициентами имеет различные характеристические числа, но среди них есть комплексные, то каждому вещественному характеристическому числу ставим в соответствие вещественное решение вида , а каждой паре комплексно-сопряженных хар. чисел - два решения: и . Получаем n линейно независимых вещественных решений (1). Общее решение (1) есть линейная комбинация с произвольными постоянными полученных решений.

Лемма О линейной независимости функций вида

Пусть – все различные (вещественные или комплексные). Тогда функции ,, … ,(где - целые положительные) - линейно независимы на и, в частности, на любом конечном интервале.

Случай кратных характеристических чисел.

Пусть - k-кратный корень характеристического многочлена, т.е. он будет корнем производных характеристического уравнения до (k-1)-го порядка:

(3)

Покажем, что уравнению (1) будут удовлетворять функции вида: , рассмотрим два возможных случая:

1) Случай, когда среди коэффициентов (1) есть и вещественные и комплексные.

.

Продифференцируем это множество m раз по :

Левая часть:

Для вычисления правой части воспользуемся формулой Лейбница:

Правая часть:

Таким образом:

(**)

Воспользуемся соотношением (3): . Т.е. функцииявляются решением (1), если-k-кратный корень характеристического уравнения. В силу леммы о линейной независимости функций вида эти решения линейно независимы. Следовательно, каждому простому характеристическому числу ставим в соответствие решение вида, а каждому k-кратному характеристическому числу ставим в соответствие k-решений вида .Таким образом, получаем n-линейно независимых решений (1). Общим решением (1) будет линейная комбинация с произвольными постоянными полученных решений.

2) Случай, когда коэффициенты уравнения (1) вещественны, а характеристические числа может быть как вещественные, так и комплексные.

Пусть -k-кратный корень характеристического уравнения. Тогда функции вида являются решениями уравнения (1). Их вещественные и мнимые части

(*)

тоже решения (1), линейно независимы (т.к. ,).

Если -k-кратный корень характеристического уравнения, то тожеk-кратный корень характеристического уравнения, т.к. коэффициенты вещественны. Но не порождает новых линейно независимых с (*) решений.

Таким образом, каждой паре комплексно-сопряженных k-кратных характеристических чисел ставим в соответствие 2k вещ. линейно независимых решений (1) вида (*).

В результате, чтобы построить ФСР (1) нужно каждому простому вещ. хар. числу поставить в соответствие вещ. решение вида, каждой паре комплексно-сопряженных простых хар. чисел- два вещ. решения видаи, каждому вещ.k-кратному хар. числу поставить в соответствиеk вещ. решений вида , а каждой пареk-кратных комплексно-сопряженных хар. чисел - 2k решений вида (*).

Таким образом, мы получаем n решений уравнения (1). Они линейно независимы, т.к. в противном случае, применяя формулы ,, мы пришли бы к противоречию.

Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом вариаций произвольных постоянных.

Рассмотрим линейное неоднородное д.у. вида:

(1’)

Сделаем замену: . Получим эквивалентную систему:

(4’)

Соответствующую однородную систему обозначим (4).

Пусть функции образуют ФСР уравнения (1). Тогда вектор-функцииобразуют ФСР системы (4).

Т.е. частное решение:

Подставим в систему (4’) , получим систему уравнений:

Т.к. - решение соответствующего однородного уравнения, то

В результате получаем, что - решение следующей линейной алгебраической системы:

Из этой системы определяются единственным образом. Проинтегрировав, найдем. Тогда- частное решение (1’). При-получим общее решение.