4. Формулы полной вероятности. Формула Байеса

Классическое определение вероятности: отношение числа благоприятствующих исходов, к общему числу исходов.

Аксиоматическое определение: вероятность – функция, заданная на пространстве событий и удовлетворяющая аксиомам:

1) Каждому событию сопоставлено в соответствие положительное число.

2) Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Условной вероятностью называется вероятность события, вычисленную в предположении, что событиеуже наступило:.-вероятность совместного появления событийи.

Группа случайных событий называется полной, если:

1. , , т.е. попарно несовместны

2. , где –достоверное событие (т.е. появление хотя бы одного из событий данной группы есть достоверное событие).

Теорема сложения вероятностей: вероятность суммы двух событий: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Теорема сложения вероятностей несовместных событий: вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P(A+B)=P(A)+P(B).

Теорема умножения вероятностей: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место: P(AB)=P(A)·P(B/A).

Следствием этих теорем является формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий H₁…H_n, удовлетворяющий условиям:

1. Они образуют полную группу.

2. 

Эти события будем называть гипотезами. В этом случае - это формула полной вероятности.

Доказательство: Очевидно, что . т.к. H_i – образует полную группу, то А==A()= H₁A+H₂A+…+H_nA. Т.к. H_i – несовместны, то H₁A… H_nA – тоже несовместны. Применяя к ним теорему сложения вероятностей для попарно несовместных случайных событий, получим: P(A)=P(H₁A)+…+P(H_nA)= . Применяя к событиюH_i A теорему умножения вероятностей получим: P(A)= . Доказано!

Пусть имеется полная группа несовместных гипотез H₁…H_n , удовлетворяющая условиям предыдущей теоремы, вероятности этих гипотез равны: Р(H₁)…Р(H_n). И пусть A – произвольное слйчайное событие, удовлетворяющее условию P(A)>0, необходимо найти условную вероятность Р(H_i/A) для каждой гипотезы. По теореме умножения вероятности:

P(AH_i)=P(A)P(H_i/A)=P(H_i)P(A/H_i)

P(A)P(H_i/A)= P(H_i)P(A/H_i)

P(H_i/A)=

Это и есть формула Байеса. Она позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известен результат испытания, в итоге которого появилось событие.

5. Симплекс-метод

Основные понятия.

Общая задача линейного программирования:

- обозначает один из знаков отношений.

где (1’) – целевая функция, (2’) – ограничения задачи.

Здесь - исходные данные задачи,- неизвестные.

Обозначим -план. План, удовлетворяющий всем условиям (2’) называется допустимым, множество таковых - допустимым множеством.

Допустимые планы, на которых достигается max (min) называются оптимальными планами, множество таковых - оптимальным множеством.

Стандартные формы задач ЛП (линейного программирования).

1). Каноническая задача:

2). Стандартная задача:

Каноническую задачу имеет смысл рассматривать, когда m<n. В дальнейшем предполагается, что ранг системы = m, тогда система имеет бесконечное множество решений размерности n-m.

Рассмотрим каноническую задачу:

Перепишем в виде:

Будем в дальнейшем предполагать, что ранг системы (2) равен m (m<n). Тем самым система (2) будет иметь бесконечное множество решений, среди которых нас интересуют неотрицательные (их может и не быть, если задача не разрешима).

Опр.: Допустимый план называется опорным планом, если вектора A_k, соответствующие компонентам x_k>0, в совокупности линейно независимы.

Положительные координаты опорного плана называются базисными, а соответствующие вектора A_k - базисными векторами. Опорный план называется невырожденным, если он имеет в точности m положительных координат; если меньше m, то вырожденным.

Базисом опорного плана называется любой упорядоченный набор из m m-мерных векторов (пространство ), содержащих в себе в качестве подсистемы все вектора, соответствующие положительным координатам опорного плана. Ясно, что базис невырожденного опорного плана определяется с точностью до порядка следования векторов в базисе. А у вырожденного – неоднозначно, поскольку некоторые вектора в базисе будут соответствовать нулевым координатам.

Теорема.

Для того, чтобы точка являлась вершиной допустимого множества задачи (1), (2), (3) <=>является опорным решением этой задачи.

Задача (1), (2), (3) всегда имеет опорные решения, если ее допустимое множество не пусто.

Для каждого вектора A_j определим величину - оценка дляA_j.

Теорема.

Опорное решение является оптимальным <=> все оценки Δj >= 0.

Теорема.

Если для данного опорного решения все Δj >= 0, причем 0-е оценки соответствуют только базисным векторам, то данное опорное решение является единственным оптимальным опорным решением.

Симплекс формулы связывают координаты одного и того же вектора в двух базисах, отличающихся лишь одним вектором.

Утверждение: Пусть совокупность (5)образует базис в пространстве. Совокупность (6)является базисом только в том случае, если коэффициент(этоr-тая координата вектора в базисе).

Пусть совокупности (5) и (6) - базисы. Найдем связь между координатами вектора в этих базисах. Пусть-k-тая координата вектора в базисе (6). По условию имеем: (7). Т.к., то из этого равенства можно выразить вектор:

8. 

Подставив в вместоего разложение (8), получим его разложение по базису (6). В силу единственности разложения по базису и в силу принятых обозначений имеем:

8.