23. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Определение линейного оператора

Преобразование (оператор, отображение) f линейного пространства в себя (запись ) называется линейным, если:

Условия 1 и 2 равносильны соотношению

Матрица линейного оператора

Матрица линейного оператора в базисе () - матрица

столбцами которой являются столбцы образов базисных векторов оператора f, т. е.

Линейный оператор называется невырожденным, если

Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора, если(для комплексного), такое, чтоЧислоназывается собственным числом (собственным значением) оператораf, соответствующим этому собственному вектору.

Если в некотором базисе оператор f имеет матрицу А и в том же базисе вектор имеет координатный столбецX, то или

Собственные числалинейного оператора- корни характеристического уравнениягде (a_ij)- матрица оператора f, δ_ij - символ Кронекера.

Для каждого собственного значения соответствующие собственные векторы могут быть найдены из матричного уравненияили соответствующей ему системы линейных уравнений

Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид

где - соответствующие собственные значения.

24. Евклидово пространство. Ортогональность. Процесс ортогонализации.

Действительное линейное пространство E называется евклидовым, если каждой паре векторов ,Е сопоставляется число Е так, что ивыполняются аксиомы:

I. =

II.

III.

IV.

Число называют скалярным произведением векторов и , - скалярным квадратом вектора . Введенная операция называется скалярным умножением векторов и .

Длина вектора Е - число

Свойства:

1)

2)

3) (неравенство Коши-Буняковского);

4) (неравенство треугольника).

Ортогональные векторы

Векторы ,Еортогональны, если=0.

Система векторов называется ортогональной, если все ее векторы попарно ортогональны между собой.

Процессом ортогонализации системы векторов a₁,a₂,…,a_s называется переход от этой системы к новой системе b₁,b₂,…,b_s, построенной следующим образом: b₁ = a₁; b_k=(k=2,3,…,s), где c_i = (i = 1,2,…,k-1), если b_i ≠0, и c_i – любое число, если b_i =0.

Значение c_i получается умножением равенства, выражающего b_k через а_k и b_i (i=1,2,…,k-1), на b_i при условии, что (b_k ,b_i)=0.

25. Жорданова форма линейного оператора

Линейным оператором (отображением) из векторного пространства S в векторное пространство T называется функция A ( A: ST ), определенная на S со значениями в T, такая что A(c₁x+c₂y) = c₁Ax+c₂Ay – условие линейности.

Пусть dimS=n и dimT=m. Выберем базисы пространств S и T: e_1, …e_n и f_1, …f_m. Т. к. A(₁e₁+ … +_ne_n) = ₁Ae₁+ … +_nAe_n , то линейный оператор целиком и полностью определяется своими значениями на базисных векторах.

Обозначим через (a₁₁, … a_m1)^T, … (a_1n, … a_mn)^T столбцы из координат векторов Ae₁ , …, Ae_n в базисе f_1, …f_m. Обозначим через матрицу из этих столбцов.– матрица линейного оператораA.

Изменим в пространствах S и T базисы на ẽ₁ , … ẽ_n и ₁, … , _m . А соответствующие этим изменениям матрицы преобразования координат обозначим через C и B. X, Y и , - координаты векторовx и y старом и новом базисах соответственно.

X = C;Y = B

Тогда - матрица оператораA в новых базисах.

: X  Y :  ;

X=Y; =

X = Y  C= B  B^-1C= = B^-1C

Рассмотрим оператор A: S  S. Его матрица квадратная, а формула для ее изменения при преобразовании координат принимает вид:=C^-1C.

Таким образом, при преобразовании координат матрица линейного оператора претерпевает преобразование подобия. Две квадратные матрицы порядка n подобны <=> они задают (в разных базисах) одно и то же линейное преобразование n-мерного пространства.

Наша цель: среди подобных матриц C^-1C, отвечающих оператору A найти матрицу, имеющую как можно более простой вид.

Собственные векторы оператора. Ненулевой вектор х называется собственным вектором для оператора A, если имеет место равенство Ax = λx при некотором λ C. Число λ называется собственным числом оператора.

Корневые векторы. Вектор u называется корневым для оператора A, если при некотором  выполняется равенство (A-E)^m u = 0 , т.е. вектор и аннулируется полиномом (t-)^m. Наименьший показатель т называется высотой корне­вого вектора. Собственный вектор – это корневой вектор высоты 1. Число , участвующее в определении корневого вектора, является собственным значением.

Корневые векторы, соответствующие одному и тому же собственному значению, образуют подпространство, называемое корневым.

Инвариантные подпространства. Пусть оператор A действует в пространстве S (A: S  S). Подпространство P, P  S, называется инвариантным относительно A, если xP  AxP .

Циклическое подпространство. Пусть в пространстве S действует оператор A. Для некоторого вектора x из S построим наименьшее инвариантное подпространство, содержащее вектор x. Для этого введем последовательность векторов x, Ax, A² x, … A^k-1 x, продолжая ее до тех пор, пока в первый раз не возникнет линейная зависимость, так что x, Ax, A² x, … A^k-1 x – ЛНЗ совокупность векторов, а x, Ax, A² x, … A^k-1 x, A^k x – уже ЛЗ.

Пространство P, натянутое на векторы x, Ax, A² x, … A^k-1 x, инвариантно. Далее, если Q – какое-либо инвариантное подпространство, содержащее вектор x, то оно содержит и векторы Ax, A² x, … A^k-1 x , и, следовательно, PQ. Т.о. P есть минимальное инвариантное подпространство, содержащее вектор x; оно называется циклическим подпространством.

Прямая сумма. Сумма k подпространств наз-ся прямой, если представление любого вектора в виде u = u₁ + … + u_k , u_i  P_i , однозначно.

Для упрощения матрицы оператора следует стремиться, на сколько это возможно, разложить пространство в прямую сумму инвариантных подпространств.

Нильпотентный оператор. Оператор B называется нильпотентным, если некоторая его степень есть нулевой оператор. Наименьший показатель степени, обладающей этим свойством, назы­вается показателем нильпотентности. Таким образом, если m есть показатель нильпотентности оператора B, то B ^т = 0, но B ^m-10. Нильпотентный оператор имеет единствен­ное собственное значение 0. Все векторы пространства являются корневыми. Высоты их не превосходят показателя нильпотентности, и существуют векторы, высота которых равна показателю нильпотентности.

Для дальнейшего удобно считать, что нулевой вектор имеет высоту, равную нулю. Векторы высоты 1 – собственные векторы, высоты m - все пространство.

Введем в рассмотрение цепочку вложенных друг в друга инва­риантных подпространств:

{0} = Q₀  Q₁  …  Q_j  …  Q_m = S,

где подпространство Q _j, j = 1,... , т состоит из векторов, высоты которых не превосходят j. По построению, Q _j = ker B ^j (Ядро оператора A ( ker A ) - это множество таких векторов X, что xX, Ax = 0)

Предложение. Пусть j ≥ 2. Если векторы v₁,…,v_k при­надлежат Q _j и линейно независимы относительно Q _j-1, то векторы Bv₁,…,Bv_k принадлежат Q _j-1 и линейно независимы относи­тельно Q _j-2.

Построим теперь базис S следующим образом. Пусть v₁₁,…,v_1k - базис Q_m относительно Q _m-1. Тогда, в силу предложе­ния , векторы Bv₁₁,…,Bv_1k, принадлежат Q_m-1 и линейно не­зависимы относительно Q _m-2. Дополним эту совокупность векто­ров до базиса Q_m-1 относительно Q _m-2. Пусть v₂₁,…,v_2k- дополняющая совокупность векторов. Тогда B² v₁₁,…,B² v_1k, B v₂₁,…,B v_2kпринадлежат Q_m-2 и линейно независимы относительно Q_m-3. Дополним их совокупность до базиса Q_m-2 относи­тельно Q_m-3. Продолжив этот процесс до построения базиса Q₁, получим следующую совокупность векторов:

Q_m v_{11 ...} v_1k

Q _m-1 Bv_{11 ...} Bv_1k v_{21 ...} v_2k

Q_m-2 B²v_{11 ...} B²v_1kBv_{21 ...} Bv_2k

_{... ... ...}

Q₂ B^m-2v_11...B ^m-2v_1kB^m-3v_21... B^m-3 v_{2k ...} v_{m-1,1 ...} v_m-1,k

Q₁ B^m-1v_11...B ^m-1v_1k B^m-2v_{21 ...} B^m-2v_2k...Bv_{m-1,1 ...} Bv_m-1,k v_{m1 ...} v_mk

(Слева - названия подпространств, для которых каж­дая строка векторов образует базис относительно подпространства с меньшим на 1 индексом.)

Выписанная совокупность векторов составляет базис простран­ства Q_m = S . Действительно, векторы в нижней строке образуют базис Q₁. Векторы второй строки снизу образуют базис Q₂ относи­тельно Q₁, так что они вместе с векторами нижней строки состав­ляют базис Q₂. После присоединения векторов третьей снизу строки получится базис Q₃ и т. д.

Разобьем теперь построенный базис на “башни”, рассматри­вая вместе векторы v₁₁ , Bv₁₁ ,…, B^m-1 v₁₁ и т. д., расположенные в приведенной схеме на одной вертикали. Общий вид “башни”: v , Bv ,…, B^k-1 v при некотором k, причем B^k v = 0. Подпространство, натянутое на векторы башни, является циклическим, порож­денным вектором, находящимся наверху башни. Все пространство S = Q_m есть прямая сумма этих циклических подпространств.

Построенный базис называется каноническим для пространства с нильпотентным оператором. Хотя в его выборе имеется некото­рый произвол, число башен каждой высоты вполне определяется размерностями подпространств Q₁, Q₂, ..., Q_m.

На циклическом пространстве с базисом v , Bv ,…, B^k-1 v (при B^k v = 0) матрица оператора B имеет вид

Такая матрица называется нильпотентным жордановым блоком. Во всем пространстве матрица нильпотентного оператора по отно­шению к каноническому базису квазидиагональна с жордановыми блоками вдоль диагонали. Число блоков равно числу нижних этажей башен, т. е. числу линейно независимых собственных векторов.

Каноническая форма Жордана матрицы оператора. Прост­ранство S, в котором действует оператор A, однозначно разла­гается в прямую сумму корневых подпространств. Взяв в про­странстве базис, составленный посредством объединения базисов корневых подпространств, мы придем к квазидиагональной ма­трице для оператора A, диагональные блоки которой суть матрицы оператора A на корневых подпространствах.

Рассмотрим корневое подпространство, соответствующее собственному значению . Оператор (A-E)^m, где т—кратность  как корня минимального полинома, аннулирует все векторы рассматриваемого подпространства, т. е. оператор B = A-E нильпотентен на этом подпространстве.

В каноническом базисе для оператора B этот оператор имеет квазидиагональную матрицу с нильпотентными жордановыми блоками вдоль диагонали. В том же базисе оператор A = B+E будет иметь матрицу, отличающуюся от матрицы оператора B тем, что к нулям на главной диагонали прибавится , ибо еди­ничному оператору E соответствует единичная матрица. Таким образом, матрица оператора на рассматриваемом корневом подпространстве есть квазидиагональная матрица, составленная из жордановых блоков

c числом  на главной диагонали. Число блоков с данным  равно числу линейно независимых собственных векторов для собствен­ного значения , ибо каждый собственный вектор оператора B есть собственный вектор для оператора A, соответствующий соб­ственному значению .

Если во всех корневых подпространствах выбрать канонические базисы, то в их объединении оператор будет иметь, квазидиагональную форму, диагональными блоками которой являются кано­нические блоки Жордана, отвечающие всем собственным значе­ниям, т. е. каноническую форму Жордана общего вида.

На языке матриц теорема о канонической форме означает, что для квадратной матрицы с элементами из поля С (комплексное) существует невырожденная матрица С такая, что С^-1АС есть каноническая матрица Жордана.