20. Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Формула д’Аламбера

Рассмотрим задачу Коши для одномерного волнового уравнения при отсутствии внешних сил

, (3.1)

. (3.2)

Выполнив замену переменных , приведем уравнение (3.1) к каноническому виду. Общее решение последнего уравнения дается соотношением, где– произвольные дважды дифференцируемые функции.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения свободных колебаний струны имеет вид: .

Подбирая функции так, чтобы функцияудовлетворяла приведенным начальным условиям, приходим к системе

решая которую, находим

Таким образом, решение исходного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях дается соотношением

, (3.3)

которое носит название формулы Д’Аламбера.

В случае неоднородного уравнения (см. уравнение (1.2)) решение принимает вид

(3.4)

Пример 3. Найти решение задачи Коши для уравнения

в полуплоскости y>0, удовлетворяющее начальным условиям

.

Решение. Сначала найдем общее решение уравнения в полуплоскости y>0. Для этого приведем уравнение к каноническому виду.

Общими интегралами характеристического уравнения являются. Следовательно, в исходном уравнении нужно сделать замену переменных. Тогда уравнение приводится к каноническому виду. Интегрируя это уравнение, находим. Воспользуемся теперь заданными начальными условиями:

Решая эту систему, получаем . Следовательно, решением задачи является функция

.

Пример 4. Найти решение задачи Коши

Решение. Здесь a = 2, . Отсюда по формуле Д’Аламбера (3.3) получим

21. Гармонические функции. Постановка краевых задач для уравнения Лапласа и Пуассона.

U(M) = 0, где M = (x,y,z) – уравнение Лапласа (простейшее уравнение эллиптического типа)

U(M) = f(M) – уравнение Пуассона.

Определение: Функция U(M) называется гармонической в D (конечная область с кусочно-гладкой границей D), если она непрерывна вD со своими частными производными до 2-го порядка и удовлетворяет уравнению Лапласа.

Определение: Функция U(M) называется гармонической в неограниченной области Е, если она непрерывна в Е вместе со своими частными производными до 2-го порядка, удовлетворяет уравнению Лапласа и убывает при стремлении к бесконечности, т.е. .

Основные задачи для уравнения Лапласа и Пуассона

Пусть D – ограниченная область с кусочно-гладкой границей S, а Е – неограниченная область ().

Задача

, (1)

, (2)

Называется задачей Дирихле для уравнения Лапласа (Пуассона). Задача Дирихле может быть внутренней, если решается в D, внешней – если в E.

Задача (1), (3)

, (3)

называется задачей Неймана для уравнения Лапласа (Пуассона), (n – внешняя нормаль к S).

Задача (1), (4)

, (4)

называется третьей краевой задачей для уравнения Лапласа (Пуассона). Различают соответственно внутренние и внешние задачу Неймана и третью краевую задачу.

Теоремы единственности

Теорема 1:

Первая внутренняя краевая задача для уравнения Лапласа (Пуассона) имеет единственное решение.

Доказательство:

Предположим, что существуют два решения, удовлетворяющих (1), (2). В силу непрерывности решений и линейности задачи – функция, гармоничная вD и удовлетворяет

.

По принципу максимума (ФункцияU(M), гармоничная в конечной области D, не может достигать даже локального максимума или минимума во внутренних точках D, за исключением, когда Uconst).

Теорема 2. Решение внутренней задачи Неймана уравнения Лапласа (Пуассона) определяется с точностью до константы.

Доказательство: Рассмотрим внутреннюю задачу Неймана

Предположим, что существует два решения . Обозначим. В силу линейности задачи разность решений будет гармонической в области, а также будет удовлетворять задаче.

Воспользуемся первой формулой Грина, положив V=U

,

т.е. решение внутренней задачи Неймана не единственно.

Рассмотрим третью краевую задачу

Теорема 3: Решение третьей внутренней краевой задачи для уравнения Лапласа (Пуассона) единственно.

Доказательство:

Предположим, что существуют два второго решения тогдагармоническая функция вD, которая удовлетворяет граничному условию

.

Применим к U первую формулу Грина, положив U=V,

.

Из граничного условия

,

.

Так как оба слагаемых неотрицательны, то

U=0 на S, , но наS .

Теорема доказана.

Функция U(M), определенная вне некоторой ограниченной области с границей  (– гладкая замкнутая поверхность), называется регулярной на , если при М U(M)<A/R, R=OM где О – начало координат, и гдеА – const.

Замечание. Можно показать, что функции, гармонические вне некоторой замкнутой поверхности S являются регулярными.

Теорема4. Решение внешних краевых задач для уравнения Лапласа (Пуассона) единственно

Доказательство:

Предположим, что существуют два различных решения рассматриваемой задачи . Выберем центр координат внутри замкнутой поверхностиS и проведем сферу , которая содержится внутриS. – область междуS и .

Обозначим . Применим формулу Грина, полагаяU=V в области