17. Минимизация днф.

Определение . Пусть заданы переменные и 1rn, тогда

называется дизъюнкция ранга r, если (производится двоичный набор) и.

Определение. Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется любая формула вида:

D=, где - конъюнкции произвольных рангов над некоторым множеством символов переменных.

Определение. Сложностью ДНФ D называется число L(D) равное количеству символов функций конъюнкций и дизъюнкций, входящих в ДНФ D.

Определение. ДНФ D называется минимальной, если ее сложность L(D) наименьшая среди всех ДНФ, представляющих ту же функцию, что и ДНФ D. Т. е.

D min ДНФ L(D)= min(L(D`))

.

Теорема. Существует алгоритм, позволяющий для каждой f0 найти min ДНФ, представляющую f.

Доказательство.

1. Т. к. f0,то существует хотя бы одна ДНФ, представляющая f. (СДНФ или ).

2. множество всех ДНФ, которые могут быть составлены с использованием переменных ()- конечное. Действительно, из символов переменныхможно построитьразличную элементарную конъюнкцию. Всякая ДНФ с точностью до порядка входящих в нее конъюнкций можно рассматривать, как непустое подмножество множества всех элементарных конъюнкций. Поэтому, с точностью до порядка вхождений элементарных конъюнкцийровноразличных ДНФ (нет пустого подмножества конъюнкций).

3. Для нахождения min ДНФ, представляющей f, достаточно последовательно просмотреть все ДНФ и найти из них такую ДНФ, которая представляетf и имеет наименьшую сложность.

Геометрический способ минимизации. Множество двоичных наборов

представляет собой множество вершин единичного n-мерного куба. Пусть , обозначим какмножество вершин этого куба, в которыхf=1. очевидны следующие свойства:

1.

2..

Тогда, если , то

.

Определение. Грань n-мерного единичного куба называется максимальной гранью для функции , если:

1.

2. .

Теорема. Если -минимальная ДНФ для функцииf, то всякая конъюнкция ,i=1…s соответствует максимальной грани для f.

Док-во. Пусть _{минимальная для f. Предположим, что некоторая грань не максимальная, .}

_{Т.к. , то ДНФ}

_{эквивалентна ДНФ D.}

_Т.к. , то граньимеет большую размерность (число свободных переменных). Т.к. количество переменных конъюнкции, порождающей грань и размерность грани находятся в обратной зависимости, то конъюнкциякороче, чем(чем короче конъюнкция, тем больше грань).Значит,содержит меньше конъюнкций, чем. Значит:

1.; 2.L(D’)=L(D). Последнее противоречит предположению о минимальности D. Значит, всякая грань должна быть максимальной дляf.

Минимизация методом эквивалентных преобразований.

В основе эквивалентных преобразований, позволяющих получить минимальную ДНФ на основе СДНФ некоторой функции лежат 3 правила:

1. Поглощение , , где К-некоторая элемент. Конъюнкция или 1.

2.Склеивание.

_{3.Обобщенное склеивание.}

18. Отношения эквивалентности и порядка.

Отношение эквивалентности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Всякое рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение ρ  A х A, называется отношением эквивалентности.

Если р - отношение эквивалентности и a ρ b, то элементы a и b называются эквивалентными в этом отношении или просто эквивалентными.

Отношение "быть родственником" является отношением

эквивалентности. Аналогично, отношением эквивалентности на множестве всех людей является отношение "быть однофамильцем". Это отношение разбивает множество

всех людей на классы людей, являющихся однофамильцами.

Для представления фундаментального свойства отношений эквивалентности введем понятие разбиения множества.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Разбиением множества А называется конечное или

бесконечное семейство множеств Ai, i  I таких, что:

1) A_i  A_j = , если i ≠ j;

2) U A_i = A_j.

^{i  I}

Здесь I это множество значений нижнего индекса множеств разбиения. В качестве множества I обычно применяется все или часть множества натуральных чисел.

Пусть A1, … , Ak - разбиение множества А. Нетрудно проверить, что отношение ρ на множестве А, определяемое соотношением: a ρ b   i ( a  Ai  b  Ai ), является отношением эквивалентности.

Следующая теорема показывает, что справедливо и обратное свойство.

ТЕОРЕМА

Всякое отношение эквивалентности на множестве А разбивает это множество на классы эквивалентных элементов.

Доказательство

Пусть ρ - отношение эквивалентности на множестве A.

Для каждого x  A обозначим как [х] множество {у | х ρ у}. Поскольку отношение ρ рефлексивно, то каждое множество [х] является непустым. Покажем, что семейство всех таких множеств образует разбиение A на классы эквивалентных элементов.

Пусть [x] и [у] - произвольные классы этого семейства. Токажем, что они либо не пересекаются, либо совпадают, т.е. возможны только два случая:

1) [х]  [у] = ;

2) [х]  [у] ≠ .

Предположим, что это свойство является неверным. То есть для некоторых двух элементов х и у имеет место равенство [х] = [у] (рис 1).

Рис. 1.

Здесь z - это элемент, общий для классов [х] и [у], а a и b произвольные элементы в [x] и [у] соответственно.

1. Докажем, что [х]  [у]. Пусть x ρ а. Покажем, что y ρ a:

a) поскольку x ρ z, то из симметричности ρ следует, что z ρ x;

b) поскольку z ρ x и x ρ a, то из транзитивности ρ вытекает, что z ρ a;

с) из y ρ z и z ρ a и транзитивности ρ имеем y ρ a.

Следовательно, [x]  [у]. ;. ,

2. Обратное включение [у]  [х] может быть доказано, если повторить проведенные рассуждения, поменяв в них местами x и y и заменив a на b.

Следовательно, справедливо равенство множеств [х] и [у]_. Последнее противоречит предположению о том, что эти множеси являются разными.

Это означает, что различные множества [х] образут разбиение А.

Для каждого класса [x] справедливо свойство

 а, b  [х] ( а ρ b).

Следовательно, семейство множеств {[x] | x  A}, образут разбиение на классы эквивалентных элементов.

Доказательство окончено.

Отношение порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение на некотором множестве называется отношением порядка.

Отношение порядка на некотором множестве А можно интерпретировать как отношение старшинства или подчиненности элементами А.

Например, если А - множество сотрудников некоторого учреждения, то отношение "руководить" является отношением порядка на этом множестве. То есть, если обозначить данное

отношение как ρ, то соотношение а ρ b означает, что сотрудник а руководит сотрудником b, или, что то же самое, а является начальником b.

Множество А, на котором задано отношение порядка, называется упорядоченным. Для обозначения множества А с заданным на нем отношением порядка ρ применяется запись

(А, ρ).

Элементы а и b упорядоченного множества (А, ρ) называются сравнимыми, если выполняется одно из двух соотношений: а ρ b или b ρ а.

Если (А, ρ) - это упорядоченное множество и множество А -конечное, то возможно наглядное представление отношения ρ в виде специальной диаграммы. На таких диаграммах элементы А изображаются точками. Из точки, соответствующей а, проводится дуга в точку, соответствующую b, в том и только в том случае, когда выполняется условие: а ρ b и не существует такого элемента c, отличного от а и b, что а ρ с и с ρ b. Кроме того, концы всякой дуги соединяют только разные вершины.

Такое представление отношений в виде диаграмм отличается от определенного ранее способа представления отношений. Отличие состоит в удалении ребер, соединяющих вершины, которые могут быть соединены цепочкой последовательно идущих ребер.

Из транзитивности отношения порядка следует, что это отношение может быть восстановлено по своей диаграмме. .

Действительно, справедливость соотношения а ρ b означает что в диаграмме существует цепочка ребер, ведущая из а в b. Если а = b, то такая цепочка пустая.