Системы
.pdfГЛАВА 5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§1. Понятие системы линейных уравнений и ее решения
В общем случае система m линейных уравнений с n неизвестными имеет следующий
вид:
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 |
|
|
|||||||
a21 x1 a22 x2 |
a2n xn |
b2 |
. |
(5.1) |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
a |
x a |
m2 |
x |
2 |
a |
x |
b |
|
|
|
m1 1 |
|
|
mn n |
m |
|
При этом через x1, x2 , , xn обозначены неизвестные, подлежащие определению (число их n не предполагается обязательно равным числу уравнений m); величины a11, a12 , , amn , называемые коэффициентами системы, и величины b1, b2 , , bm, называемые свободными членами, предполагаются известными. Каждый коэффициент системы aij имеет два индекса,
первый из которых i указывает номер уравнения, а второй j — номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.
Система (5.1) называется однородной, если все ее свободные члены b1, b2 , , bm равны нулю.
Если хотя бы один из свободных членов отличен от нуля, то система (5.1) называется неоднородной.
Система (5.1) называется квадратной, если число m составляющих ее уравнений равно числу неизвестных n.
Решением системы (5.1) называется такая совокупность n чисел c1, c2 , , cn , которая при подстановке в систему (5.1) на место неизвестных x1, x2 , , xn обращает все уравнения этой системы в тождества.
Система уравнений вида (5.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее не существует ни одного решения.
Совместная система вида (5.1) может иметь либо одно, либо несколько решений. Два решения совместной системы вида (5.1) c1(1) , c2(1) , , cn(1) и c1(2) , c2(2) , , cn(2) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств c1(1) c1(2) , c2(1) c2(2) , , cn(1) cn(2) .
Совместная система вида (5.1) называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
38
|
|
|
|
|
Обозначим векторы-столбцы, состоящие из коэффициентов системы |
(5.1) |
||||||||||||
|
a11 |
|
|
|
|
|
a12 |
|
|
|
a1n |
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
a21 |
|
|
, |
|
|
a22 |
|
|
, , |
a2n |
|
|
через a1, a2 , , an , а вектор-столбец свободных членов |
b2 |
|
|
через |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am1 |
|
|
|
|
|
am2 |
|
|
|
amn |
|
|
|
bm |
|
|
|
b . Тогда система линейных уравнений (5.1) в векторном виде представима следующим образом:
a1x |
a2 x |
2 |
an x |
n |
b. |
(5.2) |
1 |
|
|
|
|
Весьма удобно записывать линейную систему (5.1) в матричной форме. Для этого используем понятие произведения двух матриц (таких, что число столбцов первой из них равно числу строк второй). В качестве перемножаемых матриц возьмем две матрицы: матрицу
|
a11 |
a12 |
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A |
a21 |
a22 |
a2n |
|
|
, |
(5.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
am1 |
am2 |
|
amn |
|
|
|
|
содержащую m строк и n столбцов и составленную из коэффициентов при неизвестных, и матрицу
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
X |
x2 |
|
|
, |
(5.4) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
содержащую n строк и один столбец. |
|
|
|
|
|
Согласно правилу перемножения двух матриц, произведение AX |
матрицы (5.3) на |
матрицу (5.4) представляет собой матрицу, содержащую m строк и один столбец, т.е. столбец следующего вида:
|
a11 x1 a12 x2 a1n xn |
|
|
|
|
|
|
|
|||
AX |
a21 x1 a22 x2 a2n xn |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
am1 x1 am2 x2 amn xn |
|
|
|
|
Из системы равенств (5.1) следует, что столбец (5.5) совпадает со столбцом
b1 B b2 .
bm
(5.5)
(5.6)
39
Таким образом, в матричной записи систему (5.1) можно заменить одним эквивалентным ей матричным уравнением
AX B ,
в котором матрицы A, X и B определяются соотношениями (5.3), (5.4) и (5.6). Решение матричного уравнения заключается в отыскании такого столбца (5.4), который при заданной матрице (5.3) и заданном столбце правых частей (5.6) обращает это уравнение в тождество.
§2. Условие совместности системы линейных уравнений
Пусть дана система линейных уравнений (5.1). Для решения вопроса о ее совместности возьмем матрицу A из коэффициентов системы, которую принято называть основной матрицей системы, и расширенную матрицу A , полученную присоединением к матрице A столбца свободных членов:
|
a11 |
a12 |
a1n |
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a1n |
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
A |
a21 |
a22 |
a2n |
|
|
, |
|
|
a21 |
a22 |
a2n |
b2 |
|
|
|
. |
|
|
A |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am1 |
am2 |
amn |
|
|
|
|
|
am1 |
am2 |
amn |
bm |
|
|
|
|
Вычислим ранги этих матриц. Ранг матрицы A либо равен рангу матрицы A, либо на единицу больше. Действительно, берем некоторую максимальную линейно независимую систему столбцов матрицы A. Она будет линейно независимой и в матрице A . При этом, если она сохраняет и свойство максимальности (т.е. через нее линейно выражается столбец свободных членов), ранги матриц A и A равны; в противном случае, присоединяя к этой системе столбец свободных членов, получим линейно независимую систему столбцов матрицы A , которая будет в ней максимальной.
Вопрос о совместности системы линейных уравнений полностью решается следующей теоремой.
Теорема 5.1 (теорема Кронекера Капелли). Система линейных уравнений сов-
местна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы этой системы равен рангу ее основной матрицы.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть система (5.2) совместна и пусть x0 x10 , x20 , , xn0
— одно из ее решений. Подставляя эти числа вместо неизвестных в систему (5.2), получим
40
тождество a1x0 a2 x |
0 |
an x0 b, которое показывает, что последний столбец матри- |
|||
|
|
|
1 |
2 |
n |
цы |
|
является суммой всех остальных столбцов, взятых соответственно с коэффициентами |
|||
A |
|||||
x0 , |
x0 , , |
x0 , т.е. b |
|
— линейная комбинация векторов-столбцов a1, a2 , , an. Всякий |
|
1 |
2 |
n |
|
|
другой столбец матрицы A входит и в матрицу A, и обратно, всякий столбец матрицы A является столбцом и в A . Таким образом, если r — ранг основной матрицы, т.е. r — макси-
мальное число линейно независимых векторов системы столбцов |
a1, |
a2 , , |
an , |
то и |
|||
максимальное число линейно независимых векторов системы |
|
, a |
|
|
n |
|
|
a1 |
2 , , an , b ai xi0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
тоже равно r. То есть обе эти системы m-мерных векторов имеют один и тот же ранг; иными словами, ранги матриц A и A равны между собой.
Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть теперь дано, что матрицы A и A имеют равные ранги,
т.е. rg A = rg |
|
= |
r . |
Следовательно, |
любая максимальная линейно независимая система |
||||||||||||||||||
A |
|||||||||||||||||||||||
столбцов матрицы A остается максимальной линейно независимой системой и в матрице |
|
. |
|||||||||||||||||||||
A |
|||||||||||||||||||||||
Пусть для определенности в системе |
a1, |
a2 , , |
an |
|
первые r |
векторов a1, a2 , , ar |
|||||||||||||||||
линейно независимы, |
а |
остальные векторы-столбцы |
|
являются |
линейной комбинацией |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
первых |
r столбцов. Так как rg A = rg |
A |
= r , то система |
|
a1, a2 , , |
an , b тоже содержит r |
|||||||||||||||||
линейно независимых векторов, и т.к. |
все столбцы матрицы A входят в |
|
, то и в системе |
||||||||||||||||||||
A |
|||||||||||||||||||||||
a1, a2 , |
, |
an |
максимальную |
|
линейно |
|
независимую |
систему составляют векторы |
|||||||||||||||
a1, a2 , , |
ar . Следовательно векторы ar 1, |
ar 2 , , |
an , |
b — линейная комбинация пер- |
|||||||||||||||||||
вых столбцов матрицы A. Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
b a1 |
a |
2 ar |
ar 1 an, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
r |
r 1 |
|
|
|
n |
|||||
где x0 для i 1, |
2, |
, |
n и |
j |
0 для |
j r 1, |
r 2, , n . Значит |
||||||||||||||||
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 x10 , x20 , , xn0
— решение системы (5.2). Теорема доказана.
При применении теоремы Кронекера Капелли к конкретным примерам, необходимо вычислить ранг матрицы A, для чего надо найти один из тех отличных от нуля миноров этой матрицы, для которого все миноры, его окаймляющие, равны нулю; пусть это будет минор M . После этого следует вычислить все миноры матрицы A , окаймляющие M , но в A не содержащиеся. Если они все равны нулю, то ранг матрицы A равен рангу матрицы A, и поэтому система (5.1) совместна. В противном случае она несовместна.
41
§3. Отыскание решений линейной системы. Правило Крамера
Теорема Кронекера Капелли устанавливает необходимое и достаточное условие совместности линейной системы, но не дает способа нахождения решений этой системы.
В этом параграфе мы займемся отысканием решений линейной системы (5.1). Сначала рассмотрим простейший случай квадратной системы линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы, а затем перейдем к отысканию совокупности всех решений общей линейной системы вида (5.1).
Пусть дана квадратная система линейных уравнений
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 |
|
||||||
a21 x1 a22 x2 |
a2n xn |
b2 |
|
(5.7) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a x a |
n2 |
x |
2 |
a x |
b |
|
|
n1 1 |
|
nn n |
n |
|
|
с отличным от нуля определителем основной матрицы
|
a11 |
a12 |
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A |
a21 |
a22 |
|
a2n |
|
|
. |
(5.8) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
an1 |
an2 |
ann |
|
|
|
|
Докажем, что эта система имеет и притом единственное решение.
Е д и н с т в е н н о с т ь р е ш е н и я. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Предположим, |
что |
существует |
|
некоторое |
решение |
системы |
||||||||
x0 (x0 |
, x0 |
, , x0), обращающее все уравнения этой системы в тождества |
|
|||||||||||
1 |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 x10 a12 x20 a1n xn0 b1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
a21 x10 a22 x20 a2n xn0 |
b2 |
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
a |
x0 a |
n2 |
x |
0 |
a |
nn |
x0 |
b |
|
|
|
|
|
|
|
n1 1 |
|
2 |
|
n |
n |
|
|
(5.7)
(5.9)
Тогда, умножая равенства (5.9) соответственно на алгебраические дополнения
A1 j , A2 j , , Anj |
элемента j-го столбца определителя матрицы (5.8) и складывая затем от- |
|
дельно |
левые и |
правые части получившихся при этом равенств, получим (для любого |
j 1, 2, |
, n) |
|
n |
a1i A1 j a2i A2 j ani Anj b1A1 j b2 A2 j bn Anj . |
xi0 |
|
i 1 |
|
|
42 |
Учитывая, что сумма произведений элементов i-го столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов j-го столбца равна нулю при i j и равна определителю матрицы (5.8) при i j , получим из последнего равенства
x0 b A |
b A |
b A . |
(5.10) |
|
j |
1 1 j |
2 2 j |
n nj |
|
Обозначим символом j определитель, получающийся из определителя матрицы
(5.8) заменой его j-го столбца столбцом свободных членов b1, b2 , , bn. Тогда равенство
(5.10) принимает вид |
|
|
|
|
|
x0j j |
( j 1, 2, , n). |
(5.11) |
|||
Поскольку определитель матрицы (5.8) отличен от нуля, равенства (5.11) эквива- |
|||||
лентны соотношениям |
|
|
|
|
|
x0j |
|
j |
( j 1, 2, , n) . |
(5.12) |
|
|
|||||
|
|
|
|
Таким образом доказано, что если решение системы (5.7) с определителем основной матрицы (5.8), отличным от нуля, существует, то это решение однозначно определяется формулами (5.12).
Формулы (5.12) называются формулами Крамера. С у щ е с т в о в а н и е р е ш е н и я.
Для доказательства существования решения системы (5.7), исходя из теоремы Кронекера Капелли, достаточно доказать, что ранг основной матрицы (5.8) равен рангу расширенной матрицы
|
|
a11 |
a12 |
a1n |
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
a21 |
a22 |
a2n |
b2 |
|
|
|
. |
|
|
A |
(5.13) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
an1 |
an2 |
ann |
bn |
|
|
|
|
|
Но это очевидно, т.к. в силу соотношения 0 ранг основной матрицы равен n, а ранг содержащей n строк расширенной матрицы (5.13) больше числа n быть не может и потому равен рангу основной матрицы.
Тем самым полностью доказано, что квадратная система линейных уравнений (5.7) с определителем основной матрицы, отличным от нуля, имеет и притом единственное решение определяемое формулами Крамера (5.12).
Определим доказанное выше утверждение матричным способом. Для этого заменим
систему (5.7) эквивалентным ей матричным уравнением |
|
AX B , |
(5.14) |
43
где A — основная матрица системы, а X и B — столбцы:
|
x1 |
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
X |
x2 |
|
|
, |
B |
b2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
bn |
|
|
|
|
Так как определитель матрицы A отличен от нуля, то существует обратная матрица
A 1.
Предположим, что существует решение системы (5.7). Умножая (5.14) слева на обратную матрицу A 1, имеем
A 1( AX ) A 1B.
Тогда в силу сочетательного свойства произведения трех матриц (см. гл.1 §2) и в силу соотношения A 1 A E (см. гл.3 § 4),
A 1( AX ) ( A 1 A) X EX X .
Следовательно, имеем |
|
X A 1B. |
(5.15) |
Учитывая вид обратной матрицы (см. гл.3 §4), мы получим для элементов столбца X формулы Крамера.
Таким образом доказано, что если решение матричного уравнения (5.14) существует, то оно однозначно определяется соотношением (5.15), эквивалентным формулам Крамера.
Убедимся, что столбец X , определяемый соотношением (5.15), в самом деле является решением матричного уравнения (5.14), т.е. при подстановке в это уравнение обращает его в тождество:
AX A( A 1B) ( AA 1)B EB B .
Итак, если определитель матрицы A отличен от нуля, то существует и притом единственное решение матричного уравнения (5.14), определяемое соотношением (5.15), эквивалентным формулам Крамера.
Основное значение правила Крамера заключается в том, что в тех случаях, когда это правило применимо, оно дает явное выражение для решения системы через ее коэффициенты. Практическое использование правила Крамера связано, однако, с большим количеством громоздких вычислений: в случае системы n линейных уравнений с n неизвестными приходится вычислять n 1 определитель n-го порядка. Кроме того, если коэффициенты уравнений и свободные члены представляют собой лишь приближенные значения каких-либо измеряемых физических величин или округляются в процессе вычислений, то применение
44
формул Крамера может привести к большим ошибкам и в ряде случаев является нецелесообразным.
Рассмотрим теперь общую систему m линейных уравнений с n неизвестными (5.1). Предположим, что эта система совместна и матрица A имеет ранг r. Не ограничивая общности, будем считать линейно независимыми первые r строк матрицы A. Каждая из строк, начиная с (r 1)-й строки, является их линейной комбинацией. Тогда первые r строк расширенной матрицы A также будут линейно независимыми, а всякая другая строка этой матрицы будет их линейной комбинацией. Отсюда следует, что всякое уравнение системы (5.1) можно представить как сумму первых r уравнений, взятых с некоторыми коэффициентами, а поэтому любое общее решение первых r уравнений будет удовлетворять всем урав-
нениям системы (5.1). Следовательно, достаточно найти все решения системы
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 |
|
||||||||||
a21 x1 a22 x2 |
a2n xn |
b2 |
. |
(5.16) |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
a |
x a |
r 2 |
x |
2 |
a |
rn |
x |
n |
b |
|
|
|
r1 1 |
|
|
|
r |
|
|
||||
Так как строки из коэффициентов при неизвестных в уравнениях (5.16) линейно неза- |
|||||||||||
висимы, т.е. матрица из коэффициентов имеет ранг, равный r, |
то r n и, кроме того, хотя бы |
один из миноров r-го порядка этой матрицы отличен от нуля. Если r n, то (5.16) будет системой с равным числом уравнений и неизвестных и с отличным от нуля определителем, т.е. она, а поэтому и система (5.1) обладает единственным решением, а именно — вычисляемым по правилу Крамера.
Пусть теперь r n и пусть, для определенности, отличен от нуля минор r-го порядка,
составленный из коэффициентов при первых |
неизвестных. Перенесем в каждом из уравне- |
||
ний (5.16) в правую часть все члены с неизвестными xr 1, xr 2 , , xn |
и выберем для этих |
||
неизвестных некоторые значения cr 1, cr 2 , |
, cn. Получим систему r |
уравнений |
|
a11 x1 a12 x2 a1r xr b1 a1,r 1cr 1 a1,r 2cr 2 a1ncn |
|
||
a21 x1 a22 x2 a2r xr b2 a2,r 1cr 1 a2,r 2cr 2 a2ncn |
(5.17) |
||
|
|
|
|
|
|
||
ar1 x1 ar 2 x2 arr xr br ar ,r 1cr 1 ar ,r 2cr 2 arncn |
|
относительно r неизвестных x1, x2 , , xr . К этой системе применимо правило Крамера, и поэтому она обладает единственным решением c1, c2 , , cr ; очевидно, что система чисел c1, c2 , , cr , cr 1, , cn — это решение системы (5.16). Так как значения
45
cr 1, cr 2 , , cn для неизвестных xr 1, xr 2 , , xn, называемых свободными неизвестными, можно выбирать произвольным образом, то этим путем будет получено бесконечно много различных решений системы (5.16).
С другой стороны, всякое решение системы (5.16) может быть получено указанным путем: если дано некоторое решение c1, c2 , , cn системы (5.16), то в качестве значений для свободных неизвестных берем числа cr 1, cr 2 , , cn. Тогда числа c1, c2 , , cr будут удовлетворять системе (5.17) и поэтому будут составлять то единственное решение этой системы, которое вычисляется по правилу Крамера.
Все сказанное выше можно объединить в виде следующего правила решения произвольной системы линейных уравнений:
Пусть дана совместная система линейных уравнений (5.1) и пусть матрица из коэффициентов A имеет ранг r. Выбираем в A r линейно независимых строк и оставляем в системе (5.1) лишь уравнения, коэффициенты которых вошли в выбранные строки. В этих уравнениях оставляем в левых частях такие r неизвестных, что определитель из коэффициентов при них отличен от нуля, а остальные неизвестные объявляем свободными и переносим в правые части уравнений. Давая свободным неизвестным произвольные числовые значения и вычисляя значения остальных неизвестных по правилу Крамера, мы получим все решения системы (5.1).
Итак, совместная система (5.1) тогда и только тогда обладает единственным решением, когда ранг матрицы A равен числу неизвестных.
§4. Система линейных однородных уравнений
Рассмотрим систему линейных однородных уравнений:
a11 x1 a12 x2 |
a1n xn |
0 |
|
||||
a21 x1 a22 x2 |
a2n xn |
|
|
||||
0 . |
(5.18) |
||||||
|
|
|
|
||||
a |
x a |
m2 |
x |
a |
x |
0 |
|
|
m1 1 |
2 |
|
mn n |
|
|
Из теоремы Кронекера Капелли следует, что эта система всегда совместна, т.к. добавление столбца свободных членов, состоящего из нулей, не может повысить ранг матрицы. Это видно и непосредственно — система (5.18) заведомо обладает нулевым решением
(0, 0, , 0) .
Пусть матрица A, составленная из коэффициентов системы (5.18), имеет ранг r.
46
Утверждение. Если r n, то нулевое решение будет единственным решением системы (5.18); при r n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для отыскания этих решений применяется тот же прием, что и в случае произвольной системы уравнений.
Теорема 5.2. Для того, чтобы система n линейных однородных уравнений с n неизвестными обладала ненулевыми решениями, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю.
До к а з а т е л ь с т в о.
Не о б х о д и м о с т ь. Пусть det A 0, т.е. к этой системе применимо правило Крамера. Значит, существует единственное решение, равное нулю: x1 x2 xn 0 , т.к. все
определители j ( j 1, 2, , n) содержат столбец, составленный из нулей, и поэтому рав-
ны нулю. Следовательно, для того, чтобы система n линейных однородных уравнений с n неизвестными обладала ненулевыми решениями, необходимо, чтобы определитель этой системы был равен нулю.
Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть det A 0. Следовательно, rg A n и в матрице A столбцы a1, a2 , , an — линейно зависимы, а значит существуют такие числа 1 , 2 , , n , не все из которых равны нулю, что выполняется равенство:
1a1 2 a2 n an 0 .
Значит, x0 ( 1 , 2 , , n ) 0 — решение уравнения Ax 0. Теорема доказана.
Следствие. Если в системе линейных однородных уравнений число уравнений меньше числа неизвестных (m n ), то система обладает решениями, отличными от нулевого.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
rg A min (m, n) . Так как m n , то ранг не может быть равным числу неизвестных, т.е. rg A n. Следствие доказано.
Решения системы линейных однородных уравнений обладают следующими свойствами.
Теорема 5.3. Всякая линейная комбинация решений системы (5.18) также является решением этой системы.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть x0 (x10 , x20 , , xn0 ) и y0 ( y10 , y20 , , yn0 ) — решения системы (5.18), а 1 , 2 —
некоторые действительные числа. Докажем, что 1 x0 2 y0 также является решением этой системы.
47