Глава 2 Программная реализация решения систем нелинейных уравнений методом простой итерации

2.1 Программная реализация решения систем нелинейных уравнений методом простой итерации в Turbo Pascal

Система программирования Турбо Паскаль представляет собой единство двух в известной степени самостоятельных начал: компилятора с языка программирования Паскаль (язык назван в честь выдающегося французского математика и философа Блеза Паскаля (1623-1662)) и некоторой инструментальной программной оболочки, способствующей повышению эффективности создания программ. Для краткости условимся в дальнейшем называть реализуемый компилятором язык программирования Паскаль - языком Турбо Паскаля, а разнообразные сервисные услуги, представляемые программной оболочкой, - средой Турбо Паскаля.

Среда Турбо Паскаля - это первое, с чем сталкивается любой программист, приступающий к практической работе с системой. Если Вы по каким-либо причинам не собираетесь писать собственные программы, можно пропустить эту главу, в которой приводятся минимальные сведения об основных приемах работы в среде Турбо Паскаля[7].

Пример 1.

Методом простой итерации решить систему

на отрезке [-1,1] с точностью

Решение в Turbo Pascal см. рис. 2.1 и рис. 2.2.

Рис. 2.1 – Метод простой итерации в Turbo Pascal

Рис. 2.2 – Метод простой итерации в Turbo Pascal

Пример 2.

Методом простой итерации решить систему

на отрезке [0;1] с точностью

Решение в Turbo Pascal см. рис. 2.3 и рис. 2.4.

Рис. 2.3 - Метод простой итерации в Turbo Pascal

Рис. 2.4 – Метод простой итерации в Turbo Pascal

2.2 Программная реализация решения систем нелинейных уравнений методом простой итерации в Mathematica

Mathematica — система компьютерной алгебры компании Wolfram Research. Содержит множество функций как для аналитических преобразований, так и для численных расчётов. Кроме того, программа поддерживает работу с графикой и звуком, включая построение двух- и трёхмерных графиков функций, рисование произвольных геометрических фигур, импорт и экспорт изображений и звука[3].

Многие нелинейные уравнения и системы нелинейных уравнений в принципе не имеют аналитических решений. Однако их решение вполне возможно численными методами. Для численного решения систем нелинейных уравнений используется функция :

— пытается численно решить одно уравнение или систему уравнений относительно переменных ;

— пытается численно решить уравнения относительно , исключая переменные .

С этой функцией используется единственная опция WorkingPrecision, задающая число верных цифр результата — по умолчанию 16.

— ищет численное решение уравнения , начиная с [9].

Пример 1.

Методом простой итерации решить систему

на отрезке [-1,1] с точностью

Решение в Mathematica см. рис. 2.5

Рис. 2.5 – Метод простой итерации в Mathematica

Пример 2.

Методом простой итерации решить систему

на отрезке [0;1] с точностью

Решение в Mathematica см. рис. 2.6.

Рис. 2.6 – Метод простой итерации в Mathematica

2.3 Программная реализация решения систем нелинейных уравнений методом простой итерации в MathCad

Mathcad является интегрированной системой решения математических, инженерно-технических и научных задач. Он содержит текстовый и формульный редактор, вычислитель, средства научной и деловой графики, а также огромную базу справочной информации, как математической, так и инженерной, оформленной в виде встроенного в Mathcad справочника, комплекта электронных книг и обычных «бумажных» книг, в том числе и на русском языке.

Mathcad создает удобную вычислительную среду для самых разнообразных математических расчётов и документирования результатов работы в рамках утверждённых стандартов. Mathcad позволяет создавать корпоративные и отраслевые средства сертифицированных расчётов в различных отраслях науки и техники, обеспечивающие единую методологию для всех организаций, входящих в корпорацию или отрасль[4].

Возвращает точное решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.

Ключевое слово Given, уравнения и неравенства, которые следуют за ним, и какое-либо выражение, содержащее функцию Find, называют блоком решения уравнений.

Следующие выражения недопустимы внутри блока решения:

Ограничения со знаком .

Дискретный аргумент или выражения, содержащие дискретный аргумент в любой форме.

Неравенства вида .

Блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга, каждый блок может иметь только одно ключевое слово Given и имя функции Find[8].

Пример 1.

Методом простой итерации решить систему

на отрезке [-1,1] с точностью

Решение в MathCad см. рис. 2.7.

Рис. 2.7 – Метод простой итерации в MathCad

Пример 2.

Методом простой итерации решить систему

на отрезке [0;1] с точностью

Решение в MathCad см. рис. 2.8.

Рис. 2.8 – Метод простой итерации в MathCad