12. Волновая функция. Луи де-Бройль выдвинул гипотезу, что дуализм не является особенностью одних только оптических явлений, но имеет универсальное значение.

Допуская, что частицы вещества наряду с корпускулярными свойствами имеют также и волновые, де-Бройль перенес на случай частиц вещества те же правила перехода от одной картины к другой, какие справедливы в случае света. Фотон, обладает энергией ω=E/h и импульсом p =2πh / λ

По идее де-Бройля, движение электрона или какой-либо другой частицы связано с волновым процессом, длина волны которого равна 66

– ф-ла де Бройля, а частота ω=E/h.

Принцип суперпозиции. Принцип суперпозиции (наложения) волн заключается в следующем: в линейных средах волны распространяются независимо друг от друга, то есть волна не изменяет свойства среды, и другая волна распространяется так, будто первой волны нет. Это позволяет вычислять итоговую волну как сумму всех волн, распространяющихся в данной среде.

При сложении двух или более синусоидальных волн результирующая волна в общем случае уже не будет синусоидальной.

Рассмотрим в качестве примера результат сложения двух плоских однонаправленных волн с одинаковыми амплитудами и разными, но близкими частотами и волновыми числами:

Полученная волна не является синусоидальной, так как величина перед синусом (амплитуда волны) меняется со временем и координатой. Однако, если на длине волны (и в течении периода) её изменения малы (что имеет место при малых dk и dw), волна ещё похожа на синусоиду; её иногда называют квазисинусоидальной. График этой волны представляет собой то, что мы в теории колебаний назвали биениями; однако здесь, в отличие от маятника, биения происходят не только во времени, но и в пространстве.

Уравнение Клейна-Гордона.

или, кратко, используя вдобавок естественные единицы (где ):

(где ψ — оператор Д’Аламбера) — является релятивистской версией уравнения Шрёдингера. Используется для описания быстро движущихся частиц, имеющих массу (массу покоя). Строго применимо к описанию скалярных массивных полей (впрочем, пока с определенностью не известных в фундаментальной физике).

Кроме прочего, легко видеть, что уравнение Клейна — Гордона — Фока является обобщением волнового уравнения, подходящего для описания безмассовых скалярных и векторных полей.

Механические системы (реальные или воображаемые), описывающиеся уравнением Клейна — Гордона, могут быть простыми модификациями систем, описывающихся волновым уравнением, например:

в одномерном случае — натянутая тяжелая нить, лежащая (приклеенная) на упругой (гуковской) подкладке.

макроскопически изотропный кристалл, каждый атом которого находится, кроме связи с соседними атомами, еще и в фиксированной в пространстве квадратичной потенциальной яме.

более реалистично, если говорить о реальных кристаллах, рассмотреть моды поперечных колебаний, при которых, например, соседние слои атомов колеблются в противофазе: такие моды (в линейном приближении) будут подчиняться двумерному уравнению Клейна — Гордона в координатах, лежащих в плоскости слоев.

Уравнение, в котором последний («массовый») член имеет знак, противоположный обычному, описывает в теоретической физике тахион. Такой вариант уравнения также допускает простую механическую реализацию.

Уравнение Клейна — Гордона для свободной частицы (которое и приведено выше) имеет простое решение в виде синусоидальных плоских волн.

Замечание: положив пространственные производные нулю (что в квантовой механике соответствует нулевому импульсу частицы), мы имеем для обычного уравнения Клейна — Гордона гармонический осциллятор с частотой , что соответствует ненулевой энергии покоя, определяемой массой m частицы. Тахионный же вариант уравнения в этом случае неустойчив, а решение его включает в общем случае неограниченно возрастающую экспоненту.