2.6. Корни квадратного уравнения

Пусть дано квадратное уравнение с любыми коэффициентами. Это уравнение можно переписать в виде, следовательно,, или. Выражениерассматривается как комплексное число, поэтому квадратный корень из этого выражения принимает два значения.

П р и м е р.Решить уравнение.

Решение.Согласно полученной ранее формуле. Найдем. Пусть. Тогда. Из равенства комплексных чисел следует, что,. Из второго уравнения, поэтому, или. Решив последнее уравнение, находим, т. е., или. По правилу извлечения квадратного корня из комплексного числа, т. е., или,.

2.7. Корни кубического уравнения

Пусть дано кубическое уравнение . Введем новую переменную. Тогда исходное уравнение преобразуется следующим образом:или

, (2.3) где ,.

Корни уравнения (2.3) вычисляются по формулам Кардана:

.

Пусть один из равен, а один изравен, причем, тогда. Однако уравнение третьей степени имеет три корня:,и. Корни,,расположены на окружности радиусом, причем,, т. е.и. Аналогично находим, чтои. Пары ,(, ) выбираются таким образом, чтобы. Этому условию удовлетворяют пары () и (). Корни уравнения (2.3) задаются соотношениями:,,. Корни исходного уравнения,

П р и м е р.Решить уравнение.

Решение.В данном уравнении,,, поэтомуили. Подставляяв исходное уравнение, получим, в котором,. Поэтому,,,. Таким образом,,. Учитывая, что, находим решения исходного уравнения:,.

2.8. Корни уравнения четвертой степени

Уравнение четвертой степени

(2.4) решается методом Феррари. Преобразуем левую часть (2.4) с помощью вспомогательного параметра следующим образом:

. (2.5) Параметр подбирается таким образом, чтобы выражение, стоящее во вторых скобках правой части, было квадратом двучлена первой степени.

Следовательно, должно выполняться условие .

Это уравнение третьей степени относительно , которое решается по формулам Кардана. Пусть− один из корней этого уравнения. Тогда выражениеприводится к виду:

,

где ,, а уравнение (2.4) принимает вид

или

.

Решение последнего уравнения сводится к решению двух квадратных уравнений.

П р и м е р. Решить уравнение.

Решение.Введем дополнительный параметри преобразуем левую часть исходного уравнения:

.

Рассмотрим уравнение . Это уравнение имеет один кратный корень, если, т. е. выполняется равенство

.

При решении этого уравнения получаем, что один из его корней . При этом значенииуравнение принимает вид

, т. е. .

Из полученных соотношений находим корни исходного уравнения: ,.

Индивидуальные задания по теме

«Комплексные числа»

ВАРИАНТ 1

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа.

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих неравенству .

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ; ]) .

6. Доказать тождество: .

ВАРИАНТ 2

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа.

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам ,.

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ; ]) .

6. Доказать тождество .

ВАРИАНТ 3

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа.

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам .

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ; ]) .

6. Доказать тождество .

ВАРИАНТ 4

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа.

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам .

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ; ]) .

6. Доказать тождество .

ВАРИАНТ 5

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа.

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам ,.

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ; ]) .

6. Доказать тождество .

ВАРИАНТ 6

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа.

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам .

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ; ]) .

6. Доказать тождество .

ВАРИАНТ 7

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам .

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ; ]) .

6. Доказать тождество .

ВАРИАНТ 8

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа.

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам .

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ; ]) .

6. Доказать тождество .

ВАРИАНТ 9

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа.

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам .

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ; ]) .

6. Доказать тождество .

ВАРИАНТ 10

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа.

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам ,.

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ; ]) .

6. Доказать тождество .

ВАРИАНТ 11

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа.

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам ,.

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ; ]) .

6. Доказать тождество ,.

ВАРИАНТ 12

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа.

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам .

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ; ]) .

6. Доказать тождество ,.

ВАРИАНТ 13

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа.

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам ,.

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ; ]) .

6. Доказать тождество .

ВАРИАНТ 14

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа.

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам ,.

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ; ]) .

6. Доказать тождество ,.

ВАРИАНТ 15

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа.

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам ,.

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ; ]) .

6. Доказать тождество ,.

ВАРИАНТ 16

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа.

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам ,.

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ; ]) .

6. Доказать тождество .

ВАРИАНТ 17

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа.

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам ,.

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ; ]) .

6. Доказать тождество .

ВАРИАНТ 18

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа.

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам ,.

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ; ])

6. Доказать тождество .

ВАРИАНТ 19

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа.

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам ,.

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ; ]) .

6. Доказать тождество .

ВАРИАНТ 20

1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа .

2. Найти модуль и главное значение аргумента () комплексного числа.

3. Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости .

4. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным неравенствам ,.

5. Представить в алгебраической форме значение функции комплексного переменного (главное значение аргумента находится в промежутке ; ]) .

6. Доказать тождество .

Индивидуальные задания по теме «Многочлены»

ВАРИАНТ 1

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен.

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня 1 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленови.

5. Найти корни уравнения .

ВАРИАНТ 2

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен.

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня 2 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленови.

5. Найти корни уравнения .

ВАРИАНТ 3

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен.

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня 1 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленови.

5. Найти корни уравнения .

ВАРИАНТ 3

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен.

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня 3 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленови.

5. Найти корни уравнения .

ВАРИАНТ 5

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен.

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня -1 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленови.

5. Найти корни уравнения .

ВАРИАНТ 6

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен.

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня 2 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленови.

5. Найти корни уравнения .

ВАРИАНТ 7

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен.

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня 1 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленови.

5. Найти корни уравнения .

ВАРИАНТ 8

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен.

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня 1 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленови.

5. Найти корни уравнения .

ВАРИАНТ 9

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен.

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня -1 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленови.

5. Найти корни уравнения .

ВАРИАНТ 10

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен.

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня 1 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленови.

5. Найти корни уравнения .

ВАРИАНТ 11

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен.

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня 2 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленови.

5. Найти корни уравнения .

ВАРИАНТ 12

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен.

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня -1 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленови.

5. Найти корни уравнения .

ВАРИАНТ 13

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен.

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня 3 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленови.

5. Найти корни уравнения .

ВАРИАНТ 14

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен.

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня -1 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленови.

5. Найти корни уравнения .

ВАРИАНТ 15

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен.

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня 2 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленови.

5. Найти корни уравнения .

ВАРИАНТ 16

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен.

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня -1 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленови.

5. Найти корни уравнения .

ВАРИАНТ 17

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен.

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня 1 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленови.

5. Найти корни уравнения .

ВАРИАНТ 18

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен.

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня -1 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленови.

5. Найти корни уравнения .

ВАРИАНТ 19

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен.

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня 1 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленови.

5. Найти корни уравнения .

ВАРИАНТ 20

1. Найти остаток от деления многочлена на многочлен.

2. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простейшие дроби выражение .

3. Чему равен показатель кратности корня 2 для многочлена ?

4. Найти наибольший общий делитель многочленови.

5. Найти корни уравнения .

58