Свойства делимости многочленов

1. Если делится на, аделится на, тоделится на.

Доказательство. Так как делится на, аделится на, то существуют многочленыитакие, чтои. Поэтому, т. е.делится на.

2. Если иделятся на, тоделится на.Доказать аналогично доказательству свойства 1.

3. Если делится на, топроизведениеделится на.Это свойство предлагается доказать самостоятельно.

4. Если ,делится на, то,суммаделится на.Это свойство предлагается доказать самостоятельно.

5. Любой многочлен делится на многочлен нулевой степени.

Доказательство. Пусть С, С  0 – многочлен нулевой степени. Тогда , т. е.делится наС.

2. Если делится на, тоделится на, где.Это свойство предлагается доказать самостоятельно.

3. Если ,− делители многочлена, то они имеют такую же степень, что и.

Доказательство. Многочлен можно представить в виде. Из того, что, следует доказываемое утверждение.

2. Многочлены иделятся друг на друга, если существует,такое, что.Это свойство предлагается доказать самостоятельно.

3. Если , то делитель одного из многочленовибудет делителем и другого многочлена.

Доказательство. Пусть многочлен является делителем. Тогда существует многочлентакой, что. Поэтому, т. е.является делителем. Если жеявляется делителем, то существует многочлентакой, чтои, т. е.является делителем.

2.5. Взаимно простые многочлены

Определение.Два многочлена называютсявзаимно простыми, если их нормализованный наибольший общий делитель равен 1, т. е. эти многочлены не имеют никаких общих делителей, кроме констант.

Теорема.Для того чтобы многочленыибыли взаимно просты, необходимо и достаточно, чтобы существовали многочленыитакие, что.

Доказательство.Если, то всякий общий делитель дляиделит единицу и является константой. Если жеивзаимно простые, то их нормализованный наибольший общий делитель 1 имеет линейное представление.

Свойства взаимно простых многочленов

1. Если произведение делится наи, тоделится на.

Доказательство.Так как, то найдутся многочленыитакие, что. Умножим это равенство на, получим, что. Оба слагаемых в правой части делятся на(первое потому, что по условиюделится на). Следовательно,делится на.

2. Если ивзаимно просты с, то произведениевзаимно просто с.

Доказательство.Многочленыивзаимно просты с, следовательно, существуют многочленыитакие, что. Умножим обе части равенства на. Получим. Делительиявляется также делителем. Однакоивзаимно простые, следовательно, произведениевзаимно просто с.

3. Если многочлены ивзаимно просты, многочленделится на каждый из них, тоделится на произведение.

Доказательство.Многочленделится на, поэтому существует многочлентакой, что. многочленделится на, следовательно, произведениеделится на. Многочленыивзаимно просты, поэтомуделится на, т. е. существует многочлентакой, чтои, ч. и т. д.

Определение.НОД многочленов,,…,,равен наибольшему общему делителю многочленаи многочленов,…,.

Определение.Система многочленовназывается взаимно простой, если наибольшими общими делителями этих многочленов являются лишь многочлены нулевой степени.

Замечание.Если, то многочлены попарно могут не быть взаимно простыми:,,