1.10. Возведение комплексного числа в степень с целым показателем. Формула Муавра

Для доказательства следующей теоремы понадобится метод математической индукции.

Метод математической индукции.Чтобы доказать, что некоторое утверждение верно для любого натурального числап, начиная с некоторогоп₀, достаточно доказать, что:

а) это утверждение верно для п = п₀;

б) если данное утверждение справедливо для некоторого натурального числа k  n_o, то оно верно также и для следующего натурального числаk+1.

П р и м е р. Применяя метод математической индукции, доказать, чтосправедливо равенство.

Решение:а) проверим, что это утверждение справедливо при:, т. е. 1=1верно; б) пусть это утверждение справедливо для некоторого натурального, т. е.. Тогда приимеем:===, т. е. утверждение верно и для.

П р и м е р.Применяя метод математической индукции, доказать, чтосправедливо неравенство.

Решение:а) проверим, что это утверждение справедливо при:верно; б) пусть это утверждение справедливо для некоторого натурального, т. е.. Тогда приимеем:=, т. е. утверждение верно и для.

Теорема.Произведение комплексных чисел, где,вычисляется по формуле

. (1.7)

Доказательство.Доказательство проведем, используя метод математической индукции. Очевидно, что приутверждение верно. Предположим, что оно верно и при, т. е.. Тогда приимеем:

, т. е. утверждение верно и для .

В частности, при перемножении nравных комплексных чиселс учетом формулы (1.7) получим:

. (1.8)

Если в формуле (1.8) положить , то получается знаменитая формула Муавра:

. (1.9)

Формула (1.8) получена в предположении, что n– целое положительное число. Покажем, что она остается верной приn= 0 и при целом отрицательномn, считая, что для комплексных чисел, как и для вещественных,,.

При n= 0 получаем верное равенство:=. Положим теперь, считаяmцелым положительным. Тогда=====+=. Таким образом, формула Муавра оказывается верной при всех целых значенияхn.

1.11. Извлечение корня из комплексного числа

Пусть n – натуральное число. Извлечение корня с показателемnиз комплексного числаzравносильно нахождению такого комплексного числаw, что. Каждое числоwтакое, что, называется корнемn-й степени изzи обозначается . Если , то единственным значением является число 0. Рассмотрим случай . Запишем число в тригонометрической форме и будем искатьтоже в тригонометрической форме. Равенствов этом случае запишется в виде

. (1.10)

Учитывая определение равенства комплексных чисел, получим, что у равных комплексных чисел равны модули, а аргументы отличаются на число 2k, гдеk Z. Таким образом, из формулы (1.10) следует, что,,. Данное числоположительно (так как) и искомое числодолжно быть тоже положительным. Известно, чтотакое, что, которое называется арифметическим значение корняn-й степени, и это значение принято записывать в виде степени с дробным показателем, т. е.. Аргументнаходится по формуле. Таким образом, корниn-й степени из комплексного числаzсуществуют, и все они определяются формулой

, ,. (1.11)

Теорема.Существует ровноnзначений корняn-й степени из отличного от нуля комплексного числа , определяемых по формуле, гдеk = 0, 1, 2,…,n-1.

Доказательство.Существование корнейn-й степени из отличного от нуля комплексного числа было рассмотрено ранее. Аргументы (k= 0, 1, 2,…,n-1) равны , , , …, идут в возрастающем порядке (т. к. ), причем каждый из них меньше 2(наибольший из них , так как главное значение аргумента меньше 2). В пределах одной окружности два различных угла не могут иметь одновременно одинаковые значения синуса и косинуса, следовательно, все значения корней будет различны. Все натуральные числа, большие (п−1), могут быть представлены в видепт+р, гдетир– натуральные числа, причемр<п. Тогда

= =,

= =.

Таким образом, значения аргументов совпадают с найденными ранее, т. е. формула (1.11) при условии k= 0, 1, 2,…,n−1 определяет всеnразличных корней из комплексного числа.

П р и м е р.Найти.

Решение. В тригонометрической форме. Согласно формуле==+ ++. Приk= 0, 1, 2 получим три значения корней:,,. Учитывая, что, получим==. Для вычисленияинайдеми:,. Поэтому,.