1.8. Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного

числа. Действия над комплексными числами

Определение.Комплексным числомzназывается упорядоченная пара вещественных чисел (х; у), т. е. z = (х; у).При этомхназывается вещественной, ау– мнимой частью комплексного числа.

Комплексное число z = (х; у)изображается на плоскостиОху точкойМс координатами(х, у)или вектором, проекции которого на осиОхиОусоответственно равныхиу. ПлоскостьОхуназываетсяусловно комплексной плоскостью.

Комплексное число отождествляется с вещественным числом, т. е.. Поэтому множество вещественных чисел рассматривается как подмножество комплексных чисел. На комплексной плоскости вещественные числа изображаются точками на осиОх, которая называетсявещественной осью.

Комплексное число приназываетсямнимым. Мнимое число называется чисто мнимым и символически обозначается. Чисто мнимое числоназываетсямнимой единицейи обозначается буквой, т. е.. Чисто мнимые числа изображаются точками на осиОу, которая называетсямнимой осью.

Два комплексных числа иназываютсяравными, если равны их вещественные и мнимые части, т.е.,. Комплексное числоназываетсянулем.

Над комплексными числами, как и над вещественными, определены действия сложения и умножения.

Определение.Суммойкомплексных чиселиназывается комплексное число, т. е. при сложении двух комплексных чисел складываются соответственно их вещественные и мнимые части.

Определение.Произведениемчисели называется комплексное число.

Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению.

Определение.Разностьюкомплексных чиселиназывается комплексное число, которое в сумме с числом дает число , т. е. комплексное число является разностью комплексных чисели.

Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению.

Определение.Комплексное числоназываетсячастнымдвух комплексных чисели, если .

Рассмотрим . Тогда. Из равенства комплексных чисел следует, что, _. Из двух последних уравнений следует, что .

Рассмотрим мнимую единицу i.По правилу умножения комплексных чисел, т. е. .

Для любого комплексного числа выполняется равенство

. (1.3)

Запись называетсяалгебраической формойкомплексного числа. Действия над комплексными числами можно производить по обычным правилам алгебры многочленов.

Определение. Числоназываетсякомплексно сопряженнымчислуи изображается на комплексной плоскости точкой, симметричной точкеzотносительно осиОх.

1.9. Тригонометрическая форма комплексного числа

Введем на комплексной плоскости Охуполярную систему координат так, чтобы полюс находился в началеОпрямоугольной системы, а полярная ось совпадала с положительной полуосью Ох.

Рассмотрим комплексное число . По формулам, связывающим прямоугольные и полярные координаты, получим тригонометрическую запись комплексного числа :

iу

М(х, у) = М(, )

z = x+iy



х



О

. (1.4)

Число называетсямодулем, а число−аргументомкомплексного числа, они обозначаются соответственнои. Аргументчислаzопределен не однозначно, а с точностью до слагаемого2п, гдеп= 0,1,2,… Модульчислаzимеет значение. Значение аргумента, удовлетворяющее неравенствам,называется главным значением аргумента и обозначается = arg z.

Аргумент комплексного числа z = 0не определен, а его модуль равен нулю.

П р и м е р.Представить в тригонометрической форме число.

Решение.По формулам для нахождения модуля и аргумента комплексного числа,,. Следовательно, аргумент находится во второй четверти и равен. Искомая тригонометрическая форма имеет вид.

В тригонометрической форме удобно выполнять действия умножения и деления комплексных чисел.

Теорема.Модуль произведения комплексных чиселравен произведению модулей, а аргумент – сумме аргументов множителей:

, . (1.5)

Модуль отношения комплексных чисел равен отношению модулей, а аргумент – разности аргументов множителей:

, . (1.6)

Доказательство. Пусть числаизаписаны в тригонометрической форме, т. е.и. Непосредственным умножением получаем:

.

При помощи известных тригонометрических формул это соотношение позволяет записать в тригонометрической форме число :

.

Если , то. Поэтому,. Следовательно,,. Теорема доказана.