1.5. Наиболее употребляемые числовые множества

Пусть а и b – два числа, причем a < b. Будем пользоваться следующими обозначениями:

1. [a, b] = {x | a  x  b − отрезок (сегмент);

2. a, b] = {x | a  x  b − полуинтервал;

3. [a, b) = {x | a  x b − полуинтервал;

4. (a, b) = {x | a  x  b − интервал;

5. [a, +) = {x | a  x − полуинтервал;

6. (a, +) = {x | a  x − интервал;

7. - , b] = {x | x  b − полуинтервал;

8. (- ,, b) = {x | x  b − интервал.

Множество всех вещественных чисел обозначается интервалом     или  x     x   . Промежутки [a, b], a, b], [a, b), (a, b) называются конечными, a и b − их концами. Остальные промежутки называются бесконечными. Числовым промежуткам соответствуют промежутки на координатной прямой. Например, сегмент  х₁, х₂ изображается на координатной прямой отрезком М₁М₂ таким, что точка М₁ имеет координату х₁, а точка М₂ – координату х₂. Изображением множества всех чисел служит вся координатная прямая. Поэтому множествоназываетсячисловой прямой, а любое число – точкой этого множества.

Определение. Пусть a – произвольная точка числовой прямой,  − положительное вещественное число. Интервал называется-окрестностью точки a.

1.6. Прямоугольная система координат на плоскости Две взаимно перпендикулярные оси Ох иОу, имеющие общее началоОи одинаковую масштабную единицу, образуютпрямоугольную систему координат на плоскости.

у

х

О

Ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу – осью ординат. Точка О пересечения осей называется началом координат. Плоскость, в которой расположены оси Ох и Оу, называется координатной плоскостью и обозначается Оху.

Пусть М – произвольная точка плоскости. Опустим из этой точки перпендикуляры М_х и М_у на оси Ох и Оу соответственно.

Определение. Декартовыми прямоугольными координатами (или прямоугольными координатами) х и у точки М называются величины ОМ_х и ОМ_у направленных отрезков и.

Декартовы координаты х и у точки М называются соответственно ее абсциссой и ординатой. То, что точка М имеет координаты х и у, символически обозначают так: М (х, у).

Координатные оси разбивают плоскость на четыре части, которые называются четвертями, квадрантами или координатными углами. Квадранты нумеруются римскими цифрами I, II, III, IV . В зависимости от расположения точек в той или иной четверти определяются и знаки их координат.

II

х  0, у  0

I

х  0, у  0

О

х

III

х  0, у  0

IV

х  0, у 0

1.7. Полярная система координат

Выберем на плоскости некоторую точкуО(полюс) и некоторый выходящий из нее лучОхи укажем единицу масштаба.

у

М

у





х

х

О

Определение.Полярными координатамиточкиМназываются два числа и,первое из которых (полярный радиус) равно расстоянию точкиМот полюсаО, а второе (полярный угол)угол, на который надо повернуть против часовой стрелки лучОхдо совмещения с лучомОМ.

При этом предполагается, что точка Мне совпадает с полюсом. Для полюсаОполярный радиус равен нулю, а полярный уголне определен, т. е. ему можно присвоить любое значение.

Точку плоскости Мс полярными координатамииобозначают символомМ (, ).

Для того чтобы соответствие между отличными от полюса точками плоскости и парами полярных координат (, ) было взаимно однозначным, обычно считают, что0     , 0    .Однако в некоторых случаях приходится рассматривать углы, большие, а также отрицательные углы, т. е. углы, отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке.

Установим связь между полярными и прямоугольными координатами одной и той же точки плоскости. Будем предполагать, что начало прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью.

Пусть точка Мимеет полярные координатыии прямоугольные координатыхиу. Тогда

. (1.1)

Формулы (1.1) выражают прямоугольные координаты через полярные. Выражения полярных координат точки через прямоугольные следуют из формул (1.1):

. (1.2)

Вторая из этих формул определяет два значения полярного угла, так как изменяется от 0 до. Из этих двух значений выбирается то, при котором удовлетворяются равенства (1.1), т. е. нужно, используя знакихиу, определить квадрант, в котором находится точкаМ. Когдах = 0, tg не может быть вычислен по формулам (1.2). В этом случае(еслиу  0) и(еслиу  0).

Для простоты нахождения полярного угла через прямоугольные координаты можно воспользоваться следующей таблицей:

Значение х	Значение у	Значение 
х = 0	у  0
х = 0	у  0
х  0	у  0
х  0	у = 0
х  0	у  0
х  0	у  0
х  0	у = 0
х  0	у  0