1.3. Абсолютная величина числа

Определение. Абсолютной величиной (или модулем) числа х называется само число , если, число ( ), если.

Абсолютная величина числа обозначается. Таким образом,, если, и, если.

Из определения абсолютной величины числа вытекает ряд ее свойств.

1. . Доказательство. Если , то. Если, то, но, т. е..

2. . Доказательство. Если , тои тогда. Если, то, и тогда.

3. . Доказательство. Если , то , . Отсюда, т. е.. Если, то, откуда. Так как, то, или, откуда, т. е.. Поэтому. Получаем, что .

Теорема 1. Пусть положительное число. Тогда неравенстваиравносильны.(( ,   0: х   )  ( -   х   )).

Доказательство. Пусть . Если, то, поэтому, таким образом,. Если, то, следовательно,, откуда. Объединяя неравенстваи, получаем, что,.

Пусть . Это означает, что одновременно выполняются неравенстваи. Из последнего неравенства следует, что. По определению,есть либо, либо, поэтому.

Теорема 2. Абсолютная величина суммы двух чисел не больше суммы абсолютных величин этих чисел, т. е. .

Доказательство. Пусть ,– произвольные числа. По свойству 3 для них выполняются неравенства:,. Поэтому, складывая эти неравенства, получаем. По предыдущей теореме это равносильно неравенству.

Из этой теоремы следует, что абсолютная величина разности двух чисел не больше суммы абсолютных величин этих чисел, т. е. .

Теорема 3. Абсолютная величина разности двух чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел, т. е. .

Доказательство. Для любых чисел и:. По предыдущей теореме. Поэтому.

Аналогично доказывается утверждение о том, что абсолютная величина суммы двух чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел, т. е. .

Замечание. Для любых чисел х и у имеют место легко проверяемые соотношения и, если. Эти соотношения предлагается доказать самостоятельно.

1.4. Геометрическое изображение вещественных чисел

Рассмотрим произвольную прямую. На ней можно указать два противоположных направления. Выберем одно из направлений и масштабную единицу для измерения длин отрезков.

Определение. Прямая с выбранным на ней направлением называется осью.

Рассмотрим на оси две произвольные точки А и В.

Определение. Отрезок с граничными точками А и В называется направленным, если указано, какая из этих точек считается началом, а какая – концом отрезка.

Направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В обозначим и будем считать, что он направлен от начала отрезка к концу.Нулевыми направленными отрезками будем называть те, у которых начало и конец совпадают. Длина направленного отрезка обозначаетсяили.

Для направленных отрезков, лежащих на оси (или на параллельных осях), вводится понятие величины направленного отрезка.

Определение. Величиной АВ направленного отрезка называется число, равное, если направления отрезка и оси совпадают, и, если эти направления противоположны.

Величины направленных отрезков ипри любом направлении оси отличаются знаками.

Если точки А и В совпадают, то величина направленного отрезка считается равной нулю.

Определение. Два ненулевых направленных отрезка называются равными, если при совмещении начал этих отрезков совпадают и их концы. Любые два нулевых направленных отрезка считаются равными.

Над направленными отрезками определены следующие операции  операция сложения и умножения на число.

О

D

пределение. Суммой направленных отрезков иназывается направленный отрезок, полученный при совмещении началаотрезкас концомотрезка.

В

С

А

Теорема. Величина суммы направленных отрезков равна сумме величин слагаемых отрезков.

Доказательство. Пусть хотя бы один из отрезков иявляется нулевым, то в этом случае сумма совпадает с другим отрезком и утверждение теоремы справедливо. Если оба отрезка ненулевые, то при совмещении началаотрезкас концомотрезкаполучим, что. Рассмотрим случай, когда оба отрезкаинаправлены в одну сторону. В этом случае длина отрезкаравна сумме длин отрезкови, причем направлениесовпадает с направлением каждого из отрезкови. Поэтому справедливо равенство. Рассмотрим случай, когда отрезкиинаправлены в противоположные стороны. В этом случае величины отрезковиимеют разные знаки, поэтому. Направление отрезкасовпадает с направлением наибольшего по длине из отрезкови, следовательно, знак величины отрезкасовпадает со знаком числа, т. е. справедливо равенство. Теорема доказана.

Основное тождество. Для любых трех точек А, В, С, расположенных на оси, величины направленных отрезков ,иудовлетворяют соотношению.

Это тождество следует из доказанной выше теоремы.

Определение. Произведением направленного отрезка на число называется направленный отрезок, обозначаемый , длина которого равна произведению числана длину отрезка и направление которого совпадает с направлением отрезка при и противоположно направлению при .

Рассмотрим произвольную прямую, на которой выбрано направление и некоторая точка О, называемая началом координат.

Определение. Прямая с выбранным направлением, масштабной единицей и началом координат называется координатной осью.

Пусть М – произвольная точка на выбранной прямой.

О

М

Точке М поставим в соответствие число х, равное величине ОМ направленного отрезка . Числох называется координатой точки М.

Таким образом, каждой точке координатной прямой соответствует определенное вещественное число – ее координата. Верно и обратное утверждение: любому вещественному числу х соответствует некоторая точка М на координатной прямой, координата которой равна х. Следовательно, вещественные числа можно изображать точками на координатной прямой. Поэтому около точки на координатной прямой часто указывают число – ее координату.

О

х

Пусть точка М₁ имеет координату х₁, а точка М₂ – координату х₂.

М₁ (х₁)

О

М₂ (х₂)

Выразим величину М₁М₂ направленного отрезка через координаты точекМ₁ и М₂. Согласно основному тождеству ОМ₁ + М₁М₂ = ОМ₂. Тогда М₁М₂ = ОМ₂ - ОМ₁ , но ОМ₁ = х₁, ОМ₂ = х₂, поэтому М₁М₂ = х₂ – х₁.