11.2 Анализ поведения электронного спина

Теперь пусть спин направлен по поперечному дрейфовому импульсу . Очевидно, что. Дляв (3.27) получим

,

(3.44)

,

где K(z)иE(z) полные эллиптические интегралы

(3.45)

На практике наиболее легко реализуется случай выполним анализ для этого приближения.

Разложим в (3.44) по величине и представим в (3.27), определим, что вудастся провести интегрирование по, а дляимеет простой аналитический вид:

,

,

, (3.46)

Заметим, что вычислить в замкнутом виде суммы в (3.46) не удается.

Пусть , это отвечает условиям типичного современного эксперимента, тогда из (3.46) определим

,(3.47)

имеет вид

(3.48)

Из анализа этих выражении выводим, что при малых и очень больших xвеличинаи эффекта самополяризации нет, но приимеется максимум

,(3.49)

При определенном соотношении между и

(3.50)

имеет место преимущественная ориентация (~66%) самополяризаия пучка электронов.

Для предельного случая , с использованием известных аппроксимаций функций Бесселя функциями Макдональда, имеем

, (3.51)

и для получим формулу

(3.52)

Также как и в предыдущем случае при малых и очень больших x самополяризации нет (), приимеем максимум

,(3.53)

Здесь же при

(3.54)

возникает преимущественная (~71%) самополяризация пучка электронов.

Окончательно, при промежуточных значениях исоотносятся между собой таким образом, что достигается максимальная самополяризация 70%.

Для всего отрезка в точках максимальной поляризации можно представить

(3.55)

где r(q) – непрерывная ограниченная функция своего аргументаq, причем

,

Время релаксации в точках максимальной самополяризации при любых qравно

,

(3.56)

Для

Для уменьшения времени релаксации необходимо (т.е. электронный пучок налетает на плоскую волну. Считая, что электрон релятивистский для верхней границы путиd, проходимым электроном в плоской волне за время релаксации, определим

,

Пусть энергия электрона ~1 ГэВ и частота лежит в оптическом диапазоне, для не слишком малыхqполучимсм, это практически трудно реализовать. Но для, несколько превышающих оптический диапазон, этот случай экспериментально реализуемый.

Для изученного нами случая малых с ростомвремя релаксации уменьшается, в то же время у6ывает степень самополяризации.

Пусть пучок электронов движется в прямолинейном промежутке циклического ускорителя, если теперь облучить его лазерным пучком под малым углом к направлению перемещения электронов, задаваемым (3.50) и (3.54), и пусть область взаимодействия порядка d, тогда уже при однократном прохождении пучка электронов в данной системе возникает преимущественная поляризация. Причем направление поляризации можно отрегулировать против внешнего поля.

Из вышеизложенного можно сделать вывод о возможности эффекта преимущественной ориентации спина электронов в поле плоской циркулярно поляризованной электромагнитной волны.

12. Нелинейные эффекты в процессе взаимодействия плоской электромагнитной волны с электроном.

Точные уравнения квантовой электродинамики можно записать в представлении Шредингера [213] (используется калибровка Лоренца)

,

(3.57)

где - вектор состояния электрон-позитронного поля и поля излучения,- гамильтониан свободного электрон-позитронного поля,- гамильтониан свободного фотонного поля,- гамильтониан взаимодействия этих полей,- оператор тока электрон-позитронного тока,- оператор потенциала электромагнитного поля в представлении Шредингера. До сих пор неизвестно точного решения уравнения (3.57) даже для простейших задач. Вследствие этого становится необходимым переход к модельному описанию взаимодействия фотонов и электронов.

Оператор пропорционалене, поэтому его можно рассматривать как малое возмущение, и решение уравнения (3.57), согласно теории возмущений, можно искать в виде степенного ряда по постоянной тонкой структуры, полагая в качестве нулевого приближения. На этом основана наиболее распространенная модель - невзаимодействующих полей, при помощи которой рассчитаны основные эффекты квантовой электродинамики [188], однако можно привести пример таких решений невозмущенной задачи, поправки к которым в любом порядке теории возмущений будут малыми. Это относится к случаю, когда внешнее поле является интенсивным и должно быть учтено точно во всех порядках теории возмущений. Таким образом, при больших плотностях фотонов [214] теория возмущений становится не корректной в рамках модели не взаимодействующих полей.

Существует несколько подходов к решению задачи о точном учете интенсивного электромагнитного поля в квантовой электродинамике. Достаточно указать на модель квантовой электродинамики с внешним полем [215], в которой рассматривается свободное вторично квантованное электрон-позитронное поле, возмущенное внешним электромагнитным полем, а также модели квантовой электродинамики электрона в квантованном поле излучения - модель Ван-Кампена [216] и модель Блоха-Нордсика [217].

Весьма близкой к последним двум моделям по своим исходным уравнениям и предположениям является модель электрона в плоской электромагнитной квантованной волне.

Еще в 1935 году Волковым было получено точное решение уравнения Дирака для поля плоской классической электромагнитной волны [42], электрон при этом описывался квантовомеханически. В 1969 году в работе Берсона [218] впервые было показано, что уравнение Дирака, в котором потенциал внешнего электромагнитного поля заменен оператором-потенциалом внешнего поля, решается точно, там же получена связь этих решений с решениями Волкова [42]. Вслед за [218] появилось множество работ [219-231] посвященных систематическому изучению модели электрон плюс вторично квантованная плоская волна.

В данной модели оказывается возможным изучить некоторые нелинейные эффекты квантовой электродинамики, к которым относятся эффекты слияния и расщепления фотонов на электроне, рассмотренные ниже. Предварительно отметим, что излучение электрона в низшем порядке теории возмущений соответствует комптон-эффекту. При этом дифференциальное сечение Клейна-Нишины [180, 181] для комптоновского рассеяния не описывает процесс излучения в поле интенсивной волны [187]. Процессами более высокого порядка являются процессы слияния и расщепления фотонов на электроне.

Впервые процесс слияния фотонов на электроне

(3.58)

рассмотрел Фрид в работе [232]. В работах [233-235] изучалось слияние фотонов в кулоновском поле ядра, а в [233] полученные вероятности сравнивались с вероятностью слияния фотонов на электроне. Смирнов А.И. в работах [236, 237] рассчитал реакцию (3.58) для фотонов с разными частотами, но с параллельными импульсами. В вышеназванных работах [232, 233] эффект слияния фотонов изучался при помощи модели невзаимодействующих полей [183] на основе диаграммной техники Фейнмана-Дайсона при этом все частицы, участвующие в реакции (3.58) полагались неполяризованными, т.е. не изучались эффекты поляризации. В [233-237] совершенно не обсуждалась кинематика процесса, в то время, как частота конечного фотона является одной из экспериментально измеряемых физических величин.

Вообще говоря, если из всевозможных физических реализаций реакции слияния произвольных фотонов в один на электроне

(3.59)

выбрать наиболее вероятную, когда все фотоны в начальном состоянии имеют одинаковое направление импульсов, а частоты могут быть произвольными, то реакцию (3.59) можно интерпретировать как излучение электрона в классическом или квантованном поле плоской электромагнитной волны определенного спектрального состава и поляризации. Однако в классической интерпретации поля плоской волны будет затруднительно рассмотреть реакцию (3.59) для фотонов одного направления, но с разными частотами и поляризациями. В модели, описывающей взаимодействие электрона с квантованной плоской волной произвольного спектрального состава и произвольной поляризации, эти трудности устраняются непосредственно в постановке задачи.

Другим примером множественного процесса, рассмотрение которого возможно провести в рамках модели "электрон + квантованная плоская волна", является процесс расщепления фотона на электроне

(3.60)

где и- фотоны плоской электромагнитной волны, а- излученный фотон.

Аналогом данного процесса является двойной эффект Комптона. Отметим также то, что слияние двух фотонов в один на электроне можно рассматривать как обратную реакцию к двойному эффекту Комптона.

Впервые осуществление этого эффекта предсказано в работе [238]. В [239, 240] было рассчитано дифференциальное сечение данного эффекта для наиболее вероятного случая, когда один из вторичных фотонов жесткий, а другой - мягкий.

Наиболее полное описание двойного комптон-эффекта дано в [241], где получено и проанализировано общее выражение для дифференциального сечения эффекта, подробно изучаются различные частные случаи, угловые распределения и спектры энергии вторичных фотонов.

В [242] и [243] обсуждалась интерференция фотонов, т.е. ситуация, при которой оба излученных фотона имеют одни и те же энергию и импульс.

Во всех вышеуказанных работах расчеты производились на основе диаграммной техники Фейнмана-Дайсона и в предположении, что электрон в начальном состоянии покоится. Кроме того, в этих работах вероятности перехода получались при усреднении по спинам начальных частиц и суммировании по спинам конечных частиц, поэтому нельзя было исследовать эффекты поляризации.

Учет влияния поляризации был проведен в [244, 245]. В работах [246-252] двойной эффект Комптона изучался экспериментально.

Необходимо отметить, что процесс расщепления фотонов и двойной эффект Комптона отличаются друг от друга уже постановкой задачи.

А важнейшее отличие состоит в том, что фактически рассматривается излучение одного фотона с 4 - импульсом , а фотонпринадлежит волне, т.е. рассматривается процесс излучения одного фотона с перестройкой спектра самой волны.

Следует подчеркнуть, что, поскольку квантовая электродинамика является замкнутой теорией, и нельзя заранее утверждать об экспериментальном подтверждении её предсказаний, множественные процессы, примером которых и является слияние и расщепление фотонов на электроне, представляют собой ценную проверку квантовой электродинамики.