7. Понятие о критериях согласия. Проверка гипотез о равенстве долей и средних. Проверка гипотезы о виде распределения.

Статичтической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н₀. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н₁, которая противоречит нулевой. Правило, по которому принимают решение о том, принять или отклонить гипотезу Н₀, называют критерием. Обычно критерием служит некая случайная величина, вычисляемая по выборке. (Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе не известного распределения.)

В итоге статистической проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неправильное решение, т.е. могут быть допущены ошибки двух родов: 1)ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза; 2) ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать через . Её называют уровнем значимости.

Статичтическим критерием называют величину К, которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Облать принятия гипотезы – совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают. Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы – гипотезу принимают.

облать значений К разбивается на две подоблати: подоблать принятия нулевой гипотезы (К кр.лев; К кр.прав); подобласть отклонения гипотезы Н₀.

Из определения уровня значимости следует, что = ^{К кр.лев} f(k)dk+^+f(k)dk

^{- К кр.прав.}

Если плотность распределения К симметрична относительно оси ординат,то

^+f(k)dk=/2. Если f(k) и  известны, то можно найти К кр.прав.

^{К кр.прав.}

Проверка гипотезы по равенству математических ожиданий нормально распределённых совокупностей при известных дисперсиях.

Пусть Х – нормально распределённая случайная величина с неизвестным М(х)=а_х и известной D(x)=G²_x ; Y - нормально распределённая случайная величина с неизвестным М(х)=а_у и известной D(x)=G²_y

В результате проведённого эксперимента вычисляется х_{средняя} и у_{средняя.}

Выдвигаем гипотезу Н₀: а_х=а_у и конкурирующую гипотезу Н₁: а_х не равно а_у.

Требуется оценить нулевую гипотезу с уровнем значимости .

Решение.

Х_cр. распределена по нормальному закону  М(х)=а_х и D(x)=G²_x/n. У_ср. распределена по нормальному закону  М(у)=а_у и D(у)=G²_y/m

Х_ср.-У_ср. распределена по нормальному закону  М(х-у)=0 и D(x-у)=G²_x/n+G²_y/m. Введём случайную величину К= Х_{ср .}- У _ср.

 G²_x/n+G²_y/m К имеет нормальное распределение с М(к)=0 и D(k)=1.  нормальное распределение симетрично ^+f(k)dk=/2=0,5-Ф(К кр.прав.)

^{К кр.прав.}

Далее находим по таблицам фукнции Лапласса К кр.прав. Далее находим Кнабл. Затем: 1) Если Кнабл.[Ккр.лев; К кр.прав.], то гипотеза Н₀ принимается. 2) если Кнабл{критическая область}, то гипотеза Н₀ отвергается.

Проверка гипотезы о равенстве математическом ожидании нормально распределённой случайной величины при равных неизвестных диспрерсиях.

Пусть Х – нормально распределённая случайная величина с неизвестным М(х)=а_х и D(x)=G² ; Y - нормально распределённая случайная величина с неизвестным М(х)=а_у и D(x)=G²

В результате проведённого эксперимента вычисляется х_{средняя} и у_{средняя.}

Выдвигаем гипотезу Н₀: а_х=а_у и конкурирующую гипотезу Н₁: а_х не равно а_у.

Требуется оценить нулевую гипотезу с уровнем значимости .

Решение.

Построим К.

_n . _n .

S²_x=((x_i-x)²)/(n-1), S²_y=((y_i-y)²)/(n-1).

^{i=1 i=1}

Х – случайная величина, распределённая по нормальному закону с числовыми характеристиками (а_х, G/n). Y – случайная величина, распределённая по нормальному закону с числовыми характеристиками (а_y, G/m)

Оказывается случайная величина S²_x и S²_y имеют распределение ²(«хи-квадрат») со степенями свободы (n-1) и (m-1).

Введём случайную величину U=((n-1)S²_x)/G²+((m-1)S²_y)/G² имеет распределение ² с числом степеней свободы n+m-2.

Случайная величина Х-У имеет нормальный закон распределения с характеристиками (а_х-а_у, G²/n+G²/m^)

Поэтому нормализированная случайная величина

U = (х-у)-(а_х-а_у)

G²/n+G²/m^

Имеет нормальное распределение N(0,1), а отношение

V = ( x- y) –(a_x-a_y) .

U/(m+n-2)^ 1/m+1/n^[(m-1)S²_x/²+(n-1)S²_y/²]_*1/(m+n-2)

имеет распределение Стьюдента с (m+n-2) степенями свободы. Таким образом можно найти Кнабл.

Кнабл. =(х-у)/(1/m+1/n)_*[(m-1)S²_x+(n-1)S²_y]/(m+n-2)^

Имеет распределение Стьдента с (m+n-2) степенями своды. Далеее вывод делается как в предыдудей задаче.