1.8. Предельная ошибка результата измерения
По величине средней квадратической ошибки, определяющей условия измерения, можно установить предельную ошибку
(1.29)
Ошибки, большие предельной, считаются грубыми. Из предыдущего параграфа было установлено: P(< ) = 0,6827; P( ) = 0,9545; P(< ) = 0,9876; P( ) = 0,9973, т.е. случайная ошибка измерения может превосходить среднюю квадратическую ошибку (m) в 32 случаях из 100, удвоенную (2m) в 5 случаях из 100, утроенную (3m) в 3 случаях из 1000. Следовательно, согласно “правила трех сигм” для различных геодезических работ величину k принимают равную 3, т.е.
(1.30)
При вычислении допустимых невязок k = 2 и тогда
(1.31)
1.9. Абсолютные и относительные ошибки
Такие ошибки, как средняя (), средняя квадратическая (m), вероятная (r), истинная () и предельная (пр), являются абсолютными ошибками. Они всегда выражены в единицах измеряемой величины, т.е. имеют одинаковую с измеряемой величиной размерность. Часто возникают случаи, когда разные по величине объекты измеряют с одинаковыми абсолютными ошибками. Например, средняя квадратическая ошибка измерения линий длиной: l1 = 100 м и l2 = 1000 м, составила m = 5 см. Возникает вопрос: какая же линия измерялась точнее Чтобы избежать неопределенности, точность измерений ряда величин оценивают в виде отношения абсолютной ошибки к значению измеряемой величины. Полученное отношение называется относительной ошибкой, которую обычно выражают дробью с числителем, равным единице. Наименование абсолютной ошибки определяет и название соответствующей ей относительной ошибки измерения [ 1 ].
Пусть x
результат измерения некоторой величины.
Тогда
cредняя квадратическая относительная
ошибка;
средняя
относительная ошибка;
вероятная
относительная ошибка;
истинная
относительная ошибка;
предельная
относительная ошибка.
Знаменатель N относительной ошибки необходимо округлять до двух значащих цифр с нулями:
mx
= 0,3 м; x
= 152,0 м;
mx
= 0,25 м; x
= 643,00 м;
.
mx
= 0,033 м; x
= 795,000 м;
Как видно из примера, чем больше знаменатель дроби, тем точнее выполнены измерения.
1.10. Ошибки округления
При обработке результатов измерений немаловажную роль играют ошибки округления, которые по своим свойствам можно отнести к случайным величинам [ 2 ]:
1) предельная ошибка одного округления составляет 0,5 единицы удерживаемого знака;
2) большие и меньшие по абсолютной величине ошибки округления равновозможны; 3) положительные и отрицательные ошибки округления равновозможны; 4) математическое ожидание ошибок округления равно нулю. Эти свойства позволяют отнести ошибки округления к случайным величинам, имеющим равномерное распределение. Непрерывная случайная величина X имеет равномерное распределение на интервале a, b, если на этом интервале плотность распределения случайной величины постоянна, а вне его равна нулю (рис. 2), т.е.
(
x
)
.
(1.32)
Функция распределения F(x)
с
a
b
x
(1.33)
Рис. 2
Математическое ожидание
(1.34)
Дисперсия
(1.35)
Среднее квадратическое отклонение
(1.36)
Для ошибок округления
(1.37)
Следовательно, средняя квадратическая ошибка округления mо вычислится согласно
(1.38)
где = 0,5.
Подставляя это значение в равенство (1.38), получим
Как видно из примера, mc незначительно отличается от ошибки измерения m.
В вычислительной практике для уменьшения влияния ошибок округления промежуточные результаты принимают на порядок выше результатов измерения. Например, если результаты линейных измерений имеют ошибку 1 мм, то промежуточные значения определяют с точностью до 0,1 мм.