Курсовики / 1

МИНИСТЕРСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ Московский технический университет связи и информатики

Теория вероятностей Курсовая работа №1

Выполнил: Востропятов Н. А.

Группа: УИ0301

Вариант: №9

Проверил: Скопинцев О. Д.

Задача №1

Условие

В розыгрыше первенства по баскетболу учувствуют 2n команд, из которых наугад формируются две группы по n команд в каждой. Среди участников соревнований имеется k команд экстра-класса. Найти вероятность следующих событий:

A: {все команды экстра-класса попадут в одну и ту же группу};

B: {l команд экстра-класса попадут в одну из групп, а остальные – в другую}.

n=7, k=4, l=1

Решение

Для решения этой задачи воспользуемся формулами комбинаторики. В обоих случаях число возможных вариантов распределений 14-ти командам на 2 группы по 7 человек считается как число сочетаний без повторений: Вычислим число благоприятных исходов, в зависимости от искомых вероятностей:

А: Нарисуем схему состава благоприятной группы:

э

э

э

э

X

X

X

4 места в группе должны занимать команды экстра-класса (э), а 3 оставшихся места X займут 10 нераспределённых команд, т.е. число таких распределений будет таким: Следовательно, вероятность благоприятных исходов определяется отношением их количественного значения к количеству всех возможных исходов: B: Нарисуем схемы состава благоприятных групп:

э

X

X

X

X

X

X

и

э

э

э

X

X

X

X

Рассмотрим первую группу. В ней 1 команда экстра-класса и 6 свободных мест, по которым и необходимо рассчитать распределение оставшихся 10-ти команд не экстра-класса: Но на месте команды экстра-класса в первой группе могли бы быть каждая из 3-х, которые в другой группе, т. е. всего таких взаимных расположений может быть 4. Таким образом, число благоприятных исходов: Вероятность этих исходов:

Ответ: P(A)=0.035, P(B)=0.245.

Задача №2

Условие

По радиоканалу в течении промежутка времени (0;1) передаются два сигнала с длительностью τ. Каждый из них с одинаковой возможностью начинается в любой момент интервала (0;1- τ). Если сигналы перекроют друг друга хотя бы частично, оба они искажаются и приняты быть не могут. Найти вероятность того, что сигналы будут приняты без искажений.

τ=0.05

Решение

Д

τ

ля решения этой задачи удобно воспользоваться геометрической вероятностью. Построим на плоскости 2 перпендикулярные оси t₁ и t₂, на которых откладываются временные отрезки передачи соответствующих сигналов. Отложим по осям временные отрезки (0;1). Отметим на осях точки отстоящие от начала координат на 1-τ. Соединим точки (0;1) и (1;0) отрезком и отразим точки на осях относительной этой прямой. Получится квадрат со стороной 1, в котором расположен шестиугольник. Заштрихованные треугольники – благоприятные для передачи обоих сигналов времена, а квадрат – это весь возможный временной интервал передачи.

Вероятности передачи обоих сигналов без искажений – это отношение площадей благоприятных исходов к площади всех возможных, т.е.:

Ответ: P=0.9025.

Задача №3

Условие

Сообщение, передаваемое по каналу связи, состоит из n знаков. При передаче каждый знак искажается (независимо от других) с вероятностью p. Для надёжности сообщение дублируется k раз. Найти вероятность того, что хотя бы одно из переданных сообщений не будет искажено ни в одном знаке.

n=37, k=6, p=0.09

Решение

Введём событие A-сообщение искажено; B-знак искажён. Сообщение не будет искажено, если ни один символ в нём не будет искажён, т.е.: Тогда по теореме об умножении независимых событий вероятность того, что сообщение не искажено будет равна: , а т.к. вероятности искажения каждого знака равны, то: А вероятность события, состоящего в том, что сообщение искажено хотя бы из-за одного знака будет равна: Искомая вероятность будет обратной вероятности искажения всех сообщений сразу:

Ответ: P=0.172.

Задача №4

Условие

Для получения билета пассажир может обратиться в одну из трёх касс. Вероятности обращения в каждую из касс зависят от их местоположения и равны соответственно p₁, p₂, p₃. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, равна для первой p₄, для второй p₅, для третьей p₆. Пассажир направился за билетом в одну из касс и приобрёл билет. Найти вероятность того, что это была вторая касса.

p₁=0.35, p₂=0.25, p₃=0.4, p₄=0.1, p₅=0.2, p₆=0.15.

Решение

Это задача на переоценку вероятности гипотез. Введём событие: A-пассажир купил билет. Введём гипотезы: B₁-подошёл к первой кассе, B₂-подошёл ко второй кассе, B₃-к третьей. Тогда условные вероятности того, что пассажир приобретет билет в соответствующих кассах будут:

Искомая вероятность:

Ответ: P=0.234.

Задача №5

Условие

При работе ЭВМ время от времени возникают неисправности (сбои). Поток сбоев можно считать простейшим. Среднее число сбоев за сутки равно α. Найти вероятности следующих событий:

А={за 2 суток не будет ни одного сбоя},

В={в течение суток произойдёт хотя бы один сбой},

С={за недёлю работы машины произойдёт не менее 3-х сбоев}.

α=1.5.

Решение

Для определения искомой вероятности можно применить формулу Пуассона: , где λ-среднее число событий за единицу времени, k-события, вероятность появления которых за промежуток времени t и ищется. В данной задаче λ=1.5, остальные параметры зависят от искомых вероятностей. Рассмотрим их:

A: k=0, t=2: ;

В: k=0, t=1:

C:

Ответ: P(A)=0.05, P(B)=0.777, P(C)=0.998.

Задача №6

Условие

Случайная величина ξ имеет распределение Гаусса с параметрами (0;1). Найти плотность распределения, функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины η=exp(a² ξ+b), a>0, b≥0.

Это распределение носит название логнормального.

a=2, b=1.5.

Решение

Нормальное распределение описывается формулой: В данном случае σ=1, а a=0, т.е. Соответственно,

Найдём плотность распределения функции η. Она равна:

Найдём функцию обратную заданной: Подставим в формулу плотности:

По формуле связи функции распределения с её плотностью, найдём эту функцию: В данном случае:

Математическое ожидание: Воспользуемся второй формулой, т.к. отыскание плотности g(η) затруднительно:

Дисперсия находится по формуле:

Задача №7

Условие

Производство даёт n% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование N изделий выбраковано будет:

1. m изделий;

2. не менее k₁ и не более k₂ изделий.

n=5%, N=150, m=7, k₁=5, k₂=10.

Решение

Воспользуемся распределением Пуассона. Вероятность появления бракованной детали по условию p=n=0.05, а всего таких деталей n=N=150. Соответственно, рассмотрим искомые вероятности:

1. k=m=7:

2. k=5…10:

Ответ: a) P=0.1465, b) P=0.73.

8