- •Ахметова Наиля Абдулхамитовна
- •Введение
- •1. Элементы комбинаторики
- •1.1. Перестановки. Размещения. Сочетания
- •Теорема.
- •1.2. Задачи по комбинаторике
- •2. Функции алгебры логики
- •2.1. Элементарные функции алгебры логики
- •Пример 2.
- •2.2. Формульное задание функций алгебры логики
- •Упрощение записи формул:
- •Теорема о замене подформул на эквивалентные
- •Некоторые свойства элементарных функций
- •Следствия из свойств элементарных функций
- •Пример 3:
- •2.3 Принцип двойственности
- •Пример 1. Покажем с помощью таблицы истинности, что константа 0 двойственна к 1:
- •Пример 3. Покажем, что функция х1х2 двойственна к x1&x2, функция х1х2 двойственна к функции x1|x2.
- •Принцип двойственности
- •Лемма о несамодвойственной функции
- •2.4 Разложение булевой функции по переменным
- •Теорема о разложении функции по переменным
- •2.5. Полнота, примеры полных систем
- •Полные системы
- •Представление функции в виде полинома Жегалкина
- •Теорема Жегалкина
- •2.6. Замыкание и замкнутые классы
- •Важнейшие замкнутые классы в р2
- •Теорема Поста о полноте
- •Примеры использования теоремы Поста.
- •3. Составим критериальную таблицу для другой полной системы функций из р2: {0, 1,x1x2,x1x2}.
- •Теорема о достаточности четырех функций.
- •2.7. Функции k - значной логики
- •Теорема о полной в Рk системе функций
- •2.8. Задачи и упражнения по функциям алгебры логики
- •1. Построить таблицы соответствующих функций, выяснить, эквивалентны ли формулы и :
- •2. Построив таблицу для соответствующих функций, убедитесь в справедливости следующих эквивалентностей:
- •3. Минимизация булевых функций
- •3.1. Минимизация нормальных форм
- •Алгоритм Квайна построения сокращенной днф.
- •Метод Блейка
- •Алгоритм построения сокращенной днф с помощью кнф (метод Нельсона)
- •Построение всех тупиковых днф.
- •Алгоритм минимизации функций в классе днф
- •Алгоритм минимизации функций в классе кнф
- •Алгоритм минимизации функций в классе нормальных форм
- •3.2 Минимизация частично определенных функций
- •Алгоритм минимизации частично определенных функций в классе днф
- •Алгоритм минимизации частично определенных функций в классе кнф
- •Метод минимизирующих карт Карно
- •3.3 Задачи по минимизации и доопределению булевых функций
- •4. Логика высказываний
- •4.1. Введение в логику высказываний
- •4.2. Задачи по алгебре высказываний
- •Список литературы
Теорема о достаточности четырех функций.
Из любой полной в Р2системы функций можно выделить полную подсистему, состоящую не более чем из четырех функций.
Доказательство. Пусть {f0,f1,fL,fM,fS} – полная система функций, тогда она не лежит целиком ни в одном из классовT0,T1,L,M,S. Следовательно, в системе есть функцииf0T0,f1T1,fLL,fSSиfmM. Система {f0,f1,fL,fM,fS}P2и образует полную систему вР2. Рассмотрим функциюf0:f0(0, ..., 0) = 1.
Если f0(1, ..., 1) = 0, тоf0T1иf0M, тогда {f0,fS,fL} – полная система из трех функций.
Если f0(1, ..., 1) = 1, тоf0Sи {f0,f1,fL,fM} образует полную систему из четырех функций.
Пример 1, приведенный выше, показывает, что цифру 4 в общем случае уменьшить нельзя, из полной системы {x1x2,0,1,x1x2x3} нельзя выделить полную подсистему.
Следствие.Базис вР2может состоять максимум из четырех функций.
2.7. Функции k - значной логики
Введем обозначение: Eк={0, 1, 2, ...,k–1}.
Функция k-значной логики, зависящая отnпеременных, – это закон, отображающий. Множество функцийk-значной логики обозначается какРk. Функция изРkполностью определена, если задана ее таблица истинности, т.е. заданы значения на всех наборах. Наборы можно рассматривать как записи вk-ичной системе счисления чисел от 0 доk–1, всего наборовkn. Функций изРk, зависящих отnпеременных, будетkn. |P3(n)|, например, будет 3, еслиn= 2, то |P3(2)| = 39= 19683 (k=3,n=2).
x1 x2 . . . xn-1 xn |
f |
0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 0 k–1 0 0 . . . 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . k–1 k–1 . . . k–1k–1 |
. . . . . . . |
В k- значной логике также есть функции, которые называются элементарными. Приведем некоторые из них, примеры будем приводить дляk= 3 иn= 2.
1. Циклический сдвиг или отрицание Поста: =x+1(modk).
2. Зеркальное отображение или отрицание Лукосевича: Nx =k–1–x.
Эти две функции являются обобщением отрицания.
3. Ji(x)=x = i, I = 0, 1, 2, ..., k–1}.
x1 |
x2 |
Nx |
J0(x) |
J1(x) |
J2(x) |
0 1 2 |
1 2 0 |
2 1 0 |
2 0 0 |
0 2 0 |
0 0 2 |
4. min(x1,x2) – обобщение конъюнкции;
5. x1x2(modk) – второе обобщение конъюнкции;
6. max(x1,x2) – обобщение дизъюнкции;
7. x1+x2(modk) – сумма по modk.
x1 |
x2 |
min(x1,x2) |
x1x2(mod 3) |
max(x1x2) |
x1+x2(mod 3) |
0 0 0 1 1 1 2 2 2 |
0 1 2 0 1 2 0 1 2 |
0 0 0 0 1 1 0 1 2 |
0 0 0 0 1 2 0 2 1 |
0 1 2 1 1 2 2 2 2 |
0 1 2 1 2 0 2 0 1 |
Принято min(x1,x2) обозначать x1&x2, max(x1,x2) обозначать x1x2.
Как и в двузначной логике, можно ввести понятие формулы над множеством и ставить вопрос о полной в Рkсистеме функций.
Теорема о полной в Рk системе функций
Cистема функций {max(x1,x2),min(x1,x2), 0, 1, ...,k–1,J0(x),J1(x), ...,Jk-1(x)} является полной вРkи любая функцияf(x1, ...,xn)Pkвыражается формулой над этой системой следующим образом:
.
Эта формула есть своеобразный аналог СДНФ.
Доказательство.Покажем справедливость этой формулы на любом произвольном наборе (1, ...,n). Слева имеемf(1, ...,n). Справа имеем.
Если для какого-нибудь jиз {1, 2, ...,n}ij j, то(j) = 0 иmin[J(1),(2), …,(n),f(i1,..,in)] = 0. Рассмотрим набор (i1, ...,in), гдеi1 =1,i2 =, ...,in =n, тогдаJ() =k–1,J() =k–1, ..,J(n) =k–1 иmin[J(), ... ,J(n)f(1, …,n).]= min[(k–1), ..., (k–1), f(1, …, n).] =f(1, …,n), но тогдаТак как набор (1, ...,n) произвольный и равенство на нем справедливо, то формула верна. В этой формуле использованы функцииJi(x), (i = 0, ...,k–1),min(x1x2),max(x1x2) и константы 0, ...,k–1, так как функцияf(i1, ...,in) есть число из {0, 1, ...,k–1}.