Матан 2сем / 1 / 5

Лекция №5.

f(x) x[a,b] Говорят что f удовл. условию Липшица если имеет место след. оценка |f(x)-f(y)|<= <=L|x-y| (1) или |f|<=L|x| постоянная L наз. постоян. Липшица. Условие Липшица не означает что ф-я диф-ма (например y=|x|).

Пример:  кусочно непр.ф-я , график которой явл. ломанной кривой удолетворяет условию Липшица.

1.Если ф-я диф-ма на отрезке и ее производная ограничена то она удолетв. усл-ю Липшица (причем в кач-ве L можно взять ее точн. верх. грань значения модуля ее производной : L=sup|f(x)| ).

2.Обратно: если ф-я диф-ма и выполнено усл-е Липшица, то модуль производной ограничен.

Док-во:

1.f(x)-f(y)=f’(x+(y-x))(x-y) 0<<1; f(x)-f(y)<=|f’(x+(y-x))||x-y| a<=x<=b

2.|f(x+x)-f(x)|/|x|<=L x0 sup|f’(x)|<=L ч.т.д.

Теорема Коши-Липшица.

y’=f(x,y) y(x0)=y0 D={|x-x0|<=a, |y-y0|<=b}

!!!!!!рис.!!!!!!

f непрерывна по переменной x и удолетворяет условию Липшица.