Матан 2сем / 1 / 8_4_9

Лекция 8

Линейные однородные диф-уры 1го пор-ка с перем. коэф.

1.Нелокальная Th я и единств нач. задачи. Понятие дифер. опер-ра.

Лин. однородн. ДУ n-го пор-ка с перем коэф наз-ся ур-е след вида :

y­­⁽ⁿ⁾+a₁(x)y­_­^(n-1)+..+a_n(x)y=0 (1)

Ф-ии a₁(x)…a_n(x) опр-ны и непр-ны на одном и том-же интрвале (a;b) Ур-е (1) наз-ся приведенным если при старшей произвв стоит 1. Решением ДУ (1) наз n hfp непрерывная диффер. фун-ия y(x) кот в кажд. (.) (a,b) удовл. однор. ур-ю (1) Общ. реш. однородн. ур-я (1) зависит от n произв. постоянных. Для того чтоб выделить 1 частное реш-е необх задать n штук нач. условий

Пусть х₀  (a,b)

g(x­₀)=y₀ y(x₀)=y₀… y^(n-1)­­(x₀)=y₀^n

услов. отлич-ся от нач-го наз-ся краевым

Для нач. задачи (1)-(2) спр-ва нелокальная Th: если ф-ии a₁(x)…a_n(x) непр в (a,b), то в нач. задаче (1)-(2)  единств. реш-е и его можно считать опр-ым на (a,b). Из этой Th =>ет однор. ур-е (1) всегда имеет нулевое реш-е кот удовл. нулевым начальным условиям y(x₀)=0 y⁽ⁿ⁾(x₀)=0

Спр-во и обратное: если какое-либо реш-е (1) удовл. нул. нач усл то это реш-е есть тождественный ноль.

Реш-е однор ур-я (1) обл. след. св-ми : 1)  реш-ий онор. ур-я есть снова реш- однор ур-я

2)  реш-е (1) умнож на const это тоже реш-е однор ур-я обозн. через с⁽ⁿ⁾(a,b) совок. всех n-раз непр. дифер ф-ий. Через с(a,b) – пространство непр-ых фун-ий. Обозн через L[y](x)=y⁽ⁿ⁾-a₁(x)y^(n-1)+..+a_ny (3)

L перевод. с⁽ⁿ⁾(a,b) в с⁽ⁿ⁾(a,b)

(с⁽ⁿ⁾—^L C(a,b))

L[y] наз лин. дифер опер-ом n-го пор-ка. Оперор L обл. след св-ми:

1. L[y+z]=L[y]+L[z] аддитивность(4)

2. L[cy]=cL[y] (5) однородность (5)

Исп. св-ва (4)-(5) диф. опер-ра докажем св-во реш-я однор ур-я (1)

1.Пусть y(x) и z(x) 2 реш-я ур (1)

Покаж что у(х)+z(x) так-же реш-е L[y+z]=L[y](x)+L[z](x)=1

L[y]=L[z]=0 => L[y+z]=0

2.Пусть y(х) реш-е ур-я (1) L[y]=0 L[cy]=cL[y]=0 ч.т.д.

2. Лин. зав-ть Матрица Вронского

П. зад. система ф-ий

y₁(x)…y_k(x) (6)

Гов-т что такая система ф-ий явл. лин. независ-ой если  набор чисел  с₁…с_k среди котор не все =0 и лин комб.

с₁y(x)+..+c_ky_k(x)=0 x  (a,b) (7)

если из (7) вытекает что все числа c₁…c_k=0, то (6) наз лин независ. Предп. далее что кажд. ф-я в (6) имеет произв. до (n-1) пор-ка включительно. Сост. матрицу след. вида (8).

W(x)=|Y(x)|(9)

Матр. Y(x) наз матрицей Вронского. Опредилитель такой матр. наз опр-ем Вронского.

Утв. 1: если ф-ии в системе (6) явл. лин. завис. и при этом k=n то матр. Вронского явл. вырожденной при х или столбцы этой матр. лин. завис.

Док-во

 с₁…с_n : с₁y₁(x)+c₂y₂+..+c_ny_n(X)=0 (10)

продиф. (10) n-1 раз

система из (n-1) ур-й:

c1y1’(x)+…+cnyn’(x)=0

c1y1^(n-1)(x)+…+cnyn^(n-1)(x)=0

Последние соотн. можно переписать иначе:

( строки переписать в столбцы)

c1(y1(x),y1’(x)..y1^(n-1)(x))+… +c1(yn(x),yn’(x)..yn^(n-1)(x))+=0 (11)

Соотн. (4) и доказ. лин. завис столбцов матр Вронского

3 Фунд. система решений

Расм системк из n реш-ий однор ур-я (1)

y(x₁) y₂(x)…y_n(x) (12)

Такая система ф-ий наз. фунд. если это ф-ии лин. независ между собой. Эти ф-ии реш-е однор. ур-я 2) Их обязат. n штук 3)Лин. независ. они

Докаж что фун. сист реш-ий ет. Выберем произв. квадратичную невыраженную матр.

Определим ф-ии y₁(x)…y_n(x), так что y₁(х₀)=y⁰₁ y_n(x₀)=y⁰_n

y₁(х₀)=y⁰₁

y^(n-1)₁(x₀)=y^0(n-1)₁

По нелокальной Th эти ф-ии  и они лин независ т.к. в противном случае столбцы матр. Y(x) буд. лин. завис между собой, что противоречит предп. что Y₀

Пришли к противореч. ЧТД

Утв2: Если ф-ии в сист (12) лин. независ , то опр Вронского ни в одной точке не обр. в 0. Для произв. сист. ф-ий это утв. неверно.

Д-во Пусть ф-я y₁(x)…y_n(x) лин. независ , но  х₀(a,b) котор W(x₀)=0.Тогда можно зап-ть след сист.  c₁…c_n:

система из (n-1) ур-й (14):

c1y₁(x0)+…+cnyn(x0)=0

c1y1’(x0)+…+cnyn’(x0)=0

……………………………………………………

c1y1^(n-1)(x)+…+cnyn^(n-1)(x)=0

Эта сист. для нах-я констант т.к. они явл. неизв. обознач. через с₁,с₂…с_n реш-е системы (14) это реш-е ненулевое и оно , т.к. определитем этой системы явл. опред-ль Вронского

y⁰ (x)=c⁰₁y₁(x)+c⁰₂y(x)+…+c⁰_ny_n(x) (16)

Если нач. усл. для этой ф-ии y⁰ (x₀)=0 y(x₀)=0 y^(n-1)(x₀)=0

y(x₀)0 (*)  c⁰₁y₁(x)+…+c⁰_ny_n(x)0 (16)

По сл-ю из нелокальной Th ф-я котор удовл нул нач есть тожд 0 т.е. (*) что противоречит лин зав ф-ии y₁…y_n ЧТД

4 Th об общем решении :

Пусть y₁…y_n это фунд сист реш-ий однородн ур-я (1) Тогда  реш-е этого ур-я можно предст. в виде лин комб.:

y(x)= c₁y₁(x)+…+c_ny_n(x) (17) в котор с1...сn однозначно опр-ся выбором реш-ий y₁(x)..y_n(x)

Д-во

 комб. реш-я однор ур-я это есть реш-е однородн ур-я =>  из реш-ий представимо ввиде:

Пусть x₀ нек. точка из (a,b) Рвссмотр. сист лин неоднородн ур-ий след вида:

c1y₁(x0)+…+cnyn(x0)=y(x0)

c1y1’(x0)+…+cnyn’(x0)=y’(x0)

……………………………………………………

c1y1^(n-1)(x)+…+cnyn^(n-1)(x)=y^(n-1)(x0)

Определителем этой системы явл W(x₀)<>0 Сист (18) имеет нек решение :  ₁…_n по этим числам можно сост-ть ф-ю

y⁰ (x)=c⁰₁y₁(x)+c⁰₂y(x)+…+c⁰_ny_n(x) (19) и нетрудно заметить что нач. усл. для Y(х) и для y₀(x) cовпад.Между собой.

Тогда 2 ф-ии удовл. одним и тем-же нач усл. по Th единственности совпад всюду

y(x)y⁰(x) ЧТД

Лекция 4

1 Лин диф ур.

1. х=a(t)x+b(t) – ур-е такого вида наз ЛДУ

a(t) и b(t) непр в инт-ле (a,b) Нужно найти такое реш-е t₀: (2) x(t₀)=x₀ t₀(a,b)

x=a(t), b(t)0 (3) однор ур-е

dx/dt=a(t)x; dx/x=a(t)dt ∫dx/x=∫a(t)dt

ln|x|=ln|c|+(t₀,t)∫a(s)ds

|x|=|c|e^((t₀,t)∫a(s)ds)- реш-е сохр знак!

x=ce^((t₀,t)∫a(s)ds) (4)! сR

Т.к. при с=0 x(t)=o то (4) дает общ решен. однородн ур-я(3)

x(t)=x₀e^((t₀,t)∫a(s)ds)) (5)!

Ур-е вида (1) наз неоднордн а (2) это однор, соотв неоднор вида(1)

Метод Лагранжа реш ур-я (1) вариаций произвольной постоянной.

Реш ур-я (1) ищется в виде (4) где С- не конст а некот ф-я (вариируем произв. пост. С)

x=c(t)e^((t₀,t)∫a(s)ds)) (6)

c(t)e^((t₀,t)∫a(s)ds))+a(t)c(t)e^((t₀,t)∫a(s)ds))a(t)c(t)e^((t₀,t)∫a(s)ds))+b(t)

c(t)= (e^(-(t₀,t)∫a(s)ds)))b(t)

c(t)=c+(t₀,t)∫(e^(-(t₀,)∫a()d)))b(s)ds

x=ce^((t₀,)∫a()d)+(t₀,t)∫e^[((t₀,t)∫a()de^((t₀,)∫a()d)]b(s)d(s)

(t₀,t)∫-(t₀,)∫=(t₀,)∫+(,t)∫-(t₀,)∫=(,t)∫

Общий вид фор-лы реш (1)

x=e^((t₀,t)∫a(s)ds)+ (t₀,t)∫e^((t₀,)∫a()d)b(s)ds (7)-реш-е(1)

x=x₀e^(t₀,t)∫a()d+(t₀,t)∫e^((t₀,)∫a()d)b(s)ds (8)-реш-е(2)

Проанализир. структуру ф-лы (7)

В(7) перв. слаг это общ реш однородн. ур-я а второе слаг это частн реш-е неоднор ур-я (1)

Т.о. общ реш неоднородн ур-я складов. из общего реш соотв однородного ур-я и частного реш неоднородного ур-я

3 Ур-е Бернули

Одно из немногих ур-ий котор м.б. проинтегрировано.

ДУ м.б. проинт. если его общ реш-е можно представить через элементар. ф-ии и операции интегрир

ДУ бернули наз ур-е вида

x=a(t)x+b(t)x^ (9)

a(t) и b(t) непр на (a,b) -конст

если =0 то получ ЛНДУ(не однор)

если =1 то получ ЛОДУ (однор)

x/x^=a(t)(x/x^)+b(t);

(d/dt)(x^(1-))=(1-)(1/x^)x

(1-)(x/x^)=(1-)a(t)x^(1-)+(1-)b(t)

(d/dt)(x^(1-))=(1-)a(t)x^(1-)+b(t)(1-)

y:=x^(1-) (10)

y=(1-)a(t)y+b(t)(1-) (11)

Для новой перем у соотв ДУ явл неоднор

Согластно ф-ле (7)

y=ce^[(1-)((t₀,t)∫a()d)]+ (t₀,t)∫e^[(1-)((t₀,)∫a()d)d]b(s)

x=y^(1/(1-))

(12) x={ce^[(1-)((t₀,t)∫a()d)]+ (1-)(t₀,t)∫e^[(1-)((t₀,)∫a()d)d}b()}

Далее для реш нач задачи из этой или (8) ф-лы

x(t)={(x₀^(1-))e^[(1-)(t₀,t)∫a()d]+(1-)(t₀,t)∫e^[(1-)(,t)∫a()d]b(s)ds}^1/(1-) (13)

4 Ур-е Риккати и рез-т Лиувилля

x=a(t)x^2+b(t)x+c(t) (14)- ДУ Риккати

Она не интегрир. (в квадратурах) этот факт был доказан Лиувиллем {кто ему такую фамилию придумал? Блин убил бы!!!}

a₀x^n+a₁x^(n-1)+…+a_n=0

n=2 квадр. ур-е

n=3 ф-лы Корделло

n=4 сведение к кубич ур-ю

если n>=5 то не общ ф-лы реш-я такого ур-я

Рассмотр. 914) тогда его коэф –конст.

x=ax^2+bx+c (15) a,b,c-const

D=b^2-4ac

1.Пусть D>0 тогда кв ур-е имеет 2 корня

ax^2+bx+c=0

x+_=(-b+_sqrt(D))/2a

если a>0 то кривульки напр. вверх

2.D=0 x+=x-

3.D<0 то  2 компл. корня а кв ур в 0 не обращ-ся

Ликция 9

Лин однородные диф-уры n-го пор-ка с перем коэф.

y+p(x)y+g(x)y=0

фор-лы для реш-я этого ур-я не

x(d²y/dx^2)+dy/dx+xy=0 – ур-е Бесселя

d^2y/dx^2+(1/x)(dy/dx)+y=0 x<>0

Одно из решений ур-ий Бесселя имеет вид:

y=1-x^2/2^2+x^4/((2^4)(4^2))+…+(-1)^n(x^2n/[(2^2)(4^2)…(2n)^2]+2*4*...2n=(2n)!!

1.Опр-ель Вронского и фор-ла Лиувилля

Рассм ЛДУ 1-го пор-ка с перем коэф:

y⁽ⁿ⁾+a₁(x)y^(n-1)+…+a_n(x)y=0 (1)

где (a₁…a_n)(x) непр на нек (a,b) числ прямой

Выпишем какую-либо систему этих решений из ур

y₁(x),y₂(x)…y_n(x) (2) и состав опред. (3) W(x)=

опр-ль Вронского или вронскиант.

Для опр-ля Вронского имеет место след ф-ла W(x)=e^[-(x₀,x)∫a₁(s)ds]W(x₀)

Д-во:

Правило: Производная опр-ля  n-опр-ей в 1ом из котор продифер эл-ты 1 строки а ост. без изм. во 2м опр продиф эл-ты 2ой строки а ост без измен и т.д. до n-го пор-ка

{(то что в | | таких скобках это столбцы)}

|b1,b2..bn|=|b1,b2,…bn|+|b1,b2…+bn|+…+|b1,b2,…bn|

возм. y(x)(y₁(x)…y_n(x))=>

y(x)=(y₁(x),… y_n(x))

y⁽ⁿ⁾(x)=(y⁽ⁿ⁾₁…y⁽ⁿ⁾_n)

W(x)=|y(x),y(x),…y^(n-1)(x)|

W(x)=|y(x),y(x)… y^(n-1)(x)| + |y(x),y(x)… y^(n-1)(x)|+…+|y(x),y(x)… y^(n-2)(x), y⁽ⁿ⁾(x)|

{||-столбцы!!!!}

y⁽ⁿ⁾(x)+a₁(x)y^(n-1)+…+a_n(x)y(x)=0

y⁽ⁿ⁾(x)=a₁(x)y^(n-1)(x)-…-a_n(x)y(x)

W(x)=|y(x),y(x),y(x)…(-a₁(x) y^(n-1)(x)-a_n(x)y(x)|=|y(x),y(x)...-a(x) y^(n-1)(x)|+|y(x),y(x),y(x),…-a₂(x) y^(n-2) (x)|+…+|y(x)…-a_n(x) y(x)|=-a(x)|y(x)…y^(n-1)(x)|-…-a_n(x)|y(x)…y(x)|

W(x)= -a(x)W(x) (5)

Интегрир (5) придем к (4)

W(x)=e^(-(1,x)∫(1/s)ds); W(x₀)=(1/x)W(x₀)

2 Восстановлен диф-уры по известн фунд-ой системе

y₁(x)…y_n(x) (6)- система n-раз непр. диф-ых ф-ии , опред. Вронского которой W(x)<>0 на a<x<b (7)

Треб. построить диф ур-е, фунд сист совп бы с (6)

Ответ дается след обр:

(8)

Тоже опр-ль Вронского, но для W{y₁(x)…y_n(x),y}<>0

Если раскрыть напис здесь опр-ль n+1 порядка по эл-ам

n+1 стороки, то мы перейдем к диф-ю 1-го пор-ка W(x)y⁽ⁿ⁾+…=0

3 Понижение пор-ка ур-я при известных частн реш-ях

Рассмотр ДУ(1) и предп. что имеет частное реш-е y₀(x)<>0

a<x<b (10)

Введем замену y=y₀(x)U (11)

y=y₀(x)U+y0(x)U

y=y₀(x)U+2y₀(x)U+y0(x)U…

y⁽ⁿ⁾= y₀⁽ⁿ⁾(x)U+C_n y₀^(n-1)+…+y₀(x)U⁽ⁿ⁾

Помножив соответственно на a_n(x), a_n-1(x)…a₁(x),1

И сложим почленно:

{y₀⁽ⁿ⁾(x)+a₁(x)y^(n-1)₀ (x) +…+a_n(x)y₀(x)0}

y0(x)U⁽ⁿ⁾+…(что-то)..+U^(n-1)+..+( y₀⁽ⁿ⁾(x)+a₁(x)y^(n-1)₀ (x) +…+a_n(x)y₀(x))U0

Введем замену z=U (12)

z^(n-1)+b₁(x) z^(n-2)+…+b_n-1(x)z=0 (13)

Порядок понизился на 1 и стал n-1

если известн. k реш-ий, то можно получить понижение на к и получить ф-лу n-k

y(x)=y0(x)(x₀,x)∫z(s)ds (14)

Связь реш-я (1) с реш-ем (13) Выделенное реш-е это не y0 а yn

Предположение: Пусть : z₁(x)…z_n-1(x) фунд сист реш-ий однор ур-я (13) Тогда ф-ии {y₁(x)y_n(x)(x₀,x)∫z₁(s)ds, y₂(x)y_n(x)(x₀,x)∫z₂(s)ds,…., y_n-1(x)y_n(x)(x₀,x)∫z_n-1(s)ds

y_n(x)} (16)

пусть нек лин ком-я ф-ий сист (16)

равна нулю, т.е.  C1…Cn-1,Cn

C₁y₁(x)+…C_n-1y_n-1(x)+C_ny_n(x)0

yn(x)(c+(x₀,x)∫z₁(s)ds+…+c_n-1(x₀,x)∫z_n-1(s)ds+c_n=0

По усл у_n(x)<>0 => на нее можно сократить и продиф остав. выр-е:

c₁z₁(x)+…+c_n-1z_n-1(x)=0 => c₁=…=c_n-1=0 =>

c_ny_n(x)=0 => c_n=0 т.к. yn(x)<>0

4---------------

y+p(x)y+g(x)y=0 (17)

Пусть z=y/y , y<>0 (18)

y/y+p(x)y/y+g(x)=0 y=zx y=zy+zy;

z+zy/y+p(x)y/y+g(x)=0 (19)

получидли ур-е Риккати (нелин-е)

5-----------

Если частн. реш-е (17), то после понижения получ ур-е 1-го пор-ка

y2(x)=y1(x)(x₀,x)∫1/(y₁²(s))e^[-(x₀,)∫p()d]ds (20)