Матан 2сем / 1 / 6_11_12

6. Дифференциальные и интегральные неравенства.

1)Т. Чаплыгина о дифференциальных неравенствах.

2)Лемма о линейных диф. нер-ах.

3)Т. Райда об интегральных неравенствах

4)Лемма Беллмана о лин. интегр. нер-ах.

1:) Т. Чаплыгина о дифференциальных неравенствах.

Введём в рассмотрение прямоуг. D₊=(x,y): x₀<=x<=x₀+a, |y-y₀|<=b} (1) и рассмотрим на этом прямоуг. ф-ю f(x,y), непр. по совок. перем. удовл усл Липшица по второй перем. По Т. Коши-Липшица  начальная задача y’=f(x,y) x₀<=x<=x₀+a (2) имеет ед реш на [x0,x0+a].

Т. Чаплыгина: Пусть дифференциал ф-ии U(x): U’(x)<=f(x, U(x)) x₀<=x<=x₀+a (3) U(x0)<=y0 (4). Пусть ф-я V(x) явл решением нач задачи V(x): V’(x)=f(x,V’(x)), x₀<=x<=x₀+a (5), V(x0)=y0 (6), тогда U(x)<=V(x), x₀<=x<=x₀+a. Здест ф-я f(x,y) опр в прямоуг. D₊ и обладает всеми перечисленными выше свойствами.

Д-во: предп сначала, что вып строгое н-во: U’(x)<f(x,U(x)), x₀<=x<=x₀+a. U(x0)<y0=V(x0) => U(x0)<V(x0). Посл н-во по непр-ти вып в нек правой полуокрестности т х0, т.е. на x₀<=x=x₀+a(надо пок-ть, что U(x)<V(x).

Предп. противное. Тогда  x1, такая, что U(x1)>=V(x1). Таким образом между х0 и х1  такие х, в кот U и V совпадают. Обозн кажд из этих точек через х^*: U(x^*)=V(x^*). Ограничимся рассмотрением инт x₀<=x=x^*. Имеем:

_ U(x)<V(x)

U(x*)=V(x*)

Получ:

U(x)-U(x*)<V(x)-V(x*) |:(x-x*)

(U(x)-U(x*))/(x-x*)>(V(x)-V(x*))/(x-x*)

и перейд к lim при xx*

U’(x*)>V’(x*) (*)

V’(x*)=f(x*,U(x*))=f(x*,U(x*))>U’(x)

V’(x*)>U(x*) (**)

Н-ва (*) и (**) противоречат друг другу, что и доказывает строгое н-во U(x)<V(x) x₀<=x<=x₀+a. Предположения U’(x)<=f(x,U(x)), U(x)<=V(x) опр на прямоугольнике D₊ ф-ю g(x,y) по след правилу: g(x,y)=f(x,y), if y>=U(x), и g(x,y)=f(x,U(x)),ф if y<U(x). g(x,y) непр по совок перем и удовл усл Липшица по 2-й перем, с той-же пост, что и f(x,y). Введём в рассмотрение ф-ю W(z), как реш нач зад W’(x)=g(x,W(x)), x₀<=x=x₀+a (7). W(x0)=y0 (8). Ф-я V(x)  и опр-ся единственным образом. Н-но пок-ть, что U(x)<=W(x), x₀<=x=x₀+a (9). U(x0)<=y0<=V(x0). Предп, что (9) не вып-ся на всём [x0, x0+a], т.е. х1, для кот U(x1)>W(x1) между х0 и х1, х* в котор U(x*)<W(x*). Ограничимся теперь рассмотрением отрезка [x*, x1] на этом отрезке. W(x)<U(x). Введём в рассморение ф-ю (х)=U(x)-W(x)>0, x(x*,x1]. ’(x)=U’(x)-W’(x)<=f(x,U(x))-g(x,W(x))=f(x,U(x))-f(x,U(x))=0. Т.о. ’(x)<=0 => ф-я (х) невозр, поэтому (x)<=0. Получили против. Знач верно (9). Ф-я g(x,W(x)) при условии W(x)<U(x)) совпадает по построению с f(x,W(x)). Поэтому W’(x)=f(x,W(x)) (10).

W(x0)=y0 (11). По теореме Коши – Липшица ф-ии W(x) и V(x) совпадают на x0<=x<=x0+a => U(x)<=V(x). Теоремка док-на!!!

2:) Лемма о линейных дифференциальных нерав-ах.

 a(x) и b(x) непр и опр на x₀<=x<=x₀+a. Пусть диффер ф-я U(x) удовл н-ву: U’(x)<=a(x)U(x)+b(x) (12), U(x0)<=y0 (13). Тогда справедлива оценка:

U(x)<=y₀e^{(x0..x)a(V)dV}+(x0..x)e^{(s..x)a()d}*b(s)ds (14)

Д-во: Определим ф-ю f(x,y)<=a(x)y+b(x). Эта ф-я непрерывна и удовл условию Липшица по 2-й переменной: f(x,y)/y=a(x), |a(x)|<=L, т.к. a(x)-непр. Обозн через G(x) реш нач зад, V’(x)=a(x)V(x)+b(x), x₀<=x<=x₀+a (15), V(x0)=y0 (16), в этом случ вып-ны все усл теор Чаплыгина о диф нер-ах, поэтому: U(x)<=V(x) на [x0;x0+a], и тем самым н-во (14) д-но. Предп теперь, что a(x)<=a, b(x)<=b. Н-во прин вид: U’(x)<=aU(x)+b (17). U(x0)<=y0 (18) и для U(x) справ-ва оценка: U(x)<=y0*e^a(x-x0)+b/a*(e^a(x-x0)-1) (19)

3:) Т. Райда об интегральных неравенствах

Предп, что на D₊ определена ф-я f(x,y) непр по совок перем, удовл усл Липшица по втор перем, и не возр по 2-й перем, т.е. f(x,u)<=f(x,V), if U<=V. Пусть непр ф-я U(x) удовл инт н-ву: U(x)<=y0+(x0..x)f(s,U(s))ds (20), x₀<=x<=x₀+a. Пусть непр ф-я V(x) явл реш V(x)=y0+(x0..x)f(s,V(s))ds (21), V(x0)=y0 (22), тогда ф-я U(x)<=V(x), x₀<=x<=x₀+a.

Д-во: Обозначим через W(x) правую чать неравенства (20). W(x)=y₀+(x₀..x)f(s,U(s))ds, => U(x)<=W(x). Т.к. U(x) явл решением (21), то она удовл диф ур-ю: W(x)=f(x,U(x)), т.к. U(x)<=W(x), и ф-я f не возр по втор перем: V’(x)<=f(x,W(x)), функц W(x) удовл дифуре: W’(x)=f(x,U(x)) – вып все усл теор Чаплыгина о диф нер-ах => V(x)<=W(x) на x₀<=x<=x₀+a.

Теорема доказана.

4:) Лемма Беллмана о лин. интегр. нер-ах.

Пусть a(x), b(x) непр на [x0;x0+a] и пусть a(x)>=0, и пусть ф-я U(x)<= y0+(x0..x)f(s,U(s))ds (23), тогда спр-во и др н-во:

U(s)<=y₀e^{(x0..x)a()d}+(x0..x)e^{(s..x)a()d}*b(s)ds (24)

Д-во: определим функцию f(x,y)a(x)y+b(x). Она непр и удовл усл Липш и невозр по втор перем. f(x,y)/ya(x)>=0. Опр ф-ю, как реш ур-я V(x)=y0+(x0..x)(a(s)V(s)+b(s))ds (25), V(x0)=y0. По теореме Райда, U(x)<=V(x), и V’(x)=a(x)V(x)+b(x) (26), V(x0)=y0 (27). Решение нач зад (26)-(27) определяется ф-ой V(x)=x0*e^{(x0..x)a()d}+(x0..x)e^{(s..x)a()d}*b(s)ds, что и доказ лемму.

Если a(x)<=a>=0, b(x)<=b, тогда U(x)<=y0+(x0..x)(aU(s)+b)ds (29) и спр оценка сверху U(x)<=y*e^a(x-x0)+b/a*(e^a(x-x0)-1) (30)

11. Линейные однородные диф. ур-я n-го порядка с пост коэф(случ прост корней).

1)Хар мн-н и мет Эйлера

2)Комплексная теорема об общем решении

3)Выделение вещественного решения из комплексного

4)Вещ теор об общ реш.

1:) Хар мн-н и мет Эйлера

y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+...+a_ny=0 (1) – лин диф ур-е n-го порядка; a₁,a₂,...,a_nR или С. Из нелок теор -я ед-ти, для нач усл вида y(x₀)=y₀,...,y^(n-1)(x₀)=y₀^(n-1). Ур-е (1) имеет ед реш, и это реш определено на всей числовой прямой. y=e^x (2), буд искать реш-я (1) в таком виде, где  подлежит определению. y=e^x, y’=e^x, y⁽ⁿ⁾=ⁿe^x; (ⁿ+a₁^n-1+...+a_n)e^x=0, e^x0. ⁿ+a₁^n-1+...+a_n=0 (3). Решение вида (2) -ет тогда и только тогда, когда -ют корни (3). Это уравнение называется характеристическим, а его корни наз-ся характеристическими корнями, а мн-н характеристическим. Согласно основной теореме алгебры, мн-н n-ой степени имеет n-корней, считая кажд корень столько раз, какова его кратность. ₁,...,_n. (4). Каждый из корней даёт решение (1). e^1x,..., e^nx (5). If все корни простые, то в (5) запис n-разл реш-ий (1). Если корни кратные, то в (5) будут повторяющиеся решения, и напис решений будет недостаточно.

2:) Теорема об общем комплексном решении:

Пусть хар-е корни (4) попарно – различны, т.е. все корни являются простыми: y=c₁e^1x+...+c_ne^nx, где c_i – произв компл числа для i=1..n.

Д -во: Н-но д-ть, что ф-ии (5) образ фунд сист, т.е. что ф-ии (5) лин.-нез. Посчитаем вронскиант (5):(от меня: Л=): (7)

=>(5) явл фунд. Теор д-на

3:) Выделение вещественного решения из комплексного.

Пусть зад (1), когда a₁,...,a_nR. If -корень (3), =+i, то ^-=- i так-же корень этого ур-я. _2j-1=_j+i_j, _2j=_j-i_j,j=1,..,k (8). Т.о. охватывается 2k-корней, остальные вещественные: _2k+1,...,_nR. Полученные вещ реш ур-я (1). Выдел вещ реш-я из компл: y_2j-1(x)= e^(2j-1)x; y_2j-1(x)= e^(2j)x; y_2k+1(x)= e^(2k+1)x; y_n=e^nx; (9). y=c₁y₁(x)+c₂y₂(x)+...+c_2k-1y_2k-1(x)+c_2ky_2k(x)+ c_2k+1y_2k+1(x)+..+c_ny_n(x)(=) (10). Ф-я вида (10), получ из (9), явл вещ тогда и только тогда, когда произв пост при компл-сопряж реш-ях комплексно сопряжены, а при веществ – нет.с^-₁=с2;...; с^-_2k-1= с_2k; с^-_2k+1= с_2k+1­; с^-_n= с_n. (11). y(x)=y^-(x). Если (10) даёт вещ реш (???), то (=)c^-₁y^-₁(x)+c^-₂y^-₂(x)+...+ c^-_2k-1y^-_2k-1(x)+ c^-_2ky^-_2k(x)+ c^-_2k+1y^-_2k+1(x)+...= c^-₁y₂(x)+c^-₂y₁(x)+...+c^-_2k-1y_2k(x)+c^-_2ky_2k-1(x)+c_2k+1y_2k+1(x)+... Чтобы y(x)=y^-(x), н. и д., чтобы совп коэф, т.е. вып-сь (11).

4:)Вещ теор об общ реш:

Пусть (1) имеет вещ коэф. Пусть корни хар уравнения занумер так, как указ в (8).Тогда общее вещественное решение (1) имеет вид: у=e^(1)x(a1*cos ₁x+b₁sin ₁x)+...+ e^(k)x(a_k*cos _kx+b_ksin _kx)+c_2k+1e^(2k+1)x+...+ c_ne^(n)x (13). a₁,...,a_n,b₁,...,b_n­­,c_2k+1,...,c_2nR.( От себя: (k)x=_kx, c^-=c(с чертой) и т.п.)

Другая форма записи:

=+i. C=½e^i

ce^x+ c^-e^{(c чертой)x}=e^xcos(x+) (14)

Пусть коэф (1) явл вещ числами. Пусть корни хар ур-я явл простыми и занум, как в (8). Тогда общ вещ реш-е (1) м-но записать в виде: y=₁e^(1)xcos(₁x+₁)+...+_ke^(k)xcos(_kx+_k)+c_2k+1e^(2k+1)x+c_ne^(n)x (15)

0<₁,..,_kR; ₁,..,_kR; c_2k+1,...,c_nR

12. Лин однор дифуры(ЛОДУ) n-го порядка с пост коэф (случ кратн корней).

1)Хар ур-е и мет Лагранжа

2)Ф-ла смещения

3)Теор об общ компл реш-ии

4)Теор об общ вещ реш-ии

1:)Хар ур-е и мет Лагранжа

Рассмотрим ЛОДУ n-го порядка с пост коэф: y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+...+a_ny=0 (1). a1,...,anR или C. Сопост этому ур-ю хар ур-е: L()=ⁿ+a₁^n-1+...+a_n=0 (2). По осн теор алгебры мн-н имеет n-корней, если кажд корень считать столько раз, какова его кратность. ₁,...,_n; k₁+...+k_s=n (3). k1,..,ks-кратность. L()=(-₁)^k1(-₂)^k2... (-_s)^ks_­­­ (4). Рассм след сист ф-ий: y₁(x)=e^[1]x; y₂(x)=xe^[1]x;...; y_k[1](x)=x^k[1]-1e^[1]x; y_k[1]+1(x)=e^[2]x;...; y_k[1]+k[2](x)=x^k[2]-1e^[2]x;...; y_{k[1]+...+k[s-1]+1}(x)=e^[s]x; y_{k[1]+...+k[s-1]+2}(x)=xe^[s]x; y_n(x)=x^[s]-1e^[s]x. (5) Это лин-нез решения. Их n штук. Идея Лагранжа: (e^{(+)x}-e^x)/xe^x.

2:)Ф-ла смещения.

Пусть p=d/dx;Это дифференциальный оператор. Тогда (1) прин вид: L(p)y=0 (6)  dⁿ/dxⁿ+a₁(d^n-1/dx^n-1)+...+a_n. L(p){e^xf(x)}= e^xf(x)L(p+) (7).

L(p)=ap+b. L(p){e^xf(x)}=a*(d/dx)f(x)e^xf(x)+be^xf(x)=a(e^xf(x))+e^xf(x)*(d/dx)+be^xf(x)=

=e^x{apf(x)+af(x)+bf(x)}=e^xf(x){a(p+)+b}=e^xf(x)L(p+);

L(p)=M(p)N(p)

L(p){e^xf(x)}=(M(p)N(p)){e^xf(x)}=M(p)(N(p){e^xf(x)})=

=M(p){e^xf(x)N(p+)}=e^xM(p+){N(p+)f(x)}=e^xf(x)(M(p+)N(p+))=

=e^xf(x)L(p+); _j(x)=e^xx^j; j=0,1,...,k-1 (8).

Докажем, что кажд из ф-ий в (8) явл реш-ем (1). L(p)=M(p)(p-)^k; L(p)(x)=L(p){e^xx^j}=e^xx^jL(p+)(=) использовалась формула смещения (=)e^xx^jM(p+)p^k=0, т.к. p^kx^j=0. p^kx^j=0, if k>j; p^kx^j=k!, if k=j; p^kx^j=j(j-1)...(j-k+1)x^{j- k},if k<j (9). (5) является решением (1). L(p)_j(x)=0, при x=x0, j=0,1,...,k-1 (10).(???)

L(p)₁(x)=e^xL(p+)₁(x)=e^xM(p+)p^l_j(x)=0, x=x0, e^x00. Рассмотрим l>=k, тогда м-но взять ф-ю _l(), тогда p^l_l(x)=l! и M(p+)l!=0. Пусть p=0, тогда M()0.

3:)Теор об общ компл реш-ии

В уравнении (1) общее комплексное решение имеет вид: c₁y₁(x)+...+c_ny_n(x) (11), где c₁,...,c_nC-произв, а у₁,...,у_n приведены в (5). e^[1]xf₁(x)+e^[2]xf₂(x)+...+e^[s]xf_s(x), ( От себя: Л= в матрице)

Это означает, что между строками определителя  лин зав-ть. Умнож каждый столбец на (b_n-1,b_n-2,...,b₀) (От себя: эту строку надо записать как столбец). M(p)=b₀p^n-1+b₁p^n-2+...+b_n. M(p)y_j(x)=0, при x=x₀ (13). M(p)=_j(x), при x=x₀=0; j=0,1,...,k_j-1; =_j.

₁ является корнем M(p), кратности k₁;

.................

_s является корнем M(p), кратности k_s; => кратн n-1, => k₁+...+k_s=n, а этого быть не может.

4:)Теор об общ вещ реш-ии

Если коэффициенты вещественные, то если есть корни =+i; ^-=-i, 0 кратн k. Компл корню  кратности k отвечает группа решений: e^x(a₁cos x+b₁sin x+x(a₂cos x+b₂sin x)+...+x^k-1(a_kcos x+b_ksin x)); a₁,..,a_n,b₁,...,b_nR.

e^x(₁cos(x+₁)+x₂cos(x+₂)+...+x^k-1_kcos(x+_k); 1,...,k>0; 1,...,n-const.(15)

Если же корень R, то ему отвечает группа решений след вида: e^x(c₁+c₂x+...+c_kx^k-1) (16). Для того, комплексные решения давали вещественное необх и дост, чтобы при компл произв пост были компл сопряжены, а при вещ – вещественно.