Матан 2сем / 1 / 14_1_2

Лекция №14.

Линейные колебания.

1)Свободные колебания линейной системы без трения.

2)Свободные колебания линейной системы с трением.

3)Вынужленные колебания линейной системы без трения.

4)Вынужленные колебания линейной системы с трением.

az’’+bz’+cz=h(t) a,b,cR h(t)-комплексная ф-я: f(t)+ig(t) az’’+bz’+cz=f(t)+ig(t) z(t)=x(t)+iy(t) a(x’’+iy’’)+b(x’+iy’)+c(x+iy)=f+ig ax’’+bx’+cx+i(ay’’+by’+cy)=f+ig ax’’+bx’+cx=f(t) ay’’+by’+cy=g(t) если z(t) компл. реш. то его вещ. и мним. части явл. реш-м вещ. ур-й правой части котор.равны соответ. вещ. и мним. az’’+bz’+cz=pe^(iæt) (æ-каппа) L(iæ)<>0 z=qe^(iæt)-реш-е ур-я

z’=qiæe^(iæt); z’’=q(iæ)^2e^(iæt) (-aæ^2+biæ+c)qe^(iæt)=pe^(iæt) q=p/(-aæ^2+biæ+c) z(t)=e^(iæt)p/(-aæ^2 +biæ+c) p>0 pR Выделим вещ и мним части: z(t)=(cosæt+isinæt)p(1/(-aæ^2+biæ+c))=p(cosæt+isinæt)(-aæ^2-biæ+c)/((-aæ^2+biæ+c)(-aæ^2-biæ+c)=p(cosæt+isinæt)(-aæ^2-biæ+c)/((-aæ^2+c)^2+(biæ)^2)=(коля не дописал).

1)Свободные колебания линейной системы без трения описываются в след. виде: d²x/dt²+a²x=0 a<>0 (1). k²+a²=0-характеристическое ур-е (2) k1,2=+-ia; e^(iat) e^(-iat) x=c1cosat+c2sinat- общее ур-е (3) или запис в след виде x=Asin(at+) A>0 (4) A(sinatcos+cosatsin)(тожд.=) с1cosat+c2sinat Acos=c2 Asin=c1 A²cos²+A²sin²=c1²+c2²= значит A=sqrt(c1²+c2²) sin=c1/A cos=c2/A tg=c1/c2 A-амплитуда колебаний a-частота -нач. фаза. aT=2 T=2/a-период колебаний a/2-число кол. в единицу времени. Ур-е (1) часто наз гармонич. осициллятора ’’+(g/l)sin=0, считают что колеб малее, sin= ’’+(g/l)=0 (ур-е (1)) a²=g/l T=2/a=2sqrt(l/g)

2)Свободные колебания линейной системы с трением: d²x/dt²+2ndx/dt+a²x=0 (5) 0<n<a-сопр. мало n>=a-сопр. велико; k²+2nk+a²=0 (6) k1,2=-n+-isqrt(a²-n²) sqrt(a²-n²)=b Выпиш. компл реш-я (1): e^(-nt+ibt) e^(-nt-ibt) Выпиш вещ реш-я: x=e^(-nt)(c1cosbt+isinbt) c1,c2R (7) x=Ae^(-nt)sin(bt+) (8) Ae^(-nt)-перем. амплитуда b-частота если n мало то b примерно =a. Логорифмич. декремент затухания T=2/b T/2=/sqrt(a²-n²); e^(-n(t0+T/2))=e^(-nt0)e^(-nT/2); -e^(-nT/2=n/sqrt(a²-n²)-л.д.з.

3)Вынужленные колебания линейной системы без трения: d²/dt²+a²x=psint (9) a,p,>0 a-частота собств колеб; p-амплитуда; -частота ;e^(it) надо следить что i=+-ia; *)<>a-нерезонансный случай. x=cost+sint =0=p/(a²-²) x=Asin(at+)+psint/(a²-²) (10) – общее реш-е (9); если A и  соизмеримы то это период ф-я; если A и  несоизм (их отн иррац) то это непериод ф-я; если 0<<a то psint/(a²-²)-амплитуда; если >a то psin(t+)-амплитуда, говорят в этом случае чтоколебания происходят в противофазе. Частота внеш сил не совпадает с собств частотой; **)если =a-резонансный случай. x=(cost+sint)t (!) если част. реш. (9) исп в виде (!) то =-p/2a и =0 а значит общее реш (9) имеет вид x=Asin(at+)-ptcost/2a (11) ptcost/2a –вековой член из-за него происходит явление резонанса. (коля написал что нету ф-лы (12)).

4)Вынужленные колебания линейной системы без трения: d²x/dt²+2ndx/dt+a²x=psint (13) 0<n<a Общее реш e^(it) i не совпад с корнями хар ур-я. Резонанса нет. x=Mcost+Nsint для опр-я M,N получаем след систему 2-х ур-й: -2nM+(a²-²)N=p и (a²-²)M+2nN=0 (14) M=(-2np)/((a²-²)²+4n²) N=((a²-²)p)/((a²-²)²+n²) x=(p/((a²-²)²+4n²²))(-2ncost+(a²-²)sint) (15) ²(-2ncost+(a²-²)sint)- частное реш.; x=(p/sqrt((a²-²)²+4n²²))sin(t+) (16) част реш (13); если общ то и этому выр-ю нужно добавить Ae^(-nt)sin(bt+) по истеч большого времени это слагемое быстро убывает (колеб опис ур-м (3)) т.е. происх. с той же частотой что колебания возмущ системы , однако ампл и фаза придержиают опр изм-я. Формально резонанса нет. - полярный угол -/2<<0 if a>; q=/2 if a=; -<<0 if a<.

лекция №1.

*соотношение связывающее независимую пер. x, ф-ю y(x) и некот. кол-во ее производных назыв. диф. ур.

*порядком д.у. наз. порядок старших произв. входящих в это д.у.

предположем что в пр-ве пер-х x,y,z задана ф-я F на некотор.области G.

*соотношение связывающее независимую пер. x, ф-ю y(x) и ее первую производную y’(x) назыв. диф. ур. 1-го порядка.

*искомое д.у. явл. ф-я y(x). Если ищем ф-ю одной пер., то ур-е наз. обыкновенным. Если искомой явл. ф-я нескол. пер-х, то д.у. наз. ур-м в частных произв-х (ур-е Лапласа).

*ф-я y=f(x) опред. на некот. интервале наз. решением ур-я если выполняются след. условия:

1.f(x) диф-ма в  точке обл. опр. f’(x) не равно оо.

2.x: x,f(x),f’(x) принадлежат области G, на кот.опр-на F(G).

3.x: ф-я f(x) обращ. ур-е в тождество ((x,f(x),f’(x))=0.

*д.у. 1-го пор. разрешенное относит.произв. имеет след. вид y’=f(x,y) (*), где y’=dy/dx dy/dx=f(x,y) y’=dy/dt

*реш-е ур-я 1-го пор.всегда зависит от 1-ой произв. постоянной. Ур-е n-го порядка зав. от n произв. постоянных.

*для того чтобы найти реш-е ур-я(*) проход. через заранее зад. точку ставят начальное усл-е: y(x0)=y0 (**).

*найти реш-е ур-я (*) удовлет. зад. нач. усл-ю (**) означает решить нач. задачу Коши.

Известно что нек. ф-я y=y(x,c) c=const (***) такая что подходящим выбором с из нее можно получитьлюбое реш-е ур-я (*), тогда ф-я (***) наз. общим реш-м ур-я(*), каждое конкретное реш-е ур-я (*) наз. частным реш-м ур-я (*).

если есть представление (***), то реш-е ур-я (*) задано явно; если f(x,y)=0 неявно и ф-я f(x,y)=0

наз. частным интегралом.

*если удалось найти ф-ю f(x,y,c)=(пуст. мн-во), кот. охватывает все частные интегралы, то она наз. общим интегралом.

*д.у. и ф-я зад. общий интеграл эквивалентны f(x,y,y’)=0 и Ф(x,y,c)=0.пусть задано семейство линий ур-м Ф(x,y,c)=0 иначе говоря задан общий интеграл. Для того чтобы восстан. д.у. необходимо ф-ю Ф(x,y,c)=0 продиф. по x Ф’x(x,y,c)+ Ф’y(x,y,c)*y’=0 из этого соотношения нужно выразить произв. пост. с, она будет зависеть от x,y и y’ и затем вернуться к F(x,y,y’)=0.

*д.у. y’=f(x,y) определена на пл-ти (x,y) – фазовая пл-ть.

!!!!!!рис.!!!!!!

1.Зафикс. в области определение ф-и f нек. точку с корд. (x,y).

2.Подставим зн-е ф-и f в зад-й точке f(x,y)=y’=tga.

3.y’=tga через (x,y) проводят отрезок единичной ф-и кот образует угол a с положит. напр. оси x.

4.Теоретически эта процедура проводится в каждой точке области определения ф-и f и получают совокупность единичных отрезков. Эта совокупность и задает поле напрвлений.

*геометр. образ реш-й y=w(x) или его график наз. интегр. кривой, а всевозм. инт.кривые задают фазовый портрет.

известен график реш-я д.у. Зафикс. произв. точку и проведем через нее касательную. Касат. обраует угол b с x; tgb а значит  зн-е производной. y’=f(x,y) Т.к. w(x) есть реш-е нашего д.у. то w’(x)=tgb=f(x,w(x))=f(x,y)=tga. Угол a задает наклон поля к точке (x,y).

Особнность: в кажд. т. интегр. кривой касат. и наклон поля совпадают между собой.

*Метод Изоклин:

1.правая часть д.у. приравнивается к постоянной k.

2.задают некот. кол-во зн-й этой пост. k1,k2,…,kn.

3.строят ф-и f(x,y)=ki, i=1..n (ур-е изоклин) кривая – изоклина.

4.по извест. зн-ю ki подсчитывают угол ai кот. задает наклон поля в точках соотв. изоклине.

5.проводят интегр. кривую такую что в точках пересечения ее с изоклиной касательная к ним и наклон поля совпадают между собой.

Лекция №2.

Уравнения с разделяющимися пер-ми.

*пусть ур-е имеет вид y’=f(x) (1) тогда dy/dx=f(x) и предполагая что f(x) определена и непр. на (a,b) можно записать dy=f(x)dx (2), проинтегрируем обе части dy=f(x)dx y=f()d+c (3). Соотнош. (3) задает общ. реш-е ур-я (1) и зависит от одной постоянеой. Иначе общ. реш-е можно запис. в виде

y=(x0,x)f()d+c (4) в этом случае y(x0)=c; в этом случае y(x)=y0+(x0,x)f()d y(x)=y0 (5)

*пусть д.у. имеет вид y’=g(y) (6); ф-я g(y) опр. и непр. в [c,d] предположим что g(y) не обращается в 0; dy/dx=g(y) или dx/dy=1/g(y) (7). В виде (7) ур-е явл. точно таким же ур-е (1) т.е. можно интегрировать: dx=dy/g(y) dx=dy/g(y) x=(y0,y)dy/g(y)+c (8) Представление (7) позволяет сделать x ф-ей y, y-независ. пер.; (8) задает общий интеграл для ур-я (6); x=x0+(y0,y)dy/g(y) y(x0)=y (9); (9) задает частичный интегралдля ур-я (6). Для того чтобы точно проанализировать ур-е (6) выписывают ур-е g(y)=0 (10) теперь можно найти его корни: если y0:g(y0)=0 то ур-е (6) имеет реш-е y=y0. для того чтобы изобразить все интегр. кривые (6) сначала изображают интегр. кривую проход. через т.(x0,y0), остальные получ. сдвигомоси ox, реш-е не выходит из [c,d].

* пусть ур-е имеет вид y’=f(x)g(y) (11) f(x) определена и непр. на (a,b) g(y) опр. и непр. в [c,d] тогдаправая часть опр. в области G, кот. опред. по x интервал[a,b], по y-[c,d] g(y) y неравно 0.

Для реш-я (11) нужно разделить пер-е: dy/dx=f(x)g(y) dy/g(y)=f(x)dx dy/g(y)=f(x)dx+c (12). (12) задает общий интеграл для ур-я (11). Если удается отсюда явно выразить y от x, то получаем общ. реш-е. Предположем что y=(x), ее можно представить в (11): y’=f(x)g((x)) g<>0 y’/g((x))=f(x) (13) Домножим обе части (13) на dx и проинтегр. y’dx/g((x))=f(x)dx dy=’(x)dx ’(x)dx/g((x))=dy/g(y) Замена справедлива если (x) не обращается в 0.

Однородные диф. ур-я.

Ур-е 1-го порядка y’= f(x,y) (1) однородно если f(ax,ay)=af(x,y) (2).

Ур-е n-го порядка однородно если f(ax,ay)=a^nf(x,y).

Если ф-я f(x,y) удолетворяет условию (2) то можно записать x<>0 f(x,y)= f(x*1,x*y/x)= f(1,y/x) = =g(y/x) f(x,y)=g(y/x) f(1,u)=g(u) (3). В силу соотношения (3) ур-е (2) имеет вид y’=g(y/x) (4). Это ур-у не явл. ур-м с разд. пер. но может быть сведено к нему заменой u=y/x (5): y=ux y’=u’x+u подставим в (4) u’x+u=g(u) xdu/dx=g(u)-u du/(g(u)-u)=dx/x (6) проинтегр.(6) g(u)-u<>0

du/(g(u)-u)=ln|x|+c (7) Соотношение (7) задает общий интеграл для ур-я (4) после этого возвр. к x, y. Выпис. ур-е g(u)-u=0 (8) и реш-т, корень ур-я (8) задает реш-е ур-я (1).

Ур-я в диф-лах. A(x,y)dx+B(x,y)dy=0 (1)-общий вид ур-я в диф-лах. Это ур-е явл. ур-м в полных диф-лах если такая неотр. диф. ф-я u(x,y) что полный диф-л du(x,y)=(x,y)dx+B(x,y)dy du(x,y)=0 (2) в этом случае общий интеграл для ур-я (1) имеет вид u(x,y)=c (3). Пусть задана ф-я u(x,y): u(x,y)/y<>0 тогдаур-е (3) (по теореме о неявн. ф-и) разрешено c. Обозначим реш. этого ур-я через y(x) тогда u(x,y(x))=c (4). Продиф-м по x: u(x,y)/x+y’(x)u(x,y)/y=0 (5) умножим на dx y’(x)dx=dy т.к. u(x,y)/x=A(x,y); (x,y)/y=B(x,y) (6) то y(x) явл. реш-м ур-я (1).

Теорема. Пусть A(x,y), B(x,y) непр. диф. ф-и тогда для того чтобы ур-е (10) было в полных диф-лах Н.иД. чтобы: A(x,y)/y=B(x,y)/x (7).

Док-во: Н. Пусть ур-е (1) – это ур-е в полных диф-лах, тогда справделивы соотношения (9):

A(x,y)/y=(u(x,y)/x)/y=^2u(x,y)/xy; B(x,y)/x=(u(x,y)/y)/x=^2u(x,y)/xy; т.к. ф-я и по предположению непр. и диф. то смеш. производные совпадают, что и доказ. необходимость.

Д. Имеем (7) докажем что (1)- полный диф-л ф-и и u/x=M(x,y) u=(x0,x)Mdx+(y)Подберем  (y) так чтобы N=u/y; u/y=(x0,x)dxM/y+’(y)=N(x,y) (M/y=N/x) (x0,x)dxu/x+’(y)=N N(x,y)|(x,x0)+’(y)=N(x,y) ’(y)=N(x0,y) (y)=(y0,y)N(x0,y)dy+c u(x,y)=(x0,x)Mdx+ (y0,y)N(x0,y)dy+c ч.т.д.

Часто ур-е в диф-лах можно привести к ур-ю в полных диф-лах путем умножения на некот. ф-ю m(x,y) m(x,y)A(x,y)dx+m(x,y)B(x,y)dy=0 (8) m(x,y)-интегрирующий множитель.