Матан 2сем / 1 / 13_10_7

13. Линейные неоднородные диф ур-я n-го порядка с правой частью квазимногочлена.

1)Квазимногочлены и их свойства

2)Правило нахождения частного решения в нерезонансном случае

3)Правило нахождения частного решения в резонансном случае

1:)Квазимногочлены и их свойства

Рассмотрим ЛОДУ n-го порядка. y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+...+a_ny=f(x) (1); a_iC i=1,...,n. f(x)-квазимногочлен. Чтобы найти решение (1) н-но решить y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+...+a_ny=0 (2). М-но искать по методу Лагранжа: f(x)=e^[1]xp₁(x)+e^[2]xp₂(x)+...+e^[k]xp_k(x) (3) – квазимногочлен; ₁,...,_kC; p₁(x),...,p_k(x) – мн-ны с компл коэф. Примером квазимногочленов являются показательные функции: e^ix=cos(x)+i*sin(x). sin и cos также квазим-ны: cos(x)=(e^ix+e^-ix)/2;sin(x)=(e^ix-e^-ix)/2i. Квазимн-ны м-но складывать, умножать, вычитать, но !не делить! Результат деления будет функцией, но не квазимногочленом. Производная от квазимн-на будет квазимногочленом. Если рассматривать хар корни, соотв (2) и выпис их кратности k₁,...,k_s; y=e^[1]xp₁(x)+e^[2]xp₂(x)+...+e^[s]xp_s(x) (4). Общ реш (2) – квазимн-н. deg(p_j(x))=k_j.

Опр: Если в (3) 1,...,k попарноразличны, то их число наз-ся порядком квазимн-на.

Теорема: ф-и вида e^[j]x, j=1,...,s; r=0,1,...,k_j-1 образует фунд сист реш-ий.

Д-во: Пусть у (3), 1,...,n – попарно-различны(k-порядок многочлена). Тогда f(x)0 <=> p_j(x)=0, j=1..k (5). Проведём доказательство ММИ:

1)k=1;f(x)=e^[1]xp₁(x)0

2)Пусть многочлен вида (3)=0. Разделим (3) на e^[k]x: e^{([1]-[k])x}p₁(x)+e^{([2]-[k])x}p₂(x)+...+p_k=0. Пусть r_k-степень многочлена. Если продифференцировать многочлен r_k-раз, то ничего не останется. P^r[k]+1((j=1..k-1)e^{([j]-[k])x}p_j(x)+p_k(x))=0. Можно примеить формулу смещения: (j=1..k-1)e^{([j]-[k])x}p_j(x)*(p+_j-_k)^r[k+1]=0. Получили квазимн-н порядка k-1. e^{([1]-[k])x}g₁(x)+...+e^{([k-1]-[k])x}g_k-1(x)0; g_j(x)p_j(x)*(p-_j-_k)^r[k+1]; j=1..k-1 => g_j(x)0. Если при p=0 получ 0, то дифференциальный оператор сохраняет степень многочлена. p_j(x)0, j=1..k-1;=> (5) – д-но

Тхеоремена доказякана

2:)Правило нахождения частного решения в нерезонансном случае

Пусть L()0. (7). Этот случай называется нерезонансным. Частное решение ур-я (1) запис в след виде: y=e^xg(x). deg(g)=deg(p) (8). Теория утверждает, что эта система всегда имеет единственное решение => коэффициенты g(x) определяются однозначно.

Д-во: L(p)y=e^xp(x). Учитывая (8), получаем: L(p){e^xg(x)}=e^xp(x). Применим к лев части ф-лу смещения: e^xL(p+)g(x)=e^xp(x). L(p+)g(x)=p(x). L()0

3:)Правило нахождения частного решения в резонансном случае.

Мы решаем (1) c правой частью вида (6), но снимая ограничения (7). Этот случай наз-ся резонансным. L()=0 (9). k-кратность , как корня хар ур-я. y=e^xx^kg(x) (10). Deg(g)=Deg(p). (10) частное решение. Теория утверждает, что нахождение g(x) имеет единственное решение.

Д-во: L(p)y=e^xp(x); L(p){e^xx^kg(x)}=e^xp(x). Применим ф-лу смещения: e^xL(p+){x^kg(x)}=e^xp(x); L(p+){x^kg(x)}=p(x). Нужно найти g(x), удовл последн ур-ю. Т.к. -корень хар ур-я, то м-но записать в след виде: L(p)=M(p)*(p-)^k; - корень, кратности k. M()0. M(p+)p^k{x^kg(x)}=p(x). N(p)M(p+). N(p)p^k{x^kg(x)}=p(x). Пусть p^k{x^kg(x)}=h(x). Получ: N(p)h(x)=p(x). h -  и однозначно находится по p(x). Проверим, что N(0)=M()0. Н-но по h(x) найти g(x). p^k{x^kg(x)}=h(x). g(x)=(j=0..n)g_jx^j; h(x)=(j=0..r)h_jx^j; (j=0..r)g_jx^j+k=(j=0..r)g_j(k+j)...(j+1)x^j=(j=0..r)h_jx^j; g_j=h_j/(k+j)*...*(j+1); j=0..r.

Утв: M(p)=b₀p^m+b₁p^m-1+...+b_m; b_m0.

Д-во: p(x) – вып-ся: M(p){g(x)}=p(x) (12). Уравнение имеет единственное решение, deg(g)=deg(p). Усл b_m0M(0)0; p_rx^r+...=p(x);g_rx^r+...=g(x). M(p){g(x)}=g_rM(p)x^r+...=g_rb_mx^r+...=p_rx^r. Т.о. g­=p_r/b_m.

10. Линейные неодн ДУ n-го порядка с перем коэф.

1)Теорема я и ед-ти решения нач задачи

2)Теорема об общем решении

3)Метод Лагранжа вариации произв пост

4)Ф-я Коши и её св-ва

1:)Теорема я и ед-ти решения нач задачи

y⁽ⁿ⁾+a₁(x)y^(n-1)+...+a_n(x)y=f(x) a<x<b (1) – общий вид

a₁(x),...,a_n(x) – коэф ур-я (непр на (а;в)). f(x) – непр на (а;в) – своб член.

f(x)0(тождественно). y(x0)=y0;y’(x0)=y0’;...;y^(n-1)(x0)=y0^(n-1) (2) x0(a;b). y0;y0’;...;y0^(n-1)-заданные числа. Задача нахождения решения (1) удовл усл (2) наз начальной задачей, а (2) – начальным условием. Условий ровно столько, каков порядок уравнения. Выпишем однородное уравнение, соотв ур-ю (1):y⁽ⁿ⁾+a₁(x)y^(n-1)+...+a_n(x)y=0 (3). Межу (1) и (3) ет простая связь: 1)если y(x) решение (1), а U(x) – решение соотв (3), то их  явл реш-ем (1); 2)если y(x) и z(x) – оба решения (1), тогда y(x)-z(x) – решение (3).

Д-во:

y⁽ⁿ⁾+a₁(x)y^(n-1)+...+a_n(x)y=f(x); y(x) – решение уравнения (1); u⁽ⁿ⁾+a₁(x)u^(n-1)+...+a_n(x)u=0. U(x) – решение (3). Покаж, что (y(x)+U(x))⁽ⁿ⁾+a₁(x)(u(x)+y(x))^(n-1)+...+a_n(x)(u+y)=f(x)

y⁽ⁿ⁾+u⁽ⁿ⁾+...+a_n(x)y+a_n(x)u(x)=f(x)+0=f(x).

ч.т.д.

Теорема: if коэф (1) – непрерывны, то решение с нач зад (1) – (2) всегда ют, единственны, и можно считать опр на всём (a;b). Эту теорему называют нелокольной теоремой  и единств реш нач зад.

Связь между ур-ми n-го порядка и системой из n-уравнений 1-го порядка: возьмём уравнение 2-го порядка с непр коэф: y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x). y1(x)=y(x);y2(x)=y’(x); y1’(x)=y’(x)=y2(x); y2’(x)=y’’(x)=f(x)-p(x)y(x)-q(x)y=f(x)-p(x)y2(x)-q(x)y1(x).

Cистема:

y1’=y2;

y2’=-q(x)y1-p(x)y2+f(x)

2)Теорема об общем решении

Пусть y1(x),...,yn(x) (4) – фунд сист решений однор ур-я (3), а z(x) – какое – либо частное решение неодн ур-я (1) имеет след вид: y=c1y1(x)+...+cnyn(x)+z(x) (5), где с1,...,cn – произв пост.

Д-во: Докажем, что (5) всегда даёт решение (1) при c1,...,cn. Вся первая часть (5) – решение (3). Добавл к нему частн реш z(x), получ реш неодн (1). Покаж, что  решение неодн ур-я (1) м.б. записано в виде (5) при нек пост c1,...,cn.

If y(x) – частн решение (1), то y(x)–z(x) – решение однор ур-я (3). По теореме об общем решении в (3) мы можем указать такие c1,...,cn – что y(x)–z(x)=c1y1(x)+...+c_ny_n(x). Перенося z – вправо, получ (5). Теорема доказана.

Общее решение однородного уравнения есть  общ решения соотв однор ур-я, и какого – либо частн решениия неодн ур-я.

3:)Метод Лагранжа вариации произв пост

Лагранж предложил искать частные решения в виде (5) без z(x), только константы считать ф-ми: y=c1(xz)y1(x)+…+cn(x)yn(x) (6). Если c1,….,cn выбирать так, чтобы вып-сь след усл:

Система: (7)

с1’(x)y(x)+…+cn’(x)yn(x)=0;

……

c1’(x)y^(n-2)(x)+…+cn’(x)y^(n-2)_n(x)=0

c1’(x)y^(n-1)(x)+…+cn’(x)y^(n-1)_n(x)=f(x)

if c1(x),..,cn(x) – удовл усл (7), то (6) даёт решение (1).

Д-во: В этой системе неизв явл c1’,…,cn’

Матрицей (7) явл W(x)<>0(сост матр из игриков) => это система имеет единственное решение. Проверим, что (6) при вып (7) даёт решение (1).

Система:

y(x)=c1(x)y1(x)+…+cn(x)yn(x);

y’(x)=c1(x)y1’(x)+…+cn(x)yn’(x)

….

y^(n-1)(x)=c1(x)y1^(n-1)(x)+…+cn(x)y^(n-2)_n(x)

y⁽ⁿ⁾(x)=f(x)+c1(x)y1⁽ⁿ⁾(x)+…+cn(x)y⁽ⁿ⁾_n(x)

Умножим соответственно на an(x),…,a1(x),1 и сложим: Введём обозначение: (9) L{y(x)}y⁽ⁿ⁾(x)+a1(x)y^(n-1)+…+an(x)y(x) – лин диффер оператор

L{y(x)}(=)f(x)+c1(x)L{y1(x)}+…+cn(x)L{yn(x)}, т.к. y1(x),…,yn(x) – обр фунд систему, то (=)f(x) (10)~(1)

4:)Ф-я Коши и её св-ва

Решим систему (7) по правилу Крамера.

c_i(x)=(W_i(x)/W(x))f(x) (11), i=1..n; W_i – алгебрарическое дополнение к эл-ту n-ой строки стоящ в i-м столбце. c_i(x)= c_i+­(x0..x)(W_i(s)/W(s))f(s)ds, i=1,…,n (12). Подставим в (6):

y=(i=1..n)c_iy_i(x)+(i=1..n)((x0..x)(W_i(s)/W(s))f(s)ds)y_i(x)=(i=1..n)c_iy_i(x)+(x0..x)(i=1..n)(W_i(s)/W(s)f(s))y(x)ds) (13)

K(x)=(i=1..n)(y(x)W_i(s))/W(s) (14); x,s(a;b)

y=(i=1..n)c_iy_i(x)+(x0..x)K(x,s)f(s)ds (15) – интегральный оператор

Лекция №7

1.Определение  решения.

Предп. что рассматр. нач. задача вида (1)-(2) у=f(x,у)(1) у(х­_0­) =у₀(2) f(x,у) – непр. по совокупн. решенных предполог., что f(x,у) рассматр. на прямоугольнике D={(х,у): |х-х₀|<=а , |у-у_о|<=б} M=maх|f(x,у)| удовл. условию Лишица по второй переменной | f(x,у) –f(x,z) |<=L|y-z| (4). При вып. всех этих предпол. нач. зад. (1)-(2) имеет единств. реш-е опр. на отр-ке | х-х₀|<=h; h=min{а,б/ М } (5) П. у(х)- кусочно диф-ма фун-я и удовл. след. н-ву: | у(х)-f(x,у(х)) | <=∆ f(x) (6) у(х₀)=у₀ (7)

Кусочная диф-мость ф-ции означает, что весь пром-к, на котор. ф-я опред. можно разбить на части в котор. ф-я диф-ма в точках разбиения  одностор производные. |у_{+ -}-f(x,у(х))|<=∆ f(x)

если известно что, ∆ f(x) <=, то у(х) наз.  решением.

Введем в рассмотрен еще одну ф-ю Z(x) по правилам: |Z(x)-g(x,z(x))|<=∆g(x) (8)

Z(x₀)=Z₀ (9) Предп. что g(x) непр. в прямоуг. D и кусочно диф-ма предполаг. далее, что | f(x,у)-g(x,y)|<= (10)

Возн. задача: |у(х)-z(x)|<=? Запишем мн-во (6) иначе: у(х)= f(x,у(х))+(х), где |(x)<= f(x)| В этом случ. у- есть реш-е диф. ур-я. (х)- кусочно диф-ая ф-я (и кусочно непр.) Для Z(x) м-нo зап-ть анал. рав-ва Z(x)=g(x,z(x))+(x), |(x)|<=g(x)

В этом случае. z- реш. диф. ур-я (х)- кус. непр. и диф-ма.

Проинтегр. рав-ва у(х) и для z(х) у(х)=y₀+(x₀,x)∫{f(s,y(s))+(s)}ds (11)

z(x)=z₀+(x₀,x)∫{g(s,z(s))+(s)}ds (12)

вычтем. почленно из (11)-(12) и оценим разницу по иодулю:

у(х)-z(x)=y₀-z₀+(x₀,x)∫{f(s,y(s))+g(s,z(s))+(s)+(s)}ds (13)

|y(x)-z(x)|<=|y₀-z₀|+|∫{f(s,y(s))+g(s,z(s))+(s)+(s)}ds|<=|y₀-z₀|+(x₀,x){|f(s,y(s))-g(s,z(s))|+|(s)-(s)|ds

|f(s,y(s))-f(s,(z(s))|<=L|y(s)-z(s)| (14)

|f(s,z(s))-g(s,z(s))|<=

|y(x)-z(x)|<=|y₀-z₀|+(x₀,x)∫L|y(s)-z(s)|+++}ds

|(x)<=; |(x)|<=

П. |y(x)-z(x)|=u(x).Еогда посднее н-во м-но зап-ть в след. виде U(x)<=U(x₀)+(x₀,x)∫LU(s)+++}ds (15)

Пользуясь леммой о лин. инт. нер-ах м-но вып-ть оценку ф-ции U(x) если ф-ции у(х) и z(x) это точные реш-я, то ,, =0

|y(x)-z(x)|<=L|x-x₀|; |y₀-z₀|+((++)/L)(e^L|x-x0|-1)

2 Th единственности и оценка разности решений

|y(x)-z(x)|<= e^L|x-x0||y₀-z₀|, y₀=z₀ (17)

y(x)≡ z(x)

Прич. если нач. усл. совп. то совп. и сами ф-ции.

3 Зависимость от правой части

если у(х) и z(x) это точное реш-е но разных задач, то в этом случае ==0, >0 и м-но оценить разницу между у(х) и z(x)

|y(x)-z(x)|<= e^L|x-x0||y₀-z₀|+(/L)( e^L|x-x0|-1) (18)

Н-во (18) зад. зависимость от прав. частей.

4 Оценка разности между  решениями

Если y(x) и z(x) это соотв.  и  реш-я нач. задачи (1)-(2) , то это знач. что гач. усл. совпадают у₀=z₀, =0, И оценка разности решний приобретает такой вид:

|y(x)-z(x)|<= e^L|x-x0||y₀-z₀|+(/L)( e^L|x-x0|-1)=((+ )/L)( e^L|x-x0|-1) (19)

если у(х) это точн. реш-е при этом =0 и п. z(x) это  реш-е |y(x)-z(x)|<= (/L)( e^L|x-x0|-1) (20)

5 Метод ломаных Эйлера

Метод ломаных- это метод численного интегрир. нач-ой задачи. Для этого весь пр-к опред-я ф-ии по х разб. на части х₀ <х₁<…<x_n (21) Это разб. наз. сеткой, а x₀…x_n –узлами сетки. Задача закл. в опр-ии значении реш-я ф-ции y(x_i)=y_i

Разбиение обычно опр-ся равно-мерно: x_i+1-x_i=h, h=(x_n-x₀)/n

Идея метода Эйлера состоит в след. :

(y(x_i+1)-y(x_i))/(x_i+1-x_i)y(x)= f(x,у(x_i))

(y(x_i+1)-y(x_i))/(x_i+1-x_i) = f(x,у(x_i)) (22)

Тогда значение кажд. след. точки можно переписать через значение пред. точки :

y(x_i+1)=y(x_i)+f(x_i,y(x_i))(x_i+1-x_i) – условие Эйлера

y(x₀)=y₀ ; y(x₁)=y(x₀)+f(x₀,y­­(x₀))(x₁-x₀)

y(x_n)=y(x_n-1)+f(x_n-1,y­­(x_n-1))(x_n-x_n-1)

Если имеет место равн. разб. отр-ка то послдняя формула имеет вид: y_i+1=y_i+hf(x_i,y_r) (24) r=0,1…., n-1

Сеточные ф-ии ставят в соответств. нек. ломанную, это кусочно непр. ф-я

y_r(x)=y_r+(x-x_i)f(x_i,у_i), x_i<=x<=x_i+1 (25)

И спр-во утв-е : если >0 то в силу непр. ф-ции f(x,у) :

|f(x,у)- f(x,z)|<= если |x-s|<=, |y-z|<=,  ()>0 (непр. по совок. переменных) M=maх|f(x,у)|

Д-во

Из (25) вытекает |y_(x)-f(x,у_(x))| =|f(x_i,у_i)-f(x_i,у_i)+(x-x_i)f(x_i,у_i))|<= (26)

|x-x_i|<=; |x-x_i||f(x_i,у_i)|<=M

При достаточно малом шаге ломаная Эйлера становится  решением

6 Оценка погрешности метода ломаных Эйлера

Предп. что f(x,у) удовл. усл. Лищица по кажд. переменной

т.е. разница : |f(x,у) –f(s,z)|<=k|x-s|+L|y-z| (27)

Вэтом случае |y(x)-f(x,у_(x))|=|f(x_i,y_i)-f(x,y_i+(x-x_i)f(x_i,у_i)|<=

( в кач-ве у(х) выбир. отн. Эйлера )

<= k|x-x_i|+|x-x_i|LM<=(k+) (28)

Восп. соотн. (20)

Пусть сетка будет равномерной

|y(x)-y_(x)|<=(((k+ML))/h)(e^L|x-x0|-1) (29)

|y(x)-y_(x)|<= h(M+k/h)(e^L|x-x0|-1) (30)

Оценка (30) наз-ся оценкой первого пор-ка точности. Задаваясь опред. точностью и зная числа k,M,L можно определить h таким обр. чтобы посл. произв. было <. Тогда соотв. и разн. между ф-ей

|y(x)-y_(x)|< (32)