teorver / Вопросы

15. Dx – квадрат среднего квадр. отклонения. Дх=σ²; Дх=М(х-а)²; Дх=∑_i=1ⁿ(xi-a)²pi; Dx=∫_-∞^+∞(x-a)²f(x)dx; Dx=M(x-a)²=M(x²-2xa+a²)=Mx²-2a²+a²=Mx²-(Mx)². отметим основные с-ва:1)Дс=0;Дх=σ²; 2) Дсх=с²Дх; 3) Если х y независимые случ. величины, то дисперсия их суммы = сумме их дисперсий; Д(x+y)=Dx+Dy; D(x+y)=M(x+y)²-(M(x+y))²=Mx²+2MxMy+My²-M²x-2MxMy-M²y=Mx²-M²x+My²-M²y=Dx+Dy; 4) Математическое ожидание квадрата отклонения случ. величины от центра распределения всегда меньше матем. ожидания квадрата отклонения сл. величины от любой точки. М(х-а)²<М(х-с)² ; Замечание (2) и (3)=>Дисперсия линейной комбинации случ. величины = Д(С1х1+С2х2+…+Сnxn)=с1²Дх1+С2²Дх2+…+Сn²Dxn)(x1….xn - независимые случ. величины).

16. Т. Если все значен. случ. величины распределен. на пром. [α: β] то и мат. ожидание этой случ. величины наход. на том же самом пром. Д-во: хє[α: β]; Р(α<x<β)=∫_α^β f(x)dx=1 т.к. α<x<β=U-достоверн. событие при этих условиях проведем оценку интеграла ∫_α^β f(x)dx; ∫_α^β αf(x)dx<∫_α^β xf(x)dx<∫_α^β βf(x)dx=>α∫_α^β f(x)dx<∫_α^β xf(x)dx<β∫_α^β f(x)dx; α<MX<β; Доказан. теорема позволяет сказать о отм что мат. ожидание может служить в качестве характеристики располож. случ. величины и в связи с этим МХ чаще всего назыв. центром распределения случ. величины и обозначают буквой а. А центр – это точка где группируются возможн. значения случ. величины. Вводят еще 2 характеристики: мода и медиана М1Ме. Модой распределения дискретн. случ. величины Х будем называть наиболее вероятн. значение этой дискретн. величины. Для непрерывн. случ. велечины мода распределения называется такое значение случ. величины, при котором плотность распределения достиг. своего мах.. Определен. медианыМедиана, как характеристика распред. вводится только для непрерывной случ. величины и по определению медианой назыв. такое зн. случ. величины, для которого P(X>Me)=P(X<Me). Для упращения этого рав-ва заметим: X>Me; X≤Me – 2 противоположных события P(X>Me)=1-P(X≤Me)=1-P(X<Me); и тогда в силу последн. рав-ва: 1-P(X<ME)=P(X<ME)=> P(X<Me)=1/2, т.к. P(X<Me)=F(Me)(по определению) Me такое значение случ. величины, при котором F(Me)=1/2, но с другой стороны F(Me)=∫_-∞^Mef(x)dx=1/2 то Me-это такое значение случ. величины при котором площадь над кривой распределения делится попалам.

17. Биномиальный закон возник при след. условиях: х- случ. велич. число наступлений события А в n-независимых испытаниях, в каждом из которых соб. А наступает с постоян. вероятностью р. Тогда возможн. значения случ. величины Х – есть всевозможн. числа от 0 до n. А вероятность каждого значения случ. величины, как вероятн. события Х=m может быть вычислена по ф-ле Бернулли (C_n^m*p^m*q^n-m). Тогда говорят что случ. величина распределена по биномиальному закону если ее значения меняются от 0 до n, а вероятность значений вычисляется по ф-ле Бернулли. т.е.Х(0 внизу Р0,n; 1внизу P1,n;2 внизуP2,n…..m внизу Pm,n…..n внизу Pn,n). Согласно определения МХ=∑_i=1^∞xi pi и для данного закона распределения МХ=∑_m=0ⁿm Pm,n=∑_m=0ⁿmC_n^m p^mq^n-m (1) Для отыскания воспользуемся ф-ой Бинома-Ньютона: (p+q)ⁿ=∑_m=0^n-mmC_n^m p^mq^n-m (2); Продифференцируем: n(p+q)^n-1=∑_m=0ⁿmC_n^m mp^m-1q^n-m (3); Умножим (3) на р: n(p+q)р^n-1=∑_m=0ⁿmC_n^mp^mq^n+m; p+q=1; np=∑_m=0ⁿmC_n^mp^mq^n+m (4) Cумма справа в (1) и (4) одна и та же => (1) (4)=>МХ=np Согласно определения Дх=∑_i=1xi²pi-(Mx)² и тогда в нашем случаи Дх=∑_m=0ⁿm²Pm,n-(Mx)²; Dx=∑_m=0ⁿm²-C_n^mp^mq^n-m-n²p² (5); Для отыскания суммы в правой части продиф (2) и * на р и результат умножения продиф. еще раз: n(p+q)^n-1+np(n-1)(p+q)^n-2=∑_m=0ⁿmC_n^mp^m-1q^n-m; np(p+q)^n-1+np²(n-1)(p+q)^n-2=∑_m=0ⁿm²-C_n^mp^mq^n-m (6); p+q=1; np=np²(n-1)= ∑_m=0ⁿm²-C_n^mp^mq^n-m (7); Получим: Дх=np+n²p²-n²p²-np² =>Dx=np-np²=np(1-p)=npq; σ= корень из (npq)

18. Пусть Х непрерывная случ. величина и говорят что непр. случ. величина распределена равномерно на отрезке (а;в), если плотность распределения на этом отрезке постоянна, а вне этого отрезка = 0=> Что случ величина распредел. равномерно если: f(x)-{0- x<a внизу C- a≤x≤b внизу ?0- x>b. Согласно свойств полная площадь под кривой распределения =1. Тогда для заданного распределения 1=с(в-а); с=1/в-а; Х – распределена равномерно (а;в) если f(x)={ 0- x<a внизу 1/b-a- a<x≤b внизу 0- x>b; Найдем ф-ию распределения случ. величины равномерн. распределен. на (а;в) 1) х<a; f(x)=∫_-∞^xf(x)dx=0; 2)a<x<b; f(x)=∫_-∞^xf(x)dx=)=∫_-∞^af(x)dx+)=∫_a^xf(x)dx=1/b-a=∫_a^xdx=x-a/b-a; 3) x>b; f(x)= ∫_-∞^xf(x)dx= ∫_-∞^b+ ∫_x^b+ ∫_b^x= ∫_a^bf(x)dx=1/b-a∫_a^bdx=b-a/b-a=1; f(x)={0- x<a внизу x-a/b-a- a<x≤b внизу 1- x>b; Mx=∫_-∞^+∞xf(x)dx; Mx=∫_a^bx 1/b-adx=1/b-a x²/2|_a^b=b²-a²/2(b-a)=a+b/2; Dx=∫_a^bx²f(x)dx-(a+b)²/4; Dx=1/b-a x²/3|_a^b- (a+b)²/4=b³-a³/b-a*1/3- (a+b)²/4=(b²+ab+a²)/3-a²+2ab+b²/4=b²-2ab+a²/12=(b-a)²/12; σ=|b-a|/2 корень из 3.

19. Говорят что непрерывная случ. величина распределена по показательному закону если плотность распределения этой случ. величины задается в виде: f(x)={0-x<0 внизу λe^-λx- x≥0; 1)f(x)= ∫_-∞^xf(x)dx=0 x<0; 2) x≥0; f(x)= ∫_-∞^xf(x)dx=∫_-∞⁰f(x)dx+∫₀^xf(x)dx=∫₀^xxe^-λxdx=∫₀^xe^-λxd(-λx)=-e^-λx|₀^x=-e^-λx+1=1-e^-λx; f(x)={0- x<0 внизу 1-e^-λx - х≥; Mx=∫₀^+∞λe^-λx dx= - ∫₀^+∞xe^-λx d(-λx)=|U=x – dU=dx; внизу V=∫e^-λxd(-λx)= e^-λx| = x/e^λx|₀^+∞+∫₀^+∞ e^-λxdx=∫₀^+∞ e^-λxdx=-1/λe^-λx|₀^+∞= - 1/λe^λx|₀^+∞=1/λ; Mx=1/λ; Dx=∫₀^+∞x²f(Mdx-1/λ²=∫₀^+∞x²λe^-λxdx-1/λ²=λ∫₀^+∞x²e^-λxdx-1/λ²=1/λ²; σ=1/λ

21. Нормальный закон распределения задается ф-ие вида f(x)=1/σ (корень из 2π)*e^{-(x-a)квадрат/2 σ2}; Исследуем вид кривой распределения случ. величины по нормальному закону. Для чего частично исследуем плотность распределения f(x): 1)хє(-∞;+∞); 2) lim_x→∞f(x)= lim1/σ(корень из 2π)*e^{-(x-a)квадрат/2 σ2}=1/σ (корень из 2π)*lim1/ e^{-(x-a)квадрат/2 σ2}=0; 3)f’(x)= 1/σ (корень из 2π)*e^{-(x-a)квадрат/2 σ2}*(-2(x-a)/2σ²=1/σ³(корень из 2π)*(x-a)*e^{-(x-a)квадрат/2 σ2}; f’(x)=0; x-a=0; а – стационарная точка; ↑(-∞;а); ↓(а;+∞); Умах(а)=1/σ(корень из 2π); Выясним смысл параметра а и σ, вход в выражение для плотности распределения. Покажем что а=Мх; Мх=∫_-∞^+∞xf(x)dx=1/σ(корень из 2π) ∫_-∞^+∞x* e^{-(x-a)квадрат/2 σ2}dx=|(x-a)квадрат/2 σ2=t; x=a+tσ корень из 2; внизу dx=σ корень из 2dt; t0=-∞;T=+∞|=σ корень из 2/σ корень из 2π∫_-∞^+∞(a+tσ корень из 2)e^-t2 dt=1/ корень из π∫_-∞^+∞(a+tσ корень из 2)e^-t2dt=a/корень из π∫_-∞^+∞ e-t²dt + σ корень из 2/корень из π∫_-∞^+∞t e^-t2dt=a/корень из π∫_-∞^+∞e^-t2dt - σ корень из 2/2 корень из π∫_-∞^+∞e^-t2d(-t²)= a/корень из π∫_-∞^+∞e^-t2dt - σ корень из 2/(2 корень из π*e^t2)|_-∞^+∞= a/корень из π∫_-∞^+∞e^-t2dt т.к. ∫_-∞^+∞e^-t2dt – Фурье-Пуассона = корень из π =>Мх= a/корень из π* корень из π=а; Аналогично рассуждая можно показать что σ²- является Дх случ. величины.

22. Моменты случ. свеличин: 1)начальный Ls; 2)Центральный Ms(s- порядок моента). Опред. начальным моментом порядка S дискретн. случ. величины назыв. Ls=∑_i=1ⁿxipi (1)- Если Х-непрерывно. Ls=∫_-∞^+∞х^sf(x)dx; f(x) (2)- плотность случ. величины при условии(2) сходится. Если В (1) и (2) S=1, то нер. начальн. момент. = L1=∑_i=1ⁿxipi=МХ ;Ls=∫_-∞^+∞хf(x)dx=Мх Нами доказано, что первый начальный момент – это Математическое ожидание случ. величины. Пользуясь законно МХ мозно определ. начальн. моменты для дискретн. случ. непрерывн. величин и свести в одно определение: Начальные моменты порядка S случ. величины Х назыв. Мх s- той степени случ. величины. . Ls=МХ^S 2) Для введения понятия центральный момент порядка S мы введем предворительно понятие центральной случ. величины. . Пусть случ. величина Х имеет центаральное распределение Мх=Q, тогда отклонение случ. величины Х от центра распредел. (х-Q) – называется центрированной Х- моменты центральных случ. величин называется центральными пределами. Определение. Центральные моменты порядка S Мх s- той степени центрированной случ. величины. Мs=MX^S; X=x-Q; Ms=M(x-Q)^s тогда если Х – дискретн. случ. величина, то Ms==∑_i=1ⁿ (xi-Q)^spi (3)если Х –непрерывная то Ms=∫_-∞^+∞(х-Q)^sf(x)dx (4). покажим в рав-ве 3 и 4 S=2 то: M2=∫_-∞^+∞(х-Q)²f(x)dx=Dx; M2==∑_i=1ⁿ (xi-Q)²pi=Dx; нами доказано, что центр. момент 2-го порядка есть дисперсия (Дх). Из всех моментов практике чаще всего применяется первый начальный момент Мх и второй центральный момент ДХ Однако кроме указанных моментов на практике применяется МS где S>2. Третий центральный момент употребляется для характерн. скаменности. Скаменность кр. распределения характер. коэфиц. ассимитрии и вводистся след. образом: т.к. М3 имеет размерность куба случ. величины, то для получения безразмерн. характеристики 3-ий центральный момент делят на куб среднего квадратического отклонения. М3/σ³=Sk- коэффициент оссиметрии Мз|| Х по закону распределения=0 значит Sk=0. М4- служит для характеристики крутости кривой распределения, т.е.плоской вершинности или остро-вершинности по отношению к паралельн У вводится коэффициент след. образом М4 – имеет размерность и 4-ой степени случ. величины для получения делят на 4-ю степень среднего квадрат. отклонения-3; М4/σ⁴-3=Е –эксцесс отнимают 3 т.к. М4=3σ⁴.Кривые островершины Е>0 плосковершины E<0.

23. Х распределена по нормальн. закону (Q;σ) (M/Q; σ) дадим общую формулировку центральному моменту и случ. велич. распределен. по норм. закону. Ms=∫_-∞^+∞(х-Q)^sf(x)dx или в нашем случаи Мs=1/(σ(корень из 2π)) ∫_-∞^+∞(х-Q)^s e^{-(x-a)S/2 σ2}dx=|Q-x/σ=t; x=Q+t σ(корень из 2) Внизу: dx= σ(корень из 2)dt; t0=-∞; T=+∞|=1/(σ(корень из 2π)) ∫_-∞^+∞t^s σ^s(корень из 2)^s*e^{-tквадрат} σ(корень из 2)dt= (σ^s(корень из 2)^s/σ(корень из 2π)) *σ(корень из 2) ∫_-∞^+∞t^s e^{-tквадрат}= σ^s(корень из 2)^s/корень из π∫_-∞^+∞t^s e^{-tквадрат}; Ms= σ^s(корень из 2)^s/корень из π∫_-∞^+∞t^s e^{-tквадрат} (1) Ms= σ^s(корень из 2)^s/корень из π∫_-∞^+∞t^s e^{-tквадрат}=|u=t^s-1; du=(s-1)=t^s-2dt; внизу V=∫_-∞^+∞t^s e^{-tквадрат}=-1/2∫_-∞^+∞e^{-tквадрат} d(-t²)=-1/2 e^{-tквадрат}|= σ^s(корень из 2)^s/корень из π(-t^s-1/2e^t2_|-∞^+∞+1/2(s-1) |_-∞^+∞t^s-2e^-t2dt)= σ^s(корень из 2)^s (s-1)/2корень из π ∫_-∞^+∞t^s-2 e^{-tквадрат} (2) Ms= σ^s(корень из 2)^s (s-1)/2корень из π ∫_-∞^+∞t^s-2 e^{-tквадрат} Найдем M_s-2= σ^s-2(корень из 2)^s-2 /корень из π ∫_-∞^+∞t^s-2 e^{-tквадрат}dt (3); (2)/(3); Ms/M_s-2= σ^s (корень из 2)^s(s-1)/(2корень из π)* (корень из π)/ σ^s-2 (корень из 2)^s-2= σ²(S-1) => Ms= σ²(S-1)*M_s-2 (4); Нами получено простое рекуррентное соотношение связыв. высшие центр моменты высших ч/з низшие Заметим если S=1 М=0 все центральные моменты нечетн. порядка=0, Мs=0 если S2k+1 M3=0 Sk=M3/σ3 – коэффициент ассимтрии по закону. Найдем общ. формулу нетр. M0=1 т.к. M0=MX⁰=1; M2= σ2*M₀ =>M2= σ2; M4= σ²*3M₂=1*3* σ⁴; M6= σ2*5M4=1*2*5* σ⁶;M8= σ²*7M6=1*3*5*7 σ⁸… Ms= σ^s(s-1)!! если S= 2k-2 (s-1)!!

24. Пусть непрерывная случ. величина рспределена по нормальному закону с матем. ожиданием а и средн. пре. отклонения σ N(a; σ). найдем вероятн. попадания этой случ. величины на пром. (α;β). Согласно свойств ф-ии распределения Р(α<x<β)=f(β)-f(α)=f(x)|_α^β выразим ф-ию распределения случ. велич. Х распредел. по нормальн. закону с F(x)=1/σ(корень из 2π)* e^{-(x-a)квадрат/2 σ2} согласно свойств. плотн. распределния f(x)=∫_-∞^xf(x)dx, тогда f(x)= 1/σ(корень из 2π) ∫_-∞^x e^{-(x-a)квадрат/2σ2}dx=|(x-a)/σ=t; x=a+tσ; внизу dx=σdx; t0=-∞; T=x-a/σ| = F(x)= 1/σ(корень из 2π) ∫_-∞^(x-a)/σ e^{-tквадрат/2} σdt=>F(x)= 1/(корень из 2π) ∫_-∞^(x-a)/σ e^{-tквадрат/2}dt (1). Т.к. интеграл в (1) не берется в элементарных функциях, выразим в спец. ф-иях ч/з ф-ию Лапласа которая опред (2) Ф(х)=1/(корень из 2π) ∫_-∞^xe^{-tквадрат/2}dt (2). Заметим, что ф-ия Лапласа есть ф-ия распределения нормально распределенной случ. величины параметром N(0;1) – нормальная ф-ия распределения. Из сравню интегралов (1) и (2): f(x)=Ф((х-а)./σ), тогда Р(α<x<β)= f(x)|_α^β= Ф((х-а)./σ|_α^β => Р(α<x<β)= Ф((β -а)./σ)- Ф((α -а)./σ),- Формула попадания случ. величины на заданный промежуток. Пусть случ. Х N(Q;σ) и пусть крив. распредел. имеет вид указанный на рисунке. От a в право и лево отложим отрезки длины σ и найдем вероятн. попадания случ. величины на кждый из отрезков, т.к. кривая симметрична относительно оси (х;Q) то начнем искать вероятн. попадания только справа от т. Q Р(Q<x<Q+σ)=Ф((Q+σ-Q)/σ-Ф(Q-σ)=Ф(1)-Ф(0)=0,3413=0,34. Р(Q+ 6 <x<Q+2σ)=Ф((Q+2σ-Q)/σ-Ф(Q+σ-Q/σ)=Ф(2)-Ф(1)=0,4772-0,3413=0,1359=0,14; Р(Q+ 26 <x<Q+3σ)= Ф(3)-Ф(2)=0,4986-0,4772=0,1214=0,02; В силу того что соб. А Є(Q;Q+6) BЄ(Q+6;Q+26);CЄ(Q+26;Q+36) А,В,С – несовместные – вер. суммы= сумме вероятностей. Р(Q<x<Q+36)=0,5 В силу симметричности кривой расп. вероятн. попадания случ. величин. Р(Q-36<x<Q)=0,5 Тогда из эитих равенств следует Р(Q-36<x<Q+36)=1. (Правило 3-х сигма). Если нет возможности определить на котором наход. возможн. значения случ. величин, то сопределен. степенью точности согл. правилу з-х сигма оценивается по формуле Q+36;

25. Одной из задач т.в. является изучение закономерн. происход. с верочтн. сколь угодно близкими к 1 . Такое событие прогнозируется при этом большую роль играют закономерности возникающие в результате наложения неогран. числа независимых или слабо зависимых случ. факторов. Под законом больших чисел т.в. понимается вся совокупность предлож. устанавл. с вероятн. сколь угодно близкой к единице, что наступит некоторое интересующее нас событие, зависящее от возраст. числа случ. факторов, каждый из которых на данное событие играют не знач. роль. З теоремы: 1) Т. Бернулли: Если в каждом из n- независимых испытаний соб. А наступает с постоянной вероятн. р , то с вероятн. сколь угодно близкой к 1 , можно у4тверждать, что при неогран. возрастании числа испытаний относительн. частота сколь угодно мало отличается от вероятн. наступления события в отдельном испытании. Pn(|m/n-p|<ε)→1 при n→∞. пусть теперь вероятн. наступления события не постоянна, а меняется от опыта к опыту. P1,P2…Pn тогда среднеарифмет этих вероятностей назовем средней вероятностью P1+P2+….+Pn/n=P. 2) Т. Пуассона. Если вероятность наступления события меняется от опыта к опыту приним. значение от p1….Pn , то и вероятность с коль угодно близкая к 1, при неогран. возрастании числа испытаний, можно утверждать что относительная частота сколь угодно мало отличается от ее средней вероятности Р(|m/n-∑_i=1ⁿPi|<ε) )→1 при n→∞. 3) Т. Чебышева. Если x1…xn – независимые случ. величины, имеющие дисперсию не превышающии некоторого положит. числа и число которых может неогран. расти то с вероятн. сколь угодно близкой к 1, можно утверждать что при достаточно большом n cреднее арифмет. случ. величин. сколь угодно мало отличается от средн. орифмет. их матем. ожидания. P(|∑_i=1ⁿXi/n-∑_i=1ⁿMXi/n|< ε) )→1 при n→∞

26. Неравенство Чебышева дает возможность оценить вероятность отклонения случ. величины от центра распределения и только. Для любой случ. величины имеющ. конечную дисперсию и для любого ε>0 имеет место неравенство. P(|X-a|< ε)≥1-Dx/ ε²; a=Mx;Докажем выполнимость этого нер-ва и рассмотрим: х – дискретн. случ. величина. Для док. нерав-ва этом случаи мы будем исходить из выражения дисперсии: Дх=∑_i=1ⁿ(xi-a)² pi . Пусть ε – любое наперед заданное положительное число. Дх=∑_i=1ⁿ(xi-a)² pi=(х1-а)²р1+(х2-а)²р2+….+(xn-a)²pn - теперь в этой сумме отбросим те слог. для которых |Xi-a|< ε и тогда Дх≥∑_{|Xi-a|≥ ε}(xi-a)²Pi ;|Xi-a|≥ ε – означает, что суммирование распространяется только на те значения случ. величин для которых |Xi-a|≥ε; Заметим, что последнее неравенство еще более усилится если в каждом слогаемом (xi-a)² заменим на ε. Дх≥∑_{|Xi-a|≥ ε} ε ²Pi= ε²∑_{|Xi-a|≥ ε} Pi. В последнем неравенстве сумма Pi это есть сумма вероятностей тех значений случ. величины, которые отклоняются от ε по абсолютной величине не меньше чем на ε, а тогда по Т. сложения вер-тей это сумма есть вероятность того, что случ. величина примет одно из своих возможных значений. ∑_{|Xi-a|≥ ε} Pi= P(|X-a| ≥ε) => Дх= ε²Р(|X-a| ≥ε) =>Р(|X-a|≥ε)≤Дх/ε². Рассмотрим след. пару событий |x-a|≥ε и |x-a|<ε; Эти 2 соб противоположн. события ; вероятн. этих событий связыв. отношением: Р(|x-a|<ε)=1-Р(|x-a|≥ε) => Р(|x-a|<ε)=1-Дх/ε²

27. Пусть теперь Х – непрерывная случ. велич. Тогда если знач случ. величины наход на интервале α<x<β, то вероятность попадания на этот промежуток: = P(α<x<β)=∫_α^βf(x)dx и тогда P(|x-a|≥ε)= ∫_|x-a|≥ε f(x)dx; |x-a|≥ε – что интегрирование в последн. случаи распростр. на пром-ки (-∞;а-ε ) и (а+ε;+ ∞) => (х-а)²≥ε² =>1≤(х-а)²/ ε² => f(x)≤(х-а)²/ ε²*f(x), где f(x) – плотность распределения заданной случ. величины. Проинтегрируем ∫_|x-a|≥ε f(x)dx≤∫_|x-a|≥ε≤(х-а)²/ε²f(x)dx. т.к. в последнем интеграле под знаком интеграла стоит неотриц. ф-ия то величина этого интеграла еще более возрастает если расширить область интегрирования. P(|x-a|≥ε)= ∫_|x-a|≥ε f(x)dx≤∫_-∞^+∞(х-а)²/ε²f(x)dx => P(|x-a|≥ε)≤1/ε²∫_-∞^+∞(х-а)²f(x)dx=Dx/ε² и так нами доказано, что P(|x-a|≥ε)≥Dx/ε², а теперь переходим от |x-a|≥ε к |x-a|<ε , то P(|x-a|<ε) ≥1- Dx/ε²

28. пусть в каждом из n-независимых испытаниях соб. А наступает с пост. вероятностью р. Обозначим μn - случайная величина числа наступлений соб. А в этих испытаниях и ч/з μn/n – случ. величина числа относит. частот. наступления соб. А в этих испытаниях. Далее заметим что μn распределена по биномиальному закону и тогда матем. ожидание этой случ. величины = np, а тогда Мμn/n=1/n*Mμn=P и так нами доказано, что центром распределения относит. частоты в данных условиях явл. вероятн. наступления соб. в отдельном испытании, а тогда для оценки вероятности отклонения относит. частоты от центра распределения можно применять нер-во Чебышева: Дμn/n=1/n²Dμn=npq/n²=pq/n, тогда Р(|μn/n-P|<ε)≥1-Dx/ε²=1-pq/nε. А так как вероятность любого события не превышает 1, то последн. неравенство можно записать в форме 1- pq/nε≤Р(|μn/n-P|<ε) ≤1. Заметим что если n→∞, то pq/nε→0 и тогда 1- pq/nε→1 при n→∞ а это и доказывает, что (|μn/n-P|<ε) →1 при n→∞

29. Характеристической ф-ии случ. велечины Х обозначается gx(t)=Me^itx ;Me^itx- математ. ожидание. U- некоторая комплекс. случ. величина функцион. связанная с Х. Если известен Закон распределения Х(х1-р1….xn-pn) то характер. этой случ. величины может быть построен по ф-ле gx(t)=Me^itx=∑_k=1ⁿe^itxpk. Если Х , F(x) ; gx(t)= ∫_-∞^+∞e^itx f(x)dx. Если случ. велич. Х распределена по нормальному закону. Основные с-во характер. ф-ии 1) Если случ. величины х и у связаны соотношением у=ах, где а – неслучайный множитель, то их характер. ф-ии связаны: gy(t)=gx(at); gy(t)= Me^itx=Me^itxa=Me^i(ta)x=gx(at) 2) если x1…xn – независимые случ. величины и если у=∑_i=1ⁿxi, то характер. ф-ия случ. величины= произведении. характер. ф=Ий случ величин x1…xn. Д-во: gy(t)=Me^ity= Me^{it∑i=1 nxi} = M(∩_i=1ⁿe^{i t xi})=∩_i=1ⁿ Me^{i t x} =∩_i=1ⁿg_xi(t) Если случ. велич. x1…xn – независимы, то незав. и их характер. ф-ии и тогда матем ожидание произвед. этих ф-иий =произвед. их матем. ожиданий. Т. Если незав. случ. величина х1…. распределена по одному и тому же закону с одним и тем же матем. ожиданием, дисперсией то закон распределения их суммы в пределе приближается к нормальному.

30. пусть требуется исследовать какой-нибудь признак свойствен. большой группе однотипных объектов. Совокупные значения признаков всех N – объектов будем называть генеральной совокупностью. При этом подразумевается, что N достаточно велико и может неогран. стремится к бесконечности. В матем. статистике очень редко отслеж. все гениральн. совокупности т, к. это может быть связано и с физич. и матем. затратами. А поэтому для отслежив. генеральной совокупности прибегают к выборочному методу. сущность выборочного метода, что из генеральной совокупности объемом N , берется выборка объема n , которую называют выборочной совокупностью или просто выборкой и определяют основной характер. этой выборки которые принимаются в качестве приближенных значений генеральной совокупности. Отметим что выборка дает наиболее лучший результат о гениральной совокупности только в том случаи когда результат обследов. является независимым.

31. Пусть задана некоторая случ. величина, закон распределения которой не известен. Над случ. велич. Х проделываем несколько опытов для получения значения этой случ. И результаты заносятся в таблицу из 2-х строк: Причем в 1-ю строку- номер; 2-ю – получ. значения случ. величины. такую таблицу и называют статист. рядомСтат. ряд представляет собой одну из форм записи стат. материала и этот материал может быть подвержен дальнейшей обработки. Способ обработки – построения стат. ф-ии распределения.Стат ф-ей распределения назыавется закон изменения частоты события Х<x в данном статистическом материале. Обозначается: F*(x)=P*(X<x). Для построен. статист. ф-ии распределения при данном значениих-малое надо суммировать частоты случ. величин. и получ. результаты разделить на число проведенных опытов. Статистическая ф-ия распределения всегда является разрывной ф-ие в точке х явл. возможными значениями случ. величин. Согласно Т. Бернулли при неогран. ↑числа опытов относит. частота по вероятности → к наступлению события в отдельном испытании. А это значит что статист. ф-ия распределения при n→∞ → к подлинной ф-ии распределения. Статистический ряд можно характеризовать и геометрически. И для этого употребляется понятие полигон частот и полегон относительных частот. Полигон частот называется ломанная соединяющая точки (x1,n1)(x2,n2)….(xk,nk) в координатной плоскости. Полигоном относительных частот – ломанная с координатами (x1;n1/n);(x2,n2/n)…(xk,nk/n). При большом числе таблиц представл. результаты набл. в видестат. ряда не всегда удобно и поэтому чаще всего прибегают к статистической совокупности, для чего данный2 стат. ряд делят на группы и составл. таблицы в которых указывается группа и частота полученных результатов наблюдения в каждой группе. Заметим, что деление стат. ряда в стат. совокупность может быть произвольным(т.е. число групп может быть произвольным). Важно то что такое деление стат. ряда содержало как можно больше информации. Геометрическим изображением является гистограмма. Причем различают гистограмму частот и относительных частот. Для построения гистограммы частот достаточно по оси абсцисс откладывать сами интервалы, а затем на каждом интервалов построить прямоугольник высотой ni/n (длина интервала). Причем если суммировать площади всех прямоугол. должен получится относит. частота.

32. Для построения неизвестн. закона необходим большой стат. материал, которого чаще всего нет и чаще всего мы имеем ограничен. стат. материал. Однако даже огран. статист. материал может быть обработан для получения основн. характеристик этой случ. величины. На практике чаще всего бывает что закон распределения случ. величины известен и необходимо найти только некоторые параметры от которых этот закон зависит. А бывает что закон распределения вообще не интересует а необходимо знать только основ. характеристики. Вопрос об отыскании параметров от которых зависит закон распределения случ. величины, причем эти параметры должны быть получены на основании огран. стат. материала