ag / ag-2-[ш 2-1]

Переход от одной афф. с.к. к другой. Предп., что в пр-ве заданы 2е а.с.к. Oe₁e₂e₃ и O`f<sub>1</sub>f<sub>2</sub>f<sub>3</sub>. Найдём зав-ть между т. M в 1й и во 2й с.к. ]т. М в 1й с.к. имела координаты (x,y,z), а во 2й– (x`,y`,z`), т.е. OM = xe₁+ye₂+ze₃, а O`M = x`f₁+y`f<sub>2</sub>+z`f₃. OM=OO`+O`M. Пусть O` в с.к. Oe<sub>1</sub>e<sub>2</sub>e<sub>3</sub> = (x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>,z<sub>0</sub>) OO`= x₀e₁+ +y₀e₂+z₀e₃. OM=(e₁,e₂,e₃)((x;y;z))=(e₁,e₂,e₃)((x₀;y₀;z₀))+(f₁,f₂,f₃)((x`;y`;z`)) = (e<sub>1</sub>,e<sub>2</sub>,e<sub>3</sub>)((x<sub>0</sub>;y<sub>0</sub>;z<sub>0</sub>)) + (e<sub>1</sub>,e<sub>2</sub>,e<sub>3</sub>)C((x`;y`;z`)) = (e₁,e₂,e₃)[((x₀;y₀;z₀))+C((x`;y`;z`))]  ((x;y;z)) = C((x`;y`;z`)) + ((x₀;y₀;z₀))  {(x=c₁₁x`+c<sub>21</sub>y`+c₃₁z`+x<sub>0</sub>) (y=c<sub>12</sub>x`+c₂₂y`+c<sub>32</sub>z`+y₀) (z=c₁₃x`+c<sub>23</sub>y`+c₃₃z`+z₀) Утв. Даны Oe₁e₂e₃ и Oe₁e₂f₃. Тогда dit|C|>0  АЗ пр_e3^e1e2=3f₃>0. Д-во. f₃ = ₁e₁+₂e₂+₃e₃. Рассм-м базисы e₁e₂e₃ и f₁=e₁, f₁=e₂, f₃. Тогда C=((1,0,₁; 0,1,₃; 0,0,₃)). dit|C|=₃  dit|C|>0  АЗ пр_e3^3f₃>0, т.к. ₃=АЗ пр_e3^3f₃, чтд. Векторное произв-е в координ-х. Л. [i,i]=0, [j,j]=0, [k,k]=0, [i,j]=k, [k,i]=j, [j,k]=i. Т. Если a=a_Xi+a_Yj+a_Zk, b=b_Xi+b_Yj+b_Zk, то [a,b] = (a_Yb_Z-a_Zb_Y)i+(a_Zb_X-a_Xb_Z)j+(a_Xb_Y-a_Yb_X)k.

Ур-я прямой на пл-ти. Ml (M₀l, a=M₀M – напр-й в-р) : M₀M=tM₀M₁ (1) – векторн. параметрич-е ур-е прямой l. Если M₀=(x₀,y₀), напр-й в-р a={a₁,a₂}, то ур-е прямой l можно записать через коорд-ты: (2) {(x=x₀+a₁t)(y=y₀+a₂t) – координатные парам-е ур-я l. Из (2): (x-x₀)/a₁ = t = (y-y₀)/a₂ (3) – канонич-е ур-е l.Из(3):a₂(x-x₀)-a₁(y-y₀)=0a₂x-a₁y+(-a₂x₀+a₁y₀)=0. ]A=a₂, B=-a₁, C = -a₂x₀+a₁y₀. Т.о. Ax+By+C=0 (4) – общее ур-е l, напр-й в-р a={-B,A}. ] изв-на т.M₁(x₁,y₁), M₁M₀  M₀M₁={x₁-x₀;y₁-y₀}. Из (3)  (x-x₀)/(x₁-x₀)=(y-y₀)/(y₁-y₀) (5) – ур-е прямой, проход-й через M₀ и M₁. ] k=(y₁-y₀)/(x₁-x₀), b=y₀-x₀k  y=kx+b (6) – ур-е прямой с угл-м коэф-м (в прямоуг. с.к. k=tg угла накл. прямой к оси ox).

Взаимное расп-е прямых на пл-ти. ] l₁:A₁x+B₁y+C₁=0, l₂:A₂x+B₂y+C₂=0. Тогда 1) l₁=l₂  A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂; 2) l₁||l₂  A₁/A₂=B₁/B₂C₁/C₂; 3) l₁l₂  A₁/A₂B₁/B₂

Пр-я на пл-ти в прям-х коор-х. Т1. ] l:Ax+By+C=0. Тогда 1)n={A,B} – норм-й в-р l; 2) C=0  Ol. Т2. ] l:Ax+By+C=0, ] M₀(x₀,y₀)l  (M₀,l) = |Ax₀+ By₀ +C|/(A²+B²). Угол между пр-ми. ] l₁: A₁x+B₁y+C₁=0; l₂: A₂x+B₂y+C₂=0. a₁ = =₁{B₁,-A₁}, a₂=₂{B₂,-A₂} – напр-е в-ры. cos(a₁,a₂)= <a₁,a₂>/(|a₁||a₂|) = =(₁₂(B₁B₂+(-A₁)(-A₂)))/(|₁|(B₁²+(-A₁)²)|₂|(B₂²+A₂²)) = =(A₁A₂+B₁B₂)/((A₁²+B₁²)(A₂²+B₂²)). – косинус угла между прямыми l₁ и l₂