ag / 1_2

пр_ua=|a|cos; cos²+cos²+cos²=1; <a,b>=|a||b|cos=|a|пр_ab; cos=<a,b>/(|a||b|) = (x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂)/((x₁²+y₁²+z₁²)(x₂²+y₂²+z₂²)). [a,b]=-[b,a]; |[a,b]|=S; a={X1,Y1,Z1}, b={X2,Y2,Z2}[a,b]=dit|i,j,k; X1,Y1,Z1; X2,Y2,Z2| (a,b,c)=<[a,b],c>=<a,[b,c]>=V_abc(a,b,c-правая)=-V(левая). (a,b,c) = dit|X1,Y1,Z1; X2,Y2,Z2; X3,Y3,Z3|.

y=kx+b, k=tg; Ax+By+C=0k=-(A/B). y-y₀=k(x-x₀) – проходит через M₀(x₀,y₀) и имеет коэф-т k. Если M1 и M2  l, то k=(y2-y1)/(x2-x1), l: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1); tg=(k2-k1)/(1+k1k2). l₁||l₂k1=k2; l₁l₂k1k2=-1. =1/(A²+B²) – нормирующ. множ-ль (sgn()=-sgn(C)).

Эллипс. x²/a²+y²/b²=1; b=(a²-c²); F(c,0); =c/a; r_1,2=ax – фокальные радиусы F₁M и F₂M, M(x,y); дир-сы: a/. r/d=, r-фок-й радиус, d-расстояние от точки э-са до односторонней с этим фокусом д-сы.

Гип-ла. x²/a²-y²/b²=1; b=(c²-a²); асимптоты: y=(b/a)x; =(c/a); Фок-е радиусы прав. ветви: r_1,2=xa, лев. ветви: r₁=-x-a, r₂=-x+a; x=a/ - дир-сы. r/d=.

П-ла. y²=2px; x=-(p/2)-дир-са; r=x+(p/2)-фок-й радиус.

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0. S(x0,y0) -центр (Ax0+By0+D=0)(Bx0+Cy0+E=0) (2). =dit|A,B; B,C| - дискр-нт старших членой ур-я (2). Если 0  !решение: x0=dit|B,D; C,E|/ dit|A,B; B,C|, y0=dit|D,A; E,B|/dit|A,B; B,C|. Если S(x0,y0) –центр, то при x=x(~)+x0, y=y(~)+y0 ур-е линии принимает вид: Ax²(~)+2Bx(~)y(~)+Cy²(~)+F(~)=0, F(~)=Dx0+Ey0+F. F(~)=/, где =dit|A,B,D; B,C,E; D,E,F|. Если =0 и =0, то центров , если =0 и 0, то центров нет.

Ур-е (2): Ax²(~)+2Bx(~)y(~)+Cy²(~)+F(~)=0 (0). (x(~)=x`cos-y`cos)(y(~)=x`sin+y`cos) – поворот осей на . Если  такой, что коэф-т при x`y` равен 0 (Btg²-(C-A)tg-B=0), то в новых коорд-х ур-е примет вид: A`x`²+C`y`²+F(~)=0, (A`C`=AC-B²)(A`+C`=A+C) . Если >0 – эл-й тип, <0 – ги-й, =0 – параб-й.

В-ры на пл-ти. Т1. a и b коллин-ны  они ЛЗ. Сл. На пл-ти  2а ЛН в-ра. Т2. На пл-ти люб. 3и в-ра ЛЗ. Т3. a,b,c компл-ны  они ЛЗ. Сл. В пр-ве сущ. 3и ЛН в-ра. Т4. В пр-ве люд. 4е в-ра ЛЗ.

Проекции. Пусть а=ОМ. Построим проекции точек О и М на l1 и l2 парал-но другим прямым соотв. Тогда ОМ=О1М1+О2М2. Пусть a1=O1M1, a2=O2M2. Назовём в-р а1 проекцией а на l1 ||-но l2, аналогично а2 – пр-я а на l2 ||-но l1. Докажем, что определение на зависит от точки О. а=а1+а2, пусть а=b1+b2.  a-a=(a1-b1)+(a2-b2)=0. (a1-b1)||l1, (a2-b2)||l2, т.к. l1 не|| l2, то (a1-b1) и (a2-b2) ЛН, но их сумма=0 ПП. Т.о. разложение в-ра а в виде а1+а2 !-но. ….. Вывод. Координаты в-ра на пл-ти в базисе (е1,е2) – это а.з. проекций в-ра на базисных в-рах… Коорд-ты в-ра в базисе (е1,е2,е3) – а.з. –я проекций в-ра на базисные в-ры ||-но базисным плоскостям.

Скаляр. Пр-е. 4е св-во: <a+b,c>=|c|АЗ(е_с)пр(е_с)(a+b) = |c|(АЗ(е_с)пр(е_с)a + +АЗ(е_с)пр(е_с)b) = |c|АЗ(е_с)пр(е_с)a + |c|АЗ(е_с)пр(е_с)b = <a,c>+<b,c>.

Афинная с.к. f:A–>(x(1),…,x(n)) – это отобр-е f :=а.с.к., определённой репером по е(1),…,е(n).

Полярн. с.к. на пл-ти. r=(x²+y²), tg=(y/x), cos=x/(x²+y²), sin=y/(x²+y²); y=rsin, x=rcos. Полярно-сферич. с.к.: r=(x²+y²+z²), cos=x/(x²+y²), sin=z/(x²+y²+z²). x=rcoscos, y=rcossin, z=rsin. Полярно-цилиндр. с.к. r=(x²+y²), cos=x/(x²+y²), z=z; x=rcos, y=rsin,

Переход от одного б-за к др. С-матр. перехода от (e1,e2,e3) к (f1,f2,f3). (f1,f2,f3)=(e1,e2,e3)C. Пусть M=(x,y,z) – в базисе (е1,е2,е3) и M=(x`,y`,z`) – в (f1,f2,f3). Найдём зависимость между (x,y,z) и (x`,y`,z`). По опр ОМ=xe1+ye2+ze3, OM=x`f1+y`f2+z`f3. (e1,e2,e3)((x;y;z))=OM=(f1,f2,f3)((x`;y`;z`))  (e`,e2,e3)((x;y;z)) = (f1,f2,f3)((x`;y`;z`))  (e1,e2,e3)((x;y;z))=(e1,e2,e3)C((x`;y`;z`))  ((x;y;z))=C((x`;y`;z`))  {(x=c₁₁x`+c<sub>21</sub>y`+c₃₁z`)(y=c<sub>12</sub>x`+c₂₂y`+c<sub>32</sub>z`)(z=c₁₃x`+c<sub>23</sub>y`+c₃₂z`).

Переход от одной афф. с.к. к другой. Предп., что в пр-ве заданы 2е а.с.к. Oe₁e₂e₃ и O`f<sub>1</sub>f<sub>2</sub>f<sub>3</sub>. Найдём зав-ть между т. M в 1й и во 2й с.к. ]т. М в 1й с.к. имела координаты (x,y,z), а во 2й– (x`,y`,z`), т.е. OM = xe₁+ye₂+ze₃, а O`M = x`f₁+y`f<sub>2</sub>+z`f₃. OM=OO`+O`M. Пусть O` в с.к. Oe<sub>1</sub>e<sub>2</sub>e<sub>3</sub> = (x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>,z<sub>0</sub>) OO`= x₀e₁+ +y₀e₂+z₀e₃. OM=(e₁,e₂,e₃)((x;y;z))=(e₁,e₂,e₃)((x₀;y₀;z₀))+(f₁,f₂,f₃)((x`;y`;z`)) = (e<sub>1</sub>,e<sub>2</sub>,e<sub>3</sub>)((x<sub>0</sub>;y<sub>0</sub>;z<sub>0</sub>)) + (e<sub>1</sub>,e<sub>2</sub>,e<sub>3</sub>)C((x`;y`;z`)) = (e₁,e₂,e₃)[((x₀;y₀;z₀))+C((x`;y`;z`))]  ((x;y;z)) = C((x`;y`;z`)) + ((x₀;y₀;z₀))  {(x=c₁₁x`+c<sub>21</sub>y`+c₃₁z`+x<sub>0</sub>) (y=c<sub>12</sub>x`+c₂₂y`+c<sub>32</sub>z`+y₀) (z=c₁₃x`+c<sub>23</sub>y`+c₃₃z`+z₀) Утв. Даны Oe₁e₂e₃ и Oe₁e₂f₃. Тогда dit|C|>0  АЗ пр_e3^e1e2=3f₃>0. Д-во. f₃ = ₁e₁+₂e₂+₃e₃. Рассм-м базисы e₁e₂e₃ и f₁=e₁, f₁=e₂, f₃. Тогда C=((1,0,₁; 0,1,₃; 0,0,₃)). dit|C|=₃  dit|C|>0  АЗ пр_e3^3f₃>0, т.к. ₃=АЗ пр_e3^3f₃, чтд. Векторное произв-е в координ-х. Л. [i,i]=0, [j,j]=0, [k,k]=0, [i,j]=k, [k,i]=j, [j,k]=i. Т. Если a=a_Xi+a_Yj+a_Zk, b=b_Xi+b_Yj+b_Zk, то [a,b] = (a_Yb_Z-a_Zb_Y)i+(a_Zb_X-a_Xb_Z)j+(a_Xb_Y-a_Yb_X)k.

Ур-я прямой на пл-ти. Ml (M₀l, a=M₀M – напр-й в-р) : M₀M=tM₀M₁ (1) – векторн. параметрич-е ур-е прямой l. Если M₀=(x₀,y₀), напр-й в-р a={a₁,a₂}, то ур-е прямой l можно записать через коорд-ты: (2) {(x=x₀+a₁t)(y=y₀+a₂t) – координатные парам-е ур-я l. Из (2): (x-x₀)/a₁ = t = (y-y₀)/a₂ (3) – канонич-е ур-е l.Из(3):a₂(x-x₀)-a₁(y-y₀)=0a₂x-a₁y+(-a₂x₀+a₁y₀)=0. ]A=a₂, B=-a₁, C = -a₂x₀+a₁y₀. Т.о. Ax+By+C=0 (4) – общее ур-е l, напр-й в-р a={-B,A}. ] изв-на т.M₁(x₁,y₁), M₁M₀  M₀M₁={x₁-x₀;y₁-y₀}. Из (3)  (x-x₀)/(x₁-x₀)=(y-y₀)/(y₁-y₀) (5) – ур-е прямой, проход-й через M₀ и M₁. ] k=(y₁-y₀)/(x₁-x₀), b=y₀-x₀k  y=kx+b (6) – ур-е прямой с угл-м коэф-м (в прямоуг. с.к. k=tg угла накл. прямой к оси ox).

Взаимное расп-е прямых на пл-ти. ] l₁:A₁x+B₁y+C₁=0, l₂:A₂x+B₂y+C₂=0. Тогда 1) l₁=l₂  A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂; 2) l₁||l₂  A₁/A₂=B₁/B₂C₁/C₂; 3) l₁l₂  A₁/A₂B₁/B₂

Пр-я на пл-ти в прям-х коор-х. Т1. ] l:Ax+By+C=0. Тогда 1)n={A,B} – норм-й в-р l; 2) C=0  Ol. Т2. ] l:Ax+By+C=0, ] M₀(x₀,y₀)l  (M₀,l) = |Ax₀+ By₀ +C|/(A²+B²). Угол между пр-ми. ] l₁: A₁x+B₁y+C₁=0; l₂: A₂x+B₂y+C₂=0. a₁ = =₁{B₁,-A₁}, a₂=₂{B₂,-A₂} – напр-е в-ры. cos(a₁,a₂)= <a₁,a₂>/(|a₁||a₂|) = =(₁₂(B₁B₂+(-A₁)(-A₂)))/(|₁|(B₁²+(-A₁)²)|₂|(B₂²+A₂²)) = =(A₁A₂+B₁B₂)/((A₁²+B₁²)(A₂²+B₂²)). – косинус угла между прямыми l₁ и l₂

Расстояние между ||-ми прямыми. l₁:Ax+By+C₁=0; l₂: Ax+By+C₂=0  (l₁,l₂)=|C₂-C₁|/(A²+B²).

Угол между прямыми. l₁: y=k₁x+b₁; l₂: y=k₂x+b₂. k₁=tg₁, k₂=tg₂; =₁+₂ tg=(tg₁-tg₂)/(1+tg₁tg₂)=(k₁-k₂)/(1+k₁k₂).

Ур-е плоскости. M M₀M=ta+b (1) – векторное парам-е ур-е пл-ти , проходящей через т.M₀ и напр-е в-ры a и b. ] M=(x,y,z), M₀=(x₀,y₀,z₀), a={a₁,a₂,a₃}, b={b₁,b₂,b₃}, тогда (1)~{(x-x₀=ta₁+b₁)(y-y₀=ta₂+b₂) (z-z₀=ta₃+b₃) (2) – коорд-е параметрич-е ур-я пл-ти . Ур-е (1) означает, что M₀M, a, b комплонарны  dit|x-x₀,y-y₀,z-z₀; a₁,a₂,a₃; b₁,b₂,b₃|=0 (3) – ур-е пл-ти , проходящей через M₀ и напр-е в-ры a и b. (3) (x-x₀)dit|a₂,a₃; b₂,b₃| + +(y-y₀)dit|a₁,a₃; b₁,b₃|+(z-z₀)dit|a₁,a₂; b₁,b₂|=0 или (переобозначив определители): A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0 (5)  Ax+By+Cz+D = 0 (4) – общ. ур-е пл-ти , D = -(Ax₀+By₀+Cz₀). (5) – ур-е пл. , прох-й через M₀.

Взаимн-е расп-е пл-тей. 1) a={,,}||:Ax+By+Cz=0  A+B+C=0. 2)₁||₂ в широком смыле (не пересекаются или совпадают)  A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂ (2); 3) ||-ны в узком смысле  вып. (2) и (2)D₁/D₂

Пл-ть в прямоуг-х коорд-х. Опр. В-р, ортогональный люб. в-ру, ||-му данной пл-ти  := норм-м в-ром это пл-ти. Т. ]пл-ть  в прямоуг-й с.к. Oxyz задана ур-м (1): Ax+By+Cz+D=0. Тогда 1) в-р n={A,B,C} – норм-й в-р пл-ти ; 2)D=0  (0,0,0).

Прямая в пр-ве. M₀M=ta – векторное ур-е. a={x₀,y₀,z₀} – напр-й в-р, M₀ = (x₀,y₀,z₀)  (1) ~ {(x=x₀+ta₁)(y=y₀+ta₂)(z=z₀+ta₃) (2) – коорд-е ур-я прямой в пр-ве. (2) (x-x₀)/a₁=(y-y₀)/a₂=(z-z₀)/a₃ (3) – канонич-е ур-я прямой в пр-ве. ] M₁(x₁,y₁,z₁)l, тогда M₀M₁={x₁-x₀,y₁-y₀,z₁-z₀} коллин-рен напр. в-ру, тогда из (3) (x-x₀)/(x₁-x₀)=(y-y₀)/(y₁-y₀)=(z-z₀)/(z₁-z₀) (4) – ур-е прямой в пр-ве, проходящей через M₁ и M₀.

Прямая как линия пересеч-я пл-тей. ] ₁₂=l; ₁: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0; ₂: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0  l: {(A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0)(A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0) (5) – ур-е прямой как линии пересеч-я 2х пл-тей. В-р {dit|B₁,C₁; B₂,C₂|; -dit|A₁,C₁; A₂,C₂|; dit|A₁,B₁; A₂,B₂|} – направляющий для этой прямой. Нач-я т. пр. l: M₀(dit|B₁D₁;B₂D₂|/dit|A₁B₁;A₂B₂|; dit|D₁A₁;D₂A₂|/dit|A₁B₁;A₂B₂|; 0)

(M₀,)=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/(A²+B²+C²); (₁,₂)=|D₂-D₁|/(A²+B²+C²).

Разделение пр-ва пл-тью. Т. Если т.М₁ и М₂ разделены пл-ю , то sgn(Ax₁+By₁+Cz₁+D) = -sgn(Ax₂+By₂+Cz₂).

Взаимн-е располож-е прямых в пр-ве. Даны пр. l₁, M₁(x₁,y₁,z₁)l₁, a={a₁,a₂,a₃} – напр-й в-р l; l₂, M₂(x₂,y₂,z₂)l₂, b={b₁,b₂,b₃} – напр-й в-р l₂.  = dit|x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁; a₁,a₂,a₃; b₁,b₂,b₃|. Т. Если 1)l₁=l₂  =0 и любые 2е строчки проп-ны; 2) l₁||l₂  =0, 2я и 3я строки пропорц-ны; 3) l₁l₂=P, то =0, 2я и 3и строчки непроп-ны, 1я явл. лин-й комбин-й остальных; 4)l₁%l₂, то 0.

(M₁,l)=|[M₀M₁,a]|/|a|, l:M₀M=ta. ] l₁%l₂  (l₁,l₂)=|(M₁M₂,a,b)|/|[a,b]|, a- напр-й в-р l₁, b – напр-й в-р l₂.

Ур-е общего -ра скрещ-ся прямых. Даны скрещ-ся прямые l₁ (напр. в-р a)и l₂ (b). Найдём пр. l – общий . ] l₁l=P₁, l₂l=P₂. Если найти координаты P₁ и P₂, то можно записать векторное парам-е ур-е l. Рассм-м ломаную P₁M₁M₂P₂P₁. P₁P₂=P₁M₁+M₁M₂+M₂P₂. P₁M₁||a  ₁: P₁M₁=₁a. Аналогично M₂P₂=₁b  P₁P₂=₁a+M₁M₂+₁b. Допустим, мы нашли ₁ и ₁. Тогда мы сможем найти коорд-ты P₁ и P₂: P₁P₂a (т.к. l  l)<P₁P₂,a>=0. Аналогично <P₁P₂,b>=0. Подставим 2а последних рав-ва в выражение для в-ра P₁P₂: <₁a+M₁M₂+₁b,a>=0, <₁a+M₁M₂+₁b,b>=0. В итоге получим систему: {(₁|a|²+₁<a,b>= -<M₁M₂,a>)(₁<a,b>+₁|b|₂= -<M₁M₂,b>). Матрица системы: ((|a|²,<a,b>; <a,b>,|b|²)) – имеет !-е решение, когда dit0. |a|²|b|²-<a,b>² = |a|²|b|²sin²(a,b)=|[a,b]|². Т.к. a не || b  [a,b]0  dit матрицы 0. Решить систему можно по правилам крамера. Пусть P₁=(x₁,y₁,z₁), P₂=(x₂,y₂,z₂). Тогда x=x₁+t(x₂-x₁), y=y₁+t(y₂-y₁), z=z₁+t(z₂-z₁). Задача решена.

Св-ва эл-са. 1)Фокальное. т. Mэллипсу  |F₂M|+|F₁M|=2a. 2)Директориальное. MЭ(1)  r₁/d₁=r₂/d₂=, где r_1,2-фок-е радиусы, d – расстояние от точки M до односторонней с фокусом дирр-сы. 3)Оптич. Углы, кот. образует кас-я (xx₀/a²+yy₀/b²=1, (x₀,y₀) –точка кас-я) с фок-ми радиусами, проведёнными в точку кас-я, равны.

Св-ва г-лы. 1)фок-е. MГ(1)|MF₁-MF₂|=2a. 2)дир-е. MГr₁/d₁=r₂/d₂=. 3)Оптич. аналогично. Св-ва п-лы. 1)дирретор-е. MП(M,дир-са)=(M,фокус). 2)Оптич. Угол , образ-й кас-й с фок-м радиусом, проведённым в точку кас-я, равен угла, образ-му кас-й с +-м напр-ем OX