ag / ag-2-[ш 3-1]

(M₀,)=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/(A²+B²+C²); (₁,₂)=|D₂-D₁|/(A²+B²+C²).

Разделение пр-ва пл-тью. Т. Если т.М₁ и М₂ разделены пл-ю , то sgn(Ax₁+By₁+Cz₁+D) = -sgn(Ax₂+By₂+Cz₂).

Взаимн-е располож-е прямых в пр-ве. Даны пр. l₁, M₁(x₁,y₁,z₁)l₁, a={a₁,a₂,a₃} – напр-й в-р l; l₂, M₂(x₂,y₂,z₂)l₂, b={b₁,b₂,b₃} – напр-й в-р l₂.  = dit|x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁; a₁,a₂,a₃; b₁,b₂,b₃|. Т. Если 1)l₁=l₂  =0 и любые 2е строчки проп-ны; 2) l₁||l₂  =0, 2я и 3я строки пропорц-ны; 3) l₁l₂=P, то =0, 2я и 3и строчки непроп-ны, 1я явл. лин-й комбин-й остальных; 4)l₁%l₂, то 0.

(M₁,l)=|[M₀M₁,a]|/|a|, l:M₀M=ta. ] l₁%l₂  (l₁,l₂)=|(M₁M₂,a,b)|/|[a,b]|, a- напр-й в-р l₁, b – напр-й в-р l₂.

Ур-е общего -ра скрещ-ся прямых. Даны скрещ-ся прямые l₁ (напр. в-р a)и l₂ (b). Найдём пр. l – общий . ] l₁l=P₁, l₂l=P₂. Если найти координаты P₁ и P₂, то можно записать векторное парам-е ур-е l. Рассм-м ломаную P₁M₁M₂P₂P₁. P₁P₂=P₁M₁+M₁M₂+M₂P₂. P₁M₁||a  ₁: P₁M₁=₁a. Аналогично M₂P₂=₁b  P₁P₂=₁a+M₁M₂+₁b. Допустим, мы нашли ₁ и ₁. Тогда мы сможем найти коорд-ты P₁ и P₂: P₁P₂a (т.к. l  l)<P₁P₂,a>=0. Аналогично <P₁P₂,b>=0. Подставим 2а последних рав-ва в выражение для в-ра P₁P₂: <₁a+M₁M₂+₁b,a>=0, <₁a+M₁M₂+₁b,b>=0. В итоге получим систему: {(₁|a|²+₁<a,b>= -<M₁M₂,a>)(₁<a,b>+₁|b|₂= -<M₁M₂,b>). Матрица системы: ((|a|²,<a,b>; <a,b>,|b|²)) – имеет !-е решение, когда dit0. |a|²|b|²-<a,b>² = |a|²|b|²sin²(a,b)=|[a,b]|². Т.к. a не || b  [a,b]0  dit матрицы 0. Решить систему можно по правилам крамера. Пусть P₁=(x₁,y₁,z₁), P₂=(x₂,y₂,z₂). Тогда x=x₁+t(x₂-x₁), y=y₁+t(y₂-y₁), z=z₁+t(z₂-z₁). Задача решена.

Св-ва эл-са. 1)Фокальное. т. Mэллипсу  |F₂M|+|F₁M|=2a. 2)Директориальное. MЭ(1)  r₁/d₁=r₂/d₂=, где r_1,2-фок-е радиусы, d – расстояние от точки M до односторонней с фокусом дирр-сы. 3)Оптич. Углы, кот. образует кас-я (xx₀/a²+yy₀/b²=1, (x₀,y₀) –точка кас-я) с фок-ми радиусами, проведёнными в точку кас-я, равны.

Св-ва г-лы. 1)фок-е. MГ(1)|MF₁-MF₂|=2a. 2)дир-е. MГr₁/d₁=r₂/d₂=. 3)Оптич. аналогично. Св-ва п-лы. 1)дирретор-е. MП(M,дир-са)=(M,фокус). 2)Оптич. Угол , образ-й кас-й с фок-м радиусом, проведённым в точку кас-я, равен угла, образ-му кас-й с +-м напр-ем OX