ag / ag-2-[ш 5-2]

3)Двуп-й гип-ид. := повть 2го порядка, кот. в нек. декарт-й прямоуг-й с.к. можно задать ур-ем: x²/a²-y²/b²-z²/c²=1.

Рассматривая двуп-й ги-ид вращ-я x²/a²-(y²+z²)/b²=1, преобраз-е пр-ва x`=x, y`=y, z`=kz (k>0) и производя замену kb=c, получим

x`<sup>2</sup>/a<sup>2</sup>-y`²/b²-z`²/c²=1. Вывод. Двуп-й гип-ид получается из двуп-го гип-да вращ-я с помощью сжатия его к пл-ти, содержащей ось вращ-я (в дан-м случае XOY).

4) Эллиптич. ги-ид:=пов-ть 2го порядка, задаваемая ур-ем: 2z=x²/p+y²/q (p>0,q>0). Рассматривая параболоид вращ-я x²+y²=2pz, преобраз-е пр-ва x`=x, y`=ky, z`=z и производя замену q=k<sup>2</sup>p, получим: x`²/p+y`<sup>2</sup>/q=2z`. Вывод. Получили из параболоида вращ-я сжатием его к пл-ти, содержащей ось вращ-я (в дан-м случ. XOZ).

5)Гиперболический параболоид.:= пов-ть, задаваемая ур-ем 2z=x²/p-y²/q (p>0,q>0). Эту пов-ть нельзя получить с помощью сжатия пр-ва к к.-л. пл-ти. Изучим строение этой пов-ти с пом. метода сечений, т.е. исходя из видов кривых, кот получаются в пересечении пов-ти с пл-ми, совпадающими, или ||ми координ-ным пл-тям. а) x=0 y²=-2qz; б) z=0  x²/p-y²/q=0  (x/p-y/q)(z/p+y/q)=0; в)y=0  x²=2pz, г)x=h, д) y=h, е)z=h.

Опр. Прямая, целиком лежащая на пов-ти := прямолин-й образующей.

Т1. Через каждую точку однополостного гип-да проходят 2е и только 2е прямолин-х образующих. Д-во. ] M₀(x²/a²+y²/b²-z²/c²=1). Проведём через M₀ прямую с напр-ми в-м a={l,m,n} Тогда, чтобы эта прямая  гип-ду н. и д., чтобы ур-е (x₀+tl)²/a²+(y₀+tm)²/b²-(z₀+tn)²/c²=1 вып-сь тождественно. Это ур-е получено после подстановки в ур-е ги-да коор-т т.M прямой x=x₀+tl, y=y₀+tm, z=z₀+tn. Раскрывая скобки и упрощая, получим: 2t(x₀l/a²+y₀m/b²-z₀n/c²)+t²(l²/a²+m²/b²-n²/c²)=0  x₀l/a²+y₀m/b²-z₀n/c²=0 и l²/a²+m²/b²-n²/c²=0. Из 2го ур-я следует, что n0. ]n=c  x₀l/a²+y₀m/b²=z₀/c, l²/a²+m²/b²=1. Эта система имеет 2а различных реш-я  2а напр-х в-ра.

Т2. Через любую точку гиперблического параболоида проходит 2е и только 2е прямолинейные образующие.