ag / ag-2-[ш 2-2]

Расстояние между ||-ми прямыми. l₁:Ax+By+C₁=0; l₂: Ax+By+C₂=0  (l₁,l₂)=|C₂-C₁|/(A²+B²).

Угол между прямыми. l₁: y=k₁x+b₁; l₂: y=k₂x+b₂. k₁=tg₁, k₂=tg₂; =₁+₂ tg=(tg₁-tg₂)/(1+tg₁tg₂)=(k₁-k₂)/(1+k₁k₂).

Ур-е плоскости. M M₀M=ta+b (1) – векторное парам-е ур-е пл-ти , проходящей через т.M₀ и напр-е в-ры a и b. ] M=(x,y,z), M₀=(x₀,y₀,z₀), a={a₁,a₂,a₃}, b={b₁,b₂,b₃}, тогда (1)~{(x-x₀=ta₁+b₁)(y-y₀=ta₂+b₂) (z-z₀=ta₃+b₃) (2) – коорд-е параметрич-е ур-я пл-ти . Ур-е (1) означает, что M₀M, a, b комплонарны  dit|x-x₀,y-y₀,z-z₀; a₁,a₂,a₃; b₁,b₂,b₃|=0 (3) – ур-е пл-ти , проходящей через M₀ и напр-е в-ры a и b. (3) (x-x₀)dit|a₂,a₃; b₂,b₃| + +(y-y₀)dit|a₁,a₃; b₁,b₃|+(z-z₀)dit|a₁,a₂; b₁,b₂|=0 или (переобозначив определители): A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0 (5)  Ax+By+Cz+D = 0 (4) – общ. ур-е пл-ти , D = -(Ax₀+By₀+Cz₀). (5) – ур-е пл. , прох-й через M₀.

Взаимн-е расп-е пл-тей. 1) a={,,}||:Ax+By+Cz=0  A+B+C=0. 2)₁||₂ в широком смыле (не пересекаются или совпадают)  A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂ (2); 3) ||-ны в узком смысле  вып. (2) и (2)D₁/D₂

Пл-ть в прямоуг-х коорд-х. Опр. В-р, ортогональный люб. в-ру, ||-му данной пл-ти  := норм-м в-ром это пл-ти. Т. ]пл-ть  в прямоуг-й с.к. Oxyz задана ур-м (1): Ax+By+Cz+D=0. Тогда 1) в-р n={A,B,C} – норм-й в-р пл-ти ; 2)D=0  (0,0,0).

Прямая в пр-ве. M₀M=ta – векторное ур-е. a={x₀,y₀,z₀} – напр-й в-р, M₀ = (x₀,y₀,z₀)  (1) ~ {(x=x₀+ta₁)(y=y₀+ta₂)(z=z₀+ta₃) (2) – коорд-е ур-я прямой в пр-ве. (2) (x-x₀)/a₁=(y-y₀)/a₂=(z-z₀)/a₃ (3) – канонич-е ур-я прямой в пр-ве. ] M₁(x₁,y₁,z₁)l, тогда M₀M₁={x₁-x₀,y₁-y₀,z₁-z₀} коллин-рен напр. в-ру, тогда из (3) (x-x₀)/(x₁-x₀)=(y-y₀)/(y₁-y₀)=(z-z₀)/(z₁-z₀) (4) – ур-е прямой в пр-ве, проходящей через M₁ и M₀.

Прямая как линия пересеч-я пл-тей. ] ₁₂=l; ₁: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0; ₂: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0  l: {(A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0)(A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0) (5) – ур-е прямой как линии пересеч-я 2х пл-тей. В-р {dit|B₁,C₁; B₂,C₂|; -dit|A₁,C₁; A₂,C₂|; dit|A₁,B₁; A₂,B₂|} – направляющий для этой прямой. Нач-я т. пр. l: M₀(dit|B₁D₁;B₂D₂|/dit|A₁B₁;A₂B₂|; dit|D₁A₁;D₂A₂|/dit|A₁B₁;A₂B₂|; 0)