ag / ag-2-[ш 4-1]

Центр симметрии. О. т.M₀:=центром сим-ии мн-ва L, если M₁L т.M₂, симметр-я точке M₁ относ-но т.M₀, тоже  мне-ву L. Т. L:F(x,y)=0 (1). Если M₀(x₀,y₀) – центр симметрии L, то (2) {(a₁₁x₀+a₁₂y₀+a₁=0)(a₂₁x₀+a₂₂y₀+a₂=0)

О. M₀:= центром линии 2го порядка L, если вып. ур-я (2). Линия L:= центр-й, если у неё !-й центр. Если линия явл. центр-й, то система (2) имеет !-е реш-е  её определитель 0. (2) не имеет реш-й  =0 и rg((a₁₁,a₁₂,a₁; a₂₁,a₂₂,a₂))=2 – в это случае лини L не имеет центра. (2) имеет  решений  =0 и rg((a₁₁,a₁₂,a₁; a₂₁,a₂₂,a₂))=1 – в этом случ. центров у линии L .

О. В-ры a={,} и a`={`,`} сопряжены относит-но линии L, если a<sub>11</sub>`+ +a₁₂(`+`)+a₂₂`=0 (5). Св-во. Если в-р a имеет асимпт-е напр-е, то он сопряжён самому себе. О. В-ры a и a` задают главные напр-я относит-но линии 2го порядка, если они сопряжены и взаимноортогональны. О. прямая (a₁₁x+a₁₂y+a₁)+(a₂₁x+a₂₂y+a₂)=0 (4) := диаметром линии 2го порядка, сопряжённым неасимптотич-му напр-ю {,}. Т. Если линия 2го порядка L имеет центр, то диаметр этой линии проходит через центр. Т. Диаметр, сопряж-й направл-ю кас-й, проходит через точку кас-я.

Преобразов-е линии L при пов-те осей координат на угол . Дано ур-е линии (1)L: a₁₁x²+a₁₂xy+a₂₂y²+2a₁x+2a₂y+a₀=0. Перейдём от Oxy к Ox`y` так, чтобы в Ox`y` не было слагаемого x`y`. Ф-лы перехода от xy к x`y`: {(x=x`cos-y`sin)(y=x`sin+y`cos). (1) … a`<sub>11</sub>x`²+2a`<sub>12</sub>x`y`+a`₂₂y`<sup>2</sup>+ +2a`₁x`+2a`₂y`+a`₀=0. Найдём  так, чтобы a`<sub>12</sub> стал =0. 2a`₁₂= -a₁₁2cossin+ +2a₁₂(cos²-sin²)+a₂₂2sincos  a`<sub>12</sub>= -a<sub>11</sub>cossin+a<sub>12</sub>(cos<sup>2</sup>-sin<sup>2</sup>)+ +a<sub>22</sub>sincos. Т.к. a`₁₂=0  a₁₂cos2=((a₁₁-a₂₂)/2)sin2, т.к. 0 (т.к. a₁₂0)  ctg2=(a₁₁-a₂₂)/2a₁₂ (2). Вывод. При пов-те с.к. на угол , кот явл. корнем ур-я (2), коэф-т a`<sub>12</sub> в новом ур-ии кривой L равен 0. Т.о. L:a<sub>11</sub>x<sup>2</sup>+a<sub>22</sub>y<sup>2</sup>+2a<sub>1</sub>x+2a<sub>2</sub>y + +a<sub>0</sub>=0 (1`). Пусть L имеет !-й центр, т.е. =dit|a₁₁,0; 0,a₂₂|0. Перенесём начало координат в центр – перейдём от с.к. Oxy к Ox`y`: x`=x-x<sub>0</sub>, y`=y-y₀. Преобразуем ур-е (1`). В итоге получим: L: a<sub>11</sub>x`²+a₂₂y`<sup>2</sup>+2x`(a₁₁x₀+a₁)+ +2y`(a<sub>22</sub>y<sub>0</sub>+a<sub>2</sub>)+F(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>)=0. Т.к. (x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>)- центр, то a<sub>11</sub>x<sub>0</sub>+a<sub>1</sub>=0, a<sub>22</sub>y<sub>0</sub>+a<sub>2</sub>=0 для кривой с ур-ем(1`) (для нахождения центра нужно решить систему a₁₁x+a₁₂y +a₁=0 и a₂₁x+a₂₂y+a₂=0, но a₁₂=0=a₂₁ a₁₁x₀+a₁=0, a₂₂y₀+a₂=0) 