ag / ag-2-[ш 5-1]

Получим ур-е пов-ти вращ-я: f((x²+y²),z)=0 кривой L: f(y,z)=0,x=0.

Поверхности вращ-я 2го порядка. 1) Прямой круговой цилиндр. В пл-ти Oyz задана прямая L ||-я оси oz: L: y=a,x=0. Получим пов-ть вращ-я. f(y,z)=0, x=0. Вместо y подставим (x²+y²)  (x²+y²)=a  x²+y²=a² – ур-е прямого кругового цилиндра. 2) Круговой конус. В пл-ти Oyz рассм-м прямую, кот. проходит через (0,0,0) под нек. углом . L:z=ky (k=tg), x=0 – ур-е указанной прямой. Запишем ур-е пов-ти, полученной при вращ-и это прямой вокруг oZ. (x²+y²) вместо y  z=k(x²+y²)  z²=k²(x²+y²) – ур-е прямого круг-го конуса. 3)Эллипсоид вращ-я. В пл-ти Oyz задаём эллипс: L: y²/a²+z²/b²=1, x=0. О. Эллипсоидом вращ-я:= пов-ть, полученную вращ-ем эллипса вокруг большой или малой осей. а) вокруг oZ: вместо y (x²+y²)  (x²+y²)/a²+z²/b²=1; б) вокруг oy: y²/a²+(z²+x²)/b²=1. 4)Гиперболоид вращения. L: y²/a²-z²/b²=1, x=0. О. Однополостным гип-дом вращ-я:= пов-ть, получ-ю вращ-ем гип-лы вокруг её мнимой оси (в данном случ – oZ). О. Двупол-м гиперб-дом вращ-я:= пов-ть, получ-ю вращ-ем гиперболы вокруг её фок-й оси (oY). а)вокруг oZ: (x²+y²)/a²-z²/b²=1;б)Вокруг oY: y²/a²-(z²+x²)/b²= =1. 5)Параболоид вращ-я. L: z²=2py, x=0. О.Параболоидом вращ-я := пов-ть, получ-ю вращ-ем параболы вокруг её оси (в данном случае oY). ((x²+z²)²=2py  x²+z²=2py.

Канонические ур-я пов-тей 2го порядка. 1)Трёхосный эллипсоид. О. 3хосным эллипс-дом := пов-ть 2го порядка, кот в нек декарт-й прямоуг-й с.к. можно задать ур-ем: x²/a²+y²/b²+z²/c²=1 (1), a,b,c>0 – оси. Возьмём эллипсоид вращения x²/a²+(y²+z²)/b²=1 и рассм-м преобразование пр-ва x`=x, y`=y, z`=kz, k>0 (2) – сжатие пр-ва к пл-ти Oxy с коэф-том сжатия k  x`²/a²+ +y`<sup>2</sup>/b<sup>2</sup>+z`²/k²b²=1, k=c/b  x`<sup>2</sup>/a<sup>2</sup>+y`²/b²+z`<sup>2</sup>/c<sup>2</sup>=1 – ур-е трёхосного эллипс-да. Т.о. 3хосный эллип-д можно получить из эллипс-да вращения путём сжатия к пл-ти, содержащей ось вращения. 2)Однополостный гиперболоид.:= пов-ть, задаваемая ур-ем x<sup>2</sup>/a<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>/b<sup>2</sup>-z<sup>2</sup>/c<sup>2</sup>=1 (3). Рассматривая однополостный гиперболоид x<sup>2</sup>/a<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>/a<sup>2</sup>-z<sup>2</sup>/c<sup>2</sup>=1 и преобразование пр-ва x`=x, y`=ky, z`=z, получим x`<sup>2</sup>/a<sup>2</sup>+y`²/(ka)²-z²/c²=1. Обозначив ka=b, получим требуемое ур-е. Т.о. однополостный ги-ид получается из однополостного гиперболоида вращения с помощью сжатия к пл-ти, содержащей ось вращ-я.