ag / ag-2-[ш 3-2]

Линией 2го порядка := мн-во точек пл-ти, кот. в афф.с.к. мож. задать ур-ем (1): F(x,y)=a₁₁x²+a₁₂xy+a₂₂y²+2a₁x+2a₂y+a₀=0. Пересечение линии (1) с прямой. Дано: L:F(x,y)=0 – лини L, l: {(x=x₀+t)(y=y₀+t) (2)– прямая l. Найдём точки их пересечения. F(x₀+t,y₀+t)t²(a₁₁²+2a₁₂+a₂₂²)+ +2t(a₁₁x₀+a₁₂(x₀+y₀)+a₂₂y₀+a₁+a₂)+F(x₀,y₀)=0. Обозначим коэф-т при t² как (,), а при 2t как Q  (,)t²+2Qt+F(x₀,y₀)=0 (3).

Опр. В-р a={,}:= в-ром асимптотоич-го напр-я по отношению к линии 2го порядка L, если (,)=a₁₁²+2a₁₂+a₂₂²=0. Если у прямой l напр-й в-р явл. в-ром асимптотич-го напр-я по отношению к L, то l:= прямой асимптотич-го напр-я по отношению к L. Если такая прямая l не имеет общих с L точек, то она := асимптотой L; если же lL, то l:= образующей L. Теорема. Если пр. l имеет асимптотич-е напр-е по отнош-ю к L, то тогда либо 1)lL в !-й точке, 2) l – асимптота, 3)l-образующ-я. Д-во. Из (3) 2Qt+F(x₀,y₀)=0  1. Ур-е имеет !-е решение, т.е. Q0  t=-F(x₀,y₀)/2Q. 2. Решений нетQ=0, F(x₀,y₀)0, 3)реш-йQ=0,F(x₀,y₀)=0.

Опр. В-р a={,} имеет хорд-е напр-е, если (,)0 (1). Тогда (,)t²+2Qt+F(x₀,y₀)=0 (2) – ур-е для нах-я точек пересеч-я лин. L с пр. l.

Если напр-й в-р пр. l имеет хорд-е напр-е, то (2) может иметь: 1) 2а различ. корня – прямая хорд-го напр-я пересекает L, 2) 2а совпадающих корня – l явл кас-й, 3) не иметь корней – l не имеет общих с L точек.

Рассм-м 2й случ. a={,}-напр-й в-р l. M₀(x₀,y₀)=lL. Пусть M₀ – начальная точка прямой lF(x₀,y₀)=0 и из (2) (,)t²+2Qt=0 (2`). По усл. (2`) имеет 2а совпадающих корня и t₁=0  t₂=0  Q=0. Найдём Q. Q=(a₁₁x₀+a₁₂y₀+a₁)+(a₂₁x₀+a₂₂y₀+a₂). Рассм-м в-р n = {a₁₁x₀+a₁₂y₀+a₁; a₂₁x₀+a₂₂y₀+a2}. Тогда Q=0  <a,n>=0  na  n явл. Нормальным в-ром кас-й l: Ax+By+C=0. M₀ll: A(x-x₀)+B(y-y₀)=0. {A,B} – норм-й в-р l A=a₁₁x₀+a₁₂y₀+a₁, B=a₂₁x₀+a₂₂y₀+a₂ l: (a₁₁x₀+a₁₂y₀+a₁)(x-x₀) + (a₂₁x₀+a₂₂y₀+a₂)(y-y₀)=0 (3). Вывод. Ур-е (3)-ур-е кас-й к L в точке M₀(x₀,y₀)

Опр. =dit|a₁₁,a₁₂; a₂₁,a₂₂|:= дискримин-м ур-я линии L:F(x,y)=0. (>0-элиптич. тип, <0 – гиперб-й, =0-параб-й). Т. Линия элиптич. типа не имеет асимпт. напр-й; гиперб-го типа –  напр-й, параболич. типа – одно.