ag / ag-2-[ш 4-2]

 a₁₁x`<sup>2</sup>+a<sub>22</sub>y`²+F(x₀,y₀)=0 (2`), где F(x₀,y₀)=a₁₁x₀²+a₂₂y₀²+2a₁x₀+2a₂y₀+a₀.

Вывод. С помощью поворота с.к. и переноса начала с.к. в цент линии можно привести её ур-е к виду (2`). Т.о. L:a₁₁x²+a₂₂y²= -F(x₀,y₀).

Теорема о типах линий 2го порядка. ] L- линия 2го порядка. Тогда на пл-ти мож. Выбрать такую с.к. Oxy, в кот. ур-е линии L будет иметь один из 9ти видов. Д-во. Т.к., если 0  a₁₁0, a₂₂0, можно выбрать с.к., что L: L:a₁₁x²+a₂₂y²= -F(x₀,y₀), то возможны случаи: 1)sgn(a₁₁) = sgn(a₂₂) = sgn(F(x₀,y₀))  0  x²/(-F(x₀,y₀)/a₁₁) + +y²/(-F(x₀,y₀)/a₂₂)=1,] F(x₀,y₀)/a₁₁a², F(x₀,y₀)b² x²/a²+y²/b²= -1. 2) sgn(a₁₁)=sgn(a₂₂)sgn(F(x₀,y₀))0 x²/a²+y²/b²=1. 3)sgn(a₁₁)sgn(a₂₂), F(x₀,y₀)0  x²/a²-y²/b²=1, переименовывая при необх-ти коорд-ты. 4)sgn(a₁₁)=sgn(a₂₂), F(x₀,y₀)=0  a₁₁x²+a₂₂y²=0 (1/|a₁₁|=a²,1/|a₂₂|=b²) x²/a²+y²/b²=0. 5)sgn(a₁₁)sgn(a₂₂), F(x₀,y₀)=0  x²/a²-y²/b²=0. L: a₁₁x²+a₂₂y²+2a₁x+2a₂y+a₀=0, при этом a₁₁a₂₂=0. Не ограничивая общности, можем считать, что a₁₁=0  L: a₂₂y²+2a₁x+2a₂y+a₀=0. =dit|0,0; 0,a₂₂|=0, =dit|0,0,a₁₁; 0,a₂₂,a₂; a₁,a₂,a₀|=-a₂₂a₁². Имеем 2е возможности: =0, или 0. 0a₁ 0a₂₂y²+2a₂y+a₀= -2a₁x (a₂₂0)  y²+(2a₂/a₂₂)y+(a₀/a₂₂)= -2(a₁/a₂₂)x  (y+(a₂/a₂₂))²= -(2a₁/a₂₂) (x-[(a₂²/(2a₁a₂₂))-a₀/(2a₁)]). a₂/a₂₂=y₀, [(a₂²/(2a₁a₂₂))-a₀/(2a₁)=x₀  (y-y₀)²= -2(a₁/a₂₂)(x-x₀). Перенеся начало координат в (x₀,y₀) и сделав соотв. замену,, получим: 6)y²=2px (меняя напр-е оси x, можно читать p>0). Случай =0  a₁=0  L: y²+(2a₂/a₂₂)y+(a₀/a₂₂)=0  (y+a₂/a₂₂)²=a₂²/a₂₂²-a₀/a₂₂. Перенося начало координат, делая соотв. замены и рассматривая различ. случаи, получим: либо 7)y²=0, 8)y²= -a², 9)y²= -a².

Поверхность 2го порядка Ф:= всякое мн-во точек пр-ва, кот. в нек. афф.с.к. мож. задать ур-ем: a₁₁x²+a₂₂y²+a₃₃z²+2a₁₂xy+2a₁₃xz+2a₂₃yz+ +2a₁x+2a₂y+2a_az+a₀=0 (1). Пов-ть вращ-я. Oxyz – прямоуг-я декартова с.к., в пл-ти Oyz дана нек. кривая L:f(y,z)=0. Получили ур-е пов-ти, кот. описывает кривая L при вращ-ии вокруг oZ. Пусть L` - нек. положение кривой L при вращ-и, M и M` соотв-е точки, N – центр окр-ти, на кот. лежат M и M`. ] M=(0,y,z)  N=(0,0,z). ] M`=(x`,y`,z`). Найдём (x`,y`,z`) через y и z. z`=z, (y`²+x`<sup>2</sup>)=y  f((y`²+x`<sup>2</sup>),z`)=0. Отбросив штрихи,