AnalGeom

1. ВЕКТОРЫ.
Орт-|~a|=1.
Вектора КОЛЛИНЕАРНЫ, если лежат на парал прямых.
~a=~b, если |~a|=|~b|, ~а колл ~b, ~a сонапр ~b.
Вектора КОМПЛАРАНЫ, если лежат в одной или в парал пл-ях.
НУЛЕВОЙ вектор-концы совп. Они все равны.

Лин операции(из лин пространств):
1)~a+~b=~b+~a
2)(~a+~b)+~c=~a+(~b+~c)
3)~a+0=~a
4)~a+~a'=0
5)1*~a=~a
6)а(б*~a)=(а*б)~a
7)(а+б)~a=а~a+б~a
8)а(~a+~b)=а~a+а~b
9)~a*0=0

~a1, ~a2, ~a3, ... ~an ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫ, если сущ числа а1, а2, а3, ... аn, не все=0, такие что: а1*~a1+а2*~a2+...+аn*~an=0.

т. Необх и дост усл лин завис 2-х векторов явл их коллин.
Необх:
пусть ~a и ~b лин завис: а1*~a+а2*~b=0, а2<>0 => а1/а2*~a+~b=0 => ~b=-а1/а2*~a=Л*~a
Дост:
пусть ~a и ~b коллин, то ~b=Л*~a -> Л*~a-~b=0.
Следствие: если ~a не коллин ~b, то они лин не завис.

т. Необх и дост усл лин завис 2-х векторов явл их комплан.
аналогично.
Следствие: какова бы ни были неколлин ~a и ~b, любой ~c, лежащий в той же пл-ти, может бытьь записан в виде лин комбин ~a и ~b, те найдутся такие Л и Б, что ~c=Л~a+Б~b.

т. Любые 4 вектора лин завис.
Пусть любые 3 вектора из ~a, ~b, ~c, ~d некомплан.
~e=Л~a+Б~b, ~d=~e+Г~c=Л~a+Б~b+Г~c -> Л~a+Б~b+Г~c-~d=0
Следствие: каковы бы ни были 3 некомпл вектора, то любой ~d может быть представлен в виде из лин комб, те найдутся такие Л, Б, Г, что ~d=Л~a+Б~b+Г~c.

2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
Мн-во N эл-ов любой природы наз ЛИНЕЙНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ, если выполн след 3 требов:
1)Имеется правило, по кот любым 2-м эл-ам x и y 3 принадл R ставится в соотв 2-й эл-т, называемый суммой.
Z=x+y;
2)Им правило, по кот...Л-люб вещ число. U=Л*x;
3)Правила 1 и 2 подчин след аксиомам:
1)x+y=y+x
2)(x+y)+z=x+(y+z)
3)x+0=x
4)x+x'=0
5)1*x=x
6)а(б*x)=(а*б)x
7)(а+б)x=аx+бx
8)а(x+y)=аx+аy.

Следствия:
1)Нулевой эл-т явл единств
2)Противопол явл единств
3)x*0=0.

Подпростр лин пр-ва R наз любое подмн-во R, эл-ты кот сами образ лин пр-во.
ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Эл-ты x1, x2,...xn принадл R наз ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМОМЫМИ, если сущ числа а1, а2,..аn, не все =0, такие, что а1x1+а2x2...аnxn=0.
Левая часть выраж-ЛИНЕЙНОЙ КОМБИНАЦЕЙ эл-ов пр-ва.
Эл-ты x1, x2,...xn наз ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫМИ, если предыд рав-во выполн только при а1, а2,..аn=0.

т. Любая системы эл-ов, содерж нулевой эл-т-линейно завис.
x1=0, а1=1, а2=а3=аn=0 -> 1*0+0*x2+...0*xn=0.

т. Если часть сист эл-ов лин завис, то и вся сист лин завис.
x1, x2, x3-лин завис
а1*x1+а2*x2+а3*x3=0.

т. Если вся сист эл-ов лин независ, то любая ее часть тоже лин независ.
......

т. Если сист эл-ов лин завис, то хотябы 1 линейно представляется через другие.
а1*x1+а2*x2+...+аn*xn=0
Пусть а1<>0 -> x1=-а2/а1*x2-а3/а1*x3-...-аn/а1*xn.

т. Если 1 эл-т выраж в виде лин комбин всех остальных, то сист лин завис.
x1=а2*x2+а3*x3+...+аn*xn -> x1-а2*x2-а3*x3-...-аn*xn=0.

Если в лин пр-ве R сущ-ют n-лин независ эл-ов, а любые n+1-эл-ов явл лин завис, то пр-во R наз n-МЕРНЫМ ЛИНЕЙНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ.
В n-мерном лин пр-ве любая упоряд сист e1, e2,...en мн-ва независ эл-ов наз БАЗИСОМ этого пр-ва.
Если в лин пр-ве сущ n-лин независ эл-ов, а остальные эл-ты явл их лин комб, то пр-во n-мерно, а эти лин независ эл-ты-его БАЗИС.

КООРДИНАТЫ
Любой эл-т x лин n-мерного пр-ва можно разложить по базису, те представить в виде лин независ комб эл-ов базиса. Коэффициентом при разложении называются КООРДИНАТАМИ.
Координаты в данном базисе определяются однозначно, и при изменении базиса меняются.
Все лин операции над эл-ами соответствуют лин операциям над координатами.