Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южно-Уральский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

UMPh01.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.05.2015

Размер:

237.98 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

УМФ – семинар – К 5 – 1

2.4. Задача Неймана для стационарного уравнения

Кроме условий Дирихле, на границе могут быть условия других видов. Например,

Опр. 2.6. Пусть

Ω Rn − ограниченная область с гладкой границей

∂Ω C3;

= Ω [∂Ω − её замыкание.

Задачей Неймана для стационарного уравнения (граничной задачей II-го рода)

называется задача:

Найти функцию u(x) C2(Ω) TC(Ω) из условий:

∂~n (x) = ν(x),

x ∂Ω,

−∂udiv (k(x)grad u) + q(x)u = F (x),

Ω;

(2.11)

где ~n – вектор внешней нормали к поверхности Ω, ν(x) – заданная непрерывная функция,

называемая данными Неймана, а для заданных функций k(x),

q(x) и F (x) выполнены

условия (1.1) и:

k C1(Ω),

q, F C(Ω).

q(x) > 0,

В случае одной пространственной переменной задача принимает вид:

−

∂

k(x)∂u∂x

+ q(x)u = F (x),

x (0, l);

∂x

(2.12)

u0(0) = u0,

u0(l) = u1.

Самый простой случай, когда

k(x) ≡ a2 = const > 0,

q(x) ≡ 0,

n = 1,

получим краевую задачу II-го рода для уравнения Пуассона:

∂~n (x) = ν(x),

x ∂Ω,

∂uu = f(x) = −F (x),

Ω;

(2.13)

а если и F ≡ 0, – задачу Неймана для уравнения Лапласа.

Замечание 2.3. Условие II-го рода в одномерном случае принимает вид

u0(0) = u0,

u0(l) = u1

в силу того факта, что под нормалью к границе в случае одномерной ограниченной области (отрезка) понимается вектор, направленный вправо, на правом конце отрезка, и вектор, направленный влево, на левом его конце, откуда:

∂u	(0) = −u0(0),	∂u	(l) = u0(l).

∂~n		∂~n

c Д.С. Ткаченко

-7-

УМФ – семинар – К 5 – 1

2.5. Третья краевая задача

Кроме условий Дирихле, на границе могут быть условия других видов. Например,

Опр. 2.7. Пусть

Ω Rn − ограниченная область с гладкой границей

∂Ω C3;

= Ω [∂Ω − её замыкание.

Краевой задачей III-го рода) называется задача:

Найти функцию u(x) C2(Ω) TC(Ω) из условий:

α∂~n

(x) + βu(x) = χ(x),

x ∂Ω,

div (k(x)grad u) + q(x)u = F (x),

Ω;

(2.14)

−∂u

где ~n – вектор внешней нормали к поверхности Ω, χ(x) – заданная непрерывная функция,

называемая функцией краевого условия, а для заданных функций k(x), q(x) и F (x) вы-

полнены условия (1.1) и:

q(x) > 0,

k C1(Ω),

q, F C(Ω).

В случае одной пространственной переменной задача принимает вид:

−

∂

k(x)∂u∂x

+ q(x)u = F (x),

x (0, l);

∂x

(2.15)

−

αu0(l) + βu(l) = u1.

αu (0) + βu(0) = u ,

(Минус перед α во второй строчке возник в силу рассуждений, приведённых в замечании 2.3.)

Самый простой случай, когда

k(x) ≡ a2 = const > 0,

q(x) ≡ 0,

n = 1,

получим краевую задачу III-го рода для уравнения Пуассона:

α∂~n

(x) + βu(x) = χ(x),

x ∂Ω,

) = −

Ω;

(2.16)

∂u

(

)

а если и F ≡ 0, – задачу III-го рода для уравнения Лапласа.

2.6. Начально-краевые задачи

Наконец, если нестационарный процесс колебаний или телообмена происходит в ограниченной области, для корректной постановки задач нам потребуются как данные Коши, так и краевые условия.

c Д.С. Ткаченко

-8-

УМФ – семинар – К 5 – 1

Опр. 2.8. Пусть

Ω Rn − ограниченная область с гладкой границей ∂Ω C3;

[

Ω = Ω ∂Ω − её замыкание;

Q = Ω × (0, +∞) = {(x, t) | x Ω, t > 0} ;

Q = Ω × [0, +∞) = {(x, t) | x Ω, t > 0} ;

Q = Ω × [0, +∞) = (x, t) | x Ω, t > 0 .

Начально-краевой задачей для уравнения колебаний называется задача:

Найти функцию u(x) C2(Q) TC(Q ) из условий:

	ρ(x) ∂∂t22u − div (k(x)grad u) + q(x, t)u = F (x, t),					(x, t) Q;
u(x, 0) = ϕ(x),						x Ω;			(2.17)
ut(x, 0) = ψ(x),						x	(0, l);

	∂u	x,		ψ x	,	x		,
	∂t (		0) =				Ω
				( )
	∂u
	α∂~n (x) + βu(x) = χ(x, t),					x ∂Ω

где χ(x, t) – заданная непрерывная функция, называемая функцией краевого условия, ϕ(x), ψ(x) C(Ω) – данные Коши, а для заданных функций ρ(x), k(x), q(x) и F (x, t) выполнены условия (1.1) и:


ρ C(Ω), k C1(Ω),					q, F C(Q).

В случае одной пространственной переменной задача принимает вид:

	ρ(x) ∂∂t22u −			∂	k(x)∂u∂x + q(x, t)u = F (x, t),
	ρ(x) ∂∂t22u −			∂x	k(x)∂u∂x + q(x, t)u = F (x, t),
u(x, 0) = ϕ(x),
ut(x, 0) = ψ(x),

		α	∂u	βu			µ t ,
		α	∂~x (0) +	βu		(0) =	µ t ,
			∂~x (0) +			(0) =	( )
−

x (0, l);
x (0, l);		(2.18)
x	(0, l);

α∂u∂~x (l) + βu(l) = ν(t).

Вслучае, когда α = 0 получаем I-ю начально-краевую задачу, в случае β = 0 – II-ю, а при α · β 6= 0 – III-ю.

Самый простой случай, когда краевые условия I-го рода,

ρ(x) = ρ0 = const > 0,	k(x)	≡ a2 = const > 0, q(x) ≡ 0,
	ρ0

получим I-ую начально-краевую задачу для волнового уравнения:

utt − a2 u = f(x, t) =

u(x, 0) = ϕ(x),ut(x, 0) = ψ(x),

u(x, t) = µ(t),

F (x, t) , ρ0

x Ω;

x Ω; (2.19) x Ω;

x ∂Ω.

c Д.С. Ткаченко

-9-

УМФ – семинар – К 5 – 1

Опр. 2.9. Пусть Ω, Ω, Q и Q такие же, как в определении 2.8.

Начально-краевой задачей для уравнения теплопроводности называется задача:

	u x	C2,1(Q) C(Q )
Найти функцию	( )	∂u			T		из условий:	(x, t) Q;
	c(x)ρ(x) ∂t			− div (k(x)grad u) = F (x, t),				(x, t) Q;
α∂~n (x) + βu(x) = χ(x, t),								x ∂Ω		(2.20)
	x,		ϕ		x	,		x	Ω;
u(∂u		0) =		(	)				Ω;

где χ(x, t) – заданная непрерывная функция, называемая функцией краевого условия, ϕ(x) C(Ω) – данные Коши, а для заданных функций c(x), ρ(x), k(x) и F (x, t) выполнены условия (1.1) и:

c(x) > c0 > 0, ρ(x) > ρ0 > 0,

k(x) > k0 > 0,

ρ C(Ω),

k C1(Ω),

F C(Q).

В случае одной пространственной переменной задача принимает вид:

−

∂

k(x)∂u∂x + q(x)u = F (x),

x (0, l);

∂x

u(x, 0) = ϕ(x),

(0, l);

(2.21)

∂u

α∂~x (0) + βu(0) = µ(t),

t > 0;

−∂u

t > 0.

α∂~x (l) + βu(l) = ν(t)

В случае, когда α = 0 получаем I-ю начально-краевую задачу, в случае β = 0 – II-ю, а при

α · β 6= 0 – III-ю.

Самый простой случай, когда краевые условия I-го рода,

k(x)

c(x) = c0 = const > 0,

ρ(x) = ρ0 = const > 0,

≡ a2 = const > 0,

c0ρ0

получим I-ую начально-краевую задачу вида:

ut − a2

F (x, t)

x Ω;

u = f(x, t) =

c0ρ0

(2.22)

u(x, 0) = ϕ(x),

Ω;

u(x, t) = µ(t),

∂Ω.

Пример 2.1. Поставить начально-краевую задачу для уравнения колебаний струны на отрезке x [0, l] с начальным отклонением ϕ(x), нулевой начальной скоростью струны и однородными краевыми условиями

•I-го рода на левом конце и

•II-го рода на правом.


Уравнение колебаний на отрезке [0, l] принимает вид:
	∂2u		∂		∂u
ρ(x)		−		k(x)		+ q(x, t)u = F (x, t),		x (0, l).
ρ(x)	∂t2	−	∂x	k(x)	∂x	+ q(x, t)u = F (x, t),		x (0, l).
Начальное отклонение ϕ(x) означает, что:
				u(x, 0) = ϕ(x),			x (0, l).
Начальная скорость равна нулю, то есть:
				ut(x, 0) = 0,			x (0, l).
c Д.С. Ткаченко				-10-

УМФ – семинар – К 5 – 1

Однородное краевое условие I-го рода на левом конце (при x = 0) имеет вид:

u(0, t) = 0, t > 0,

а однородное краевое условие II-го рода на правом конце (при x = l), соответственно, вид:

ux(0, t) = 0,

t > 0.

Собрав все эти условия воедино, получаем задачу:

x (0, l);

ρ(x) utt

− (kT(x)ux)x + q(x, t)u = F (x, t),

Найти функцию u(x)

2(Q) C(Q ), где Q и Q заданы в определении 2.8, из условий:

u(x, 0) = ϕ(x),

x (0, l);

ut(x, 0) = 0,

x (0, l);

u(0, t) = 0,

t > 0;

ux(l, t) = 0,

t > 0.

где

ϕ(x), ψ(x)

C[0, l]

, а для заданных функций

ρ(x), k(x), q(x)

F (x, t)

выполнены

обычные условия:

q, F C [0, l] × [0, +∞) .

ρ(x) > ρ0 > 0, k(x) > k0 > 0,

ρ C[0, l], k C1[0, l],

Пример 2.2. Поставить начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности на отрезке x [0, l] с начальным распределением температуры ϕ(x) и однородными краевыми условиями

•III-го рода на левом конце и

•I-го рода на правом.

Уравнение теплопроводности на отрезке [0, l] принимает вид:

c(x)ρ(x) ut − (k(x)ux)x = F (x, t),

x (0, l).

Начальное распределением температуры ϕ(x) означает, что:

u(x, 0) = ϕ(x),

x (0, l).

Однородное краевое условие III-го рода на левом конце (при x = 0) имеет вид:

−αux(0, t) + βu(0, t) = 0, t > 0,

а однородное краевое условие I-го рода на правом конце (при x = l), соответственно, вид:

u(0, t) = 0, t > 0.

Собрав все эти условия воедино, получаем задачу:

		T
Найти функцию u(x) C2,1(Q) C(Q ), где Q и Q заданы в определении 2.8, из условий:
u(x, 0) = ϕ(x),					x		x (0, l);
	c(x)ρ(x) utt		−	(k(x)ux)	x	= F (x, t),	x	(0, l);
		αux(0, t) + βu(0, t) = 0 = 0,					t > 0;

−							t > 0,
u(l, t) = 0,							t > 0,

где α, β – заданные числа, ϕ(x) C[0, l], а для заданных функций c(x), ρ(x), k(x) и F (x, t) выполнены обычные условия:

c(x) > c0 > 0, ρ(x) > ρ0 > 0, k(x) > k0 > 0, ρ C[0, l], k C1[0, l],

F C [0, l] × [0, +∞) .

c Д.С. Ткаченко

-11-

УМФ – семинар – К 5 – 1

Задание на самостоятельную работу:

1)подставить размерность всех физических величин, входящих в одномерные уравнения колебаний (1.3), теплопроводности (1.7) и двумерное уравнение (1.10) стационарного распределения температуры и убедиться, что эти уравнения не нарушают равенства размерностей;

2) Поставить начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности на отрезке x [0, l] с нулевым начальным распределением температуры и однородными краевыми условиями III-го рода на левом конце и II-го рода на правом;

3)Поставить начально-краевую задачу для уравнения колебаний на отрезке x [0, l] с нулевым начальным отклонением, начальной скоростью ψ(x) и однородными краевыми условиями II-го рода на левом конце и I-го рода на правом;

4)Поставить краевую задачу для уравнения Пуассона в прямоугольнике x [0, l], y [0, s]

однородными краевыми условиями II-го рода на левой и нижней сторонах и III-го рода на правой и верхней;

5)Поставить краевую задачу Неймана для уравнения Пуассона в прямоугольнике x [0, l], y [0, s];

6) Поставить начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности на отрезке x [0, l] с нулевым начальным распределением температуры и однородными краевыми условиями Дирихле на обоих концах;

7)Поставить начально-краевую задачу для уравнения колебаний на отрезке x [0, l] с

начальным отклонением sin πxl , начальной скоростью 1 и однородными краевыми условиями Неймана на обоих концах;

8)Поставить краевую задачу для уравнения Пуассона в прямоугольнике

x [0, l], y [0, s]

однородными краевыми условиями Дирихле на левой и правой сторонах и Неймана на нижней и верхней;

9)Поставить краевую задачу Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике x [0, l], y [0, s].

c Д.С. Ткаченко

-12-

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.05.20156.05 Mб150uchebnoe_posobie.doc
#
09.11.2019907.26 Кб4Uchebnoe_posobie_Proizvodstvennaya_praktika.doc
#
16.03.201664.51 Кб10Ugolovnoe pravo 2 kurs SOO Kontrol`naia rabota (obshchaia chast`).doc
#
19.12.2018193.54 Кб7Ugolovnoe_Administrativnoe_Ekologicheskoe.doc
#
06.05.2019257.74 Кб7UMK_MSI_SO_DO_2008-09.docx
#
09.05.2015237.98 Кб48UMPh01.pdf
#
12.11.20181.38 Mб46UMP_Obshaya_chast.doc
#
08.05.20152.25 Mб34UNIT 1.doc
#
09.11.201983.46 Кб2Unit 10 Alexander II.doc
#
08.05.20152.22 Mб30UNIT 2.doc
#
08.05.2015290.45 Кб17UNIT 2.docx