Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Типовой расчёт №4 - вычисление интегралов

.pdf
Скачиваний:
27
Добавлен:
08.05.2015
Размер:
200.01 Кб
Скачать

Расчетно-графическая работа по теме "Интегралы"

для студентов первого курса энергетического факультета

1. Непосредственное интегрирование

1. а)

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

, б)

 

 

 

 

 

 

 

p

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, в)

 

 

 

 

 

 

dx

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3 5x)10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

4

 

 

 

 

ln2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x2

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. а) R px3+1 , б)

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, в) R

 

p5

 

3e4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

x

 

 

, в)

 

 

 

 

 

 

 

eR

 

 

 

 

 

dx:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

2x2+7

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. а)

cos3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, б)

 

 

 

 

 

 

 

 

5 e

4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. а) R

 

xdx

, б)

 

R

 

R e 2

 

 

 

 

dx, в)R

 

R

 

x2

 

tg(x3)dx:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3+2x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

sin xdx

 

 

 

 

 

p16 e exdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. а)

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, б)

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, в)

 

 

 

 

 

p

 

 

sin2 p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 9 cos2 x

 

 

 

 

 

2+5ex

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

Rcos(3

 

 

 

 

 

2x3)dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. а)

2+5e2x

 

, б)

 

 

 

 

px2 2 , в)

 

 

 

 

 

cos

 

 

2 xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

sin(2x)

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

etg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xdx

 

 

 

 

 

7. а) R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R , б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 cos(2x) 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x (4 ln

2

 

x 9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p3

sin2 xdxR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

, в)

R

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x dx:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 3x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4dx

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. а) R

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

, б) x

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

R

 

, в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

x ln

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2+x10

cos p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

(2 ln x)4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e1 arctg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

dx:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, в)

 

 

 

 

 

 

 

3p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

7x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

а) R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, б)

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, в)

 

 

 

 

 

 

x

 

 

3R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x (2 3 ln x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

p2

 

 

 

 

x6

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin2 x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.

а)

R

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, б)

 

 

 

 

 

25x

 

, в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex

 

sin2(e x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.

а)

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5+2x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2 tg x) , б)R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R , в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.

а)

R

e1 x2

 

 

x

 

 

 

 

 

 

dx, б) R

 

 

 

 

 

 

 

xdx

 

, в)

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

px4 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

px cos

 

 

 

px

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.

а)

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

, б)

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

px

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pe2x 2

 

 

 

 

 

, в)

 

 

 

4+5x8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.

а)

R

 

 

 

 

 

 

 

 

sin(1 xR )dx, б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7+x4R

 

, в)

 

 

 

 

 

 

 

 

p9

 

 

3e2x dx:

 

17.

а)

R

e2x

 

 

 

cos(e2x)dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rx4dx

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, б)

 

 

 

 

 

 

 

p2+x10

 

 

 

, в)

 

 

 

 

 

 

 

 

p1 x2 (1+3 arcsin x)

 

 

 

 

xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

earcsin x dx:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

sin xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.

а)

7+x2 , б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2p1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p1+3 ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.

а) R

e dx

dx, Rб)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx, в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx:

 

 

 

 

 

 

4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 3 cos 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

+5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xdx

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.

а)

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 + 3x

 

 

R

 

, в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p5+ln2 x , б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

xcos xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

p5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rep

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21.

а)

 

 

 

 

 

 

 

, б)

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

5

2x dx, в)

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

dx:

 

 

 

 

 

 

 

4 sin2 x+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

52

 

 

ln x

 

 

dx :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22.

а) R

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

R

 

 

, б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, в)R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x p2 ln2 x+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x3dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

exdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23.

а) R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, б)

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

8 R

 

 

 

dx, в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p1 9e2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

px4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

1

 

+3

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2dx

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24.

а)

R

p

 

 

 

 

, б)

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

, в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5+3x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 7 sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+3 ln x

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg(2

 

 

 

 

 

 

3x)

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

25.

а)

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

, в)

 

 

 

 

 

e

x

(7 4e

x

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, б)

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26.

а)

R

3+5xe x dx, б)

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

, в)

R

(2 ln x)3

dx:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2 3 tg x) cos

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 tg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x R

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27.

а)

cos2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x p1 5 ln x , в)

 

 

 

p8 3x8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28.

а) R

 

 

 

 

e

3x

 

 

 

 

 

dx, б)R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xdx

 

 

 

 

 

, в)R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 2e

3x

 

 

 

 

 

sin

2

 

 

 

 

 

2

+3)

 

 

(2x+1) ln (2x+1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

tg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1+4 ln x)4

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg (3x2

 

 

2)xdx:

29.

а) R

 

 

 

cos2 xR, б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

R

 

 

, в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos(e

 

 

 

 

 

3)

 

e

 

dx:

30.

 

R

x

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, б) R x (3+5 ln2 x) , в) R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Интегрирование по частям

1: R (4 3x) e 3xdx

2: R (3x + 4) e3xdx

R

3: (3 16x) sin 4xdx

4: R (1 6x) e2xdx

R

5: (4x 3) cos 2xdx

6: R (5x 2) e3xdx

7: R ln (x2 + 4)dx

8: R ln (4x2 + 1)dx

R

9: (3 4x) sin 2xdx

10: R (4x 3) e 2xdx

11: R (2 9x) e 3xdx

R

12: (5x + 6) cos 2xdx

R

13: (2x 5) cos 4xdx

R

14: (3x 2) cos 5xdx

R

15: (4x + 7) cos 3xdx

3. Замена переменной

2: R

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2dx

 

 

 

 

 

 

 

1: 2+px+1

 

 

 

 

3: R

 

p

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4: R

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x+2

 

 

 

 

 

 

px+2

 

 

 

 

 

 

 

5: R x dxx 1

 

 

 

 

 

 

6: R

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3+dxx

 

 

 

 

 

 

 

7: R

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

px dx

 

 

 

 

 

 

 

8: R

 

x (x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9: R

 

x+2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2+

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10R:

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x+1 dx

 

 

2+ px

 

1

 

 

 

 

R

 

p

xp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12: R

 

 

+2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

px 1

 

 

 

dx

11:

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 xdx

13: R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

2x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

pxdx

 

 

15: R

 

px+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

3 xx

 

14:

R

 

p

 

+2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x+1

 

 

 

 

 

 

 

17: R

(2

 

3x)

sin 2xdx

16:

(8

 

 

 

3x)

 

cos 5xdx

18: R x+42x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19: R (ex + 5)

 

sin 3xdx

21: R

(1

 

 

 

8x)

sin 3xdx

20: R

(4x + 3)

 

sin 5xdx

22: R

 

x

 

dx

 

 

 

 

2

 

 

 

23: R

 

sinx x

dx

 

 

 

 

2

 

 

 

24: R

 

cos x

 

 

 

 

 

x2

 

ln xdx

 

26: R

ln (2x2

 

 

3)dx

25: R

x

arctg xdx

27: R

 

ln x

dx

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

28: R

(2 + 3x) e

2xdx

29: R

(x + 3)

 

sin x dx

30: R

(1 + 2x)

 

cos x dx

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

17: R

 

 

x+1

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

2 dx

16:

R

 

 

px

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

3+px+2

18.

 

 

xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

p

+3

 

 

dx

19.

 

x 1

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

20.

R

x

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

x dxx

 

dx

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

21.

R

4 dx

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

p

x

 

 

 

 

 

 

 

23.

 

px dx

 

 

 

 

 

22.

R

 

p (x+4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

x 5

 

 

 

 

 

 

 

 

24.

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x+2

 

 

 

 

3+ xdx

 

 

 

 

 

25.

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 2

 

dx

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26.

R

 

 

2x 1+2

 

 

 

xp

 

 

 

+ xdx

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27.

R

 

 

 

 

 

 

 

xx+2

3

dx

 

 

 

 

 

28.

R

 

3 dx

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

29.

R

 

 

2x 3

 

 

 

 

 

 

pxdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

R

 

2x+1+2

 

30.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

4

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

4. Интегрирование тригонометрических функций

1.

 

sin3 x dx

 

 

 

 

16.

 

cos3 x

2xdx

 

 

2.

R

sin3

2

 

 

cos5 x dx

17.

R

cos3

2

 

 

sin5

 

 

x

2x

 

2xdx

 

R

sin2 x

cos3 xdx

 

R

sin3 x

 

cos2 xdx

3.

R

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

18.

R

 

sin3 x

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

cos3 x

dx

 

 

 

 

19.

 

dx

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

5.

R

 

sin

2

x2 dx

 

 

 

 

20.

R

 

sin

2

2x dx

 

 

 

 

 

R

 

cos5 x

 

 

 

 

 

 

R

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

42x

 

 

 

 

 

 

7.

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22.

R

 

sin52

 

x

 

 

 

 

 

 

sin2

3x

 

cos2 3xdx

 

2x dx

 

 

 

 

6.

R

sin

 

2xdx

 

 

21.

R

cos

 

 

2 dx

 

 

 

 

 

 

sin3 d

 

 

 

 

cos3

 

d

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

cos

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

8.

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

23.

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

9.

tg2 5xdx

 

 

24.

ctg2 3xdx

 

 

R

R

sin5 x

 

p

 

R

cos5 x

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin xdx

 

 

cos xdx

26.

 

11.

sin4 x

 

 

 

 

 

R

cos4 x

 

 

 

 

 

 

10.

R

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

25.

R

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx x

 

 

 

 

 

 

 

 

dx x

 

 

 

 

 

 

12.

R

 

 

 

 

 

 

27.

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin4 2

 

 

 

 

2

 

 

cos4

 

2

 

 

 

 

 

2

 

13.

R (1 + 2 sin x)3dx

28.

R (1

 

 

 

2 cos 2x)3dx

 

 

 

(1 + 3 cos 2x) dx

 

 

(1 + 2 sin 3x) dx

14.

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29.

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos4 xdx

30.

cos2 x

sin4 xdx

 

 

R sin2 x

 

 

R

 

5. Тригонометрические подстановки

1.

R

 

x2dx

 

 

 

 

 

16.

R

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2dx

 

 

 

 

 

 

p4 x2dx

R

 

p4 x2

 

 

 

 

 

R

 

x p2+x2

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

17.

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p5

 

 

x2dx

R

 

p

3 x2

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

x

 

 

dx

 

 

 

 

 

18.

 

x2dx

 

 

 

R

2

 

p

1+x2

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

19.

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

R

 

x2

 

p

9+x2

 

 

 

R

 

p

9 x2

 

 

 

 

 

5.

 

 

 

dx

 

 

 

 

20.

 

x

 

dx

 

 

 

 

R

 

x2

 

p

x2

 

2

 

 

 

R

 

 

2

 

p

4+x2

 

 

 

6.

 

p1+4x2 dx

21.

 

p4

 

4x2 dx

 

 

R

 

x2

p

x2 4

 

 

 

R

 

x p

x2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p9+4x2 dx

 

 

p5

2x2 dx

 

 

7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

 

 

 

 

 

 

 

 

23.

 

 

 

x dx

 

 

 

 

 

p

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

R

 

p3 x2

 

 

 

 

 

24.

R

 

pp(9 x2)3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2+x2)3

 

 

 

 

R

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

dx

 

dx

 

 

 

 

x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

10.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25.

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

R p dx

 

 

 

 

 

 

R

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

11.

 

 

 

 

 

26.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

(1+x2)3

 

 

x

 

p

4+x2

 

 

 

 

 

 

R pp(1 x2)3

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2dx

 

 

 

12.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27.

 

x

 

 

p3

 

 

x dx

R p

(3+x2)3

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.

(4 x2)3

dx

28.

 

p

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

2 x2

 

 

 

 

14.

 

 

 

dx

 

 

 

 

dx

29.

 

x

 

dx

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

x6

 

 

 

 

R

 

 

2

 

p

5+x2

 

 

 

15.

x p

 

 

30.

 

x p

 

 

 

 

 

1+x2

 

 

 

x2 5

 

 

 

 

6. Интегралы с квадратным трехчленом

1.

R

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

16.

R

p

 

 

 

 

dx

 

x2+4x+5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2+4x+29

 

2.

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

17.

 

x dx

 

 

 

 

 

x

2

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

dx

 

R

 

 

 

 

 

 

 

6x+13

 

R

 

 

 

+2x+2

3.

 

p

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

18.

p

x

 

dx

 

R

 

x2

+2x+3

R

 

 

 

2

+2x+2

4.

 

p

 

 

 

 

 

19.

p

 

 

 

 

 

1 2x x2

 

 

9x2 6x+2

5.

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

20.

 

 

 

dx

 

 

 

 

2

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

6.

R

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21.

R

9x2 dx

 

R

 

x +3x+3

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

6x+2

 

 

 

x

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x dx

8.

R

 

 

 

 

 

 

2x+5

 

 

 

 

 

23.

R

p

 

 

 

 

4x+17

 

p

 

 

 

dx

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2 dx

7.

R

 

x2

+4x+29

 

 

22.

R

p

4x2 4x+17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

dx

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x

dx

9.

R

 

 

 

 

 

4x

 

 

 

 

 

 

24.

R

 

 

 

6x+4

 

p

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

2x x2

 

 

 

x2

+4x+5

 

 

 

 

10.

R

p

 

 

 

25.

R

p

 

 

x2 6x+13

9x2+6x+2

11.

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

26.

 

 

 

dx

 

 

 

2

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

9x

2

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

dx

 

 

R

x +2x+3

 

R

 

 

 

 

 

+6x+2

12.

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

27.

p

 

 

 

 

dx

 

 

1

 

 

 

2x x2

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

R

4x2+4x+17

13.

p

x

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

28.

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

4x2+4x+17

 

R

 

 

2

+3x+3

R

14.

p

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

29.

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

x2+6x+13

 

R

x2

2x+5

R

15.

p

 

 

30.

p

 

 

x2 2x+5

 

x2+6x+13

7. Рациональные дроби

1.

а)

R

 

x2dx ; б)

Rб)

 

 

 

x 4

 

 

 

 

 

dx:

 

 

 

 

 

2.

а)

 

 

4x

 

 

dx;

 

 

 

3x

 

3

 

 

 

 

 

 

dx:

 

 

 

 

 

 

 

x+2

 

 

 

 

 

 

(x 2)(x 3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

2+2x

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

а)

 

3+x dx; б)

 

 

 

 

x+2

 

dx:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

2

dx:

 

 

4.

а)

R

 

 

 

 

 

 

 

dx; б)R

2

3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

а) R

 

2x

 

 

1

dx; б)

R

 

 

 

x2 5x+1

 

 

 

dx:

 

 

 

x 2

 

 

 

32x

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) R

 

 

x+2

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

2+x+4

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

x2

1 dx; б)

 

 

 

3

7x 2

 

 

 

 

 

 

 

dx:

 

 

 

 

 

2x+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x +x +4x+4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) R x2

+1 dx; б) R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

(x+1)2(x2+1) dx:

 

8. а) R

 

x +1

 

 

 

 

 

 

 

R

x

2x +5x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x2+2x+1

 

 

 

 

 

 

x2

1 dx; б)

x3

+4x :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) R

 

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R;

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. а)R

 

 

 

 

 

2x

 

 

1

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

dx:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx:

 

 

 

 

 

3x

 

 

dx; б)

 

 

 

 

 

3R5x2 14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 1)(x 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x+1

 

 

 

 

 

 

 

x x 4x+4

 

 

 

 

 

 

2 x dx; б)

 

 

 

 

11. а)

 

 

 

 

11x+16

 

 

dx:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

R

 

x 1 dx

 

 

 

R

 

 

(x

5x

 

28

 

 

 

dx:

 

 

 

 

 

 

 

2+x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)(x+2)

 

 

 

 

 

12. а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; б)

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 4x +4x

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

3x+4 dx; б) R

 

 

 

 

 

 

13. а)

 

 

 

3x+4

dx:

 

 

 

 

 

2

 

:

14. а)

R

 

2x22+1 dx; б)R

 

x(x+1)

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

x2 dx

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

dx:

 

 

 

 

 

15. а) R

 

x

 

 

 

 

3

; б) R

 

 

 

 

 

(x+1)(x+2)(x+3)

 

 

1 x

 

 

 

 

 

x(x2+3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.

а)

 

x2

 

dx; б)

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

1+x

 

x3+x2+2x+2

 

 

 

 

 

 

а) R

 

 

dx

dx;R б)

 

 

 

 

x2

 

x+14

 

 

 

17.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

dx:

2

+2x+2

 

 

 

 

 

 

 

(x 2)

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

(x 4)

 

 

 

 

 

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

2x2+5x+5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.

а) R

 

 

 

 

 

dx; б)

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx:

 

 

 

2

+9

 

(x+3)(x+1)

2

 

 

 

 

а) R

x

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.

x2+3 dx; б)

 

 

5x2 2x+3

 

 

 

 

dx:

 

а) R

2x 1

 

 

 

R

 

x(x 3)(2x 1)

 

 

 

 

20.

x3 3 dx; б)

 

 

 

x22 4

 

 

 

 

 

 

dx:

 

 

 

 

 

 

x+5

 

 

 

 

(x+1) (x 1)

 

 

 

 

 

 

а) R x3 1 dx; б) R

 

 

 

 

 

21.

 

 

 

 

 

 

7x+1

 

 

 

 

 

 

 

 

dx:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) R

x+2

 

 

 

R

 

 

 

+1)(x

 

2)(x+3)

 

22.

6x2

 

dx; б)

(x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

dx:

 

 

 

2x 1

 

 

(x+1)(2x+1)

 

 

 

 

а) R

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

23.

3x 1 dx; б)

 

 

 

2x2+41x 91

 

 

dx:

 

 

 

3x+2

 

 

 

 

 

(x 1)(x+3)(x 4)

 

 

а) R

 

2

+2 dx; б)R

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24.

3x2

 

 

 

 

2 3x+2

 

 

 

dx:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) R

3x

 

1

 

R

 

x(x +2x+1)

 

 

 

 

 

 

2x4

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25.

 

dx; б)

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2+2

x4 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

3x4

 

 

 

R

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26.

а)

 

dx; б)

 

x

dx:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 2

1 x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27.

а)

R

2x3

 

dx; б)

R

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

dx:

 

 

 

2x+1

 

 

(x 1)(x+1)

2

 

 

 

 

а) R

2x 1 dx; б) R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28.

 

 

dx

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) R

3x+2

 

 

 

R

 

 

+4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

 

 

2

 

 

 

 

 

x

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29.

 

 

 

 

dx; б)

 

 

2

 

3

dx:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

2x+1

 

 

 

R

 

x

 

+x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30.

 

5x2

 

 

4 dx

 

 

x2+3x+4

 

 

 

 

dx:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) R

x2+3

; б) R (x 1)(x+1)2

 

 

 

 

8. Вычисление площадей

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y = ax2 + bx + c и прямой Ax +

By + C = 0 (значения коэффициентов приведены в таблице).

Вариант

a

b

c

A

B

C

 

 

 

 

 

 

 

1:

41

1

1

1

2

2

2:

1

1

0

1

1

1

3:

3

 

1

1

1

2

2

4

 

4:

 

1

2

 

1

1

3

1

3

3

 

5:

 

1

1

4

2

3

2

3

3

6:

1

 

 

3

1

1

2

1

2

 

2

7:

1

5

6

2

1

6

8:

 

1

7

 

1

1

2

2

6

6

 

9:

3

 

 

7

2

1

1

1

2

 

2

10:

1

 

1

 

2

2

1

3

2

 

2

 

11:

21

23

1

3

2

1

12:

23

23

2

3

2

1

13:

 

1

3

 

1

3

2

1

2

2

 

14:

3

 

 

3

1

3

2

1

2

 

2

15:

 

3

3

 

2

3

2

1

2

2

 

16:

1

 

 

3

1

3

2

3

2

 

2

17:

5

 

 

3

1

3

2

3

2

 

2

18:

21

23

2

3

2

3

19:

7

 

 

3

2

3

2

3

2

 

2

20:

1

2

1

1

1

1

21:

 

3

5

 

2

1

1

1

2

2

 

22:

3

 

 

1

1

1

1

1

2

 

2

23:

1

 

5

 

1

3

2

3

6

 

6

 

24:

7

 

13

2

4

1

5

2

 

 

2

25:

3

 

 

1

2

4

1

5

2

 

2

26:

1

 

1

 

1

2

3

5

3

 

3

 

27:

2

32

1

2

3

5

28:

 

2

4

 

3

2

3

5

3

3

 

29:

1

 

1

 

1

1

1

2

2

 

2

 

30:

3

 

 

1

1

1

1

2

2

 

2

9.Физические задачи

1.Скорость движения пропорциональна квадрату времени и в конце четвертой секунды равна 1 см/с. Чему равен путь пройденный за первые 10с.?

2.Скорость движения пропорциональна квадрату времени и в конце четвертой секунды равна 2 см/с. Чему равен путь пройденный за первые 8с.?

3.Известно, что сила, противодействующая растяжению пружины, пропорциональна удлинению её (закон Гука). Растягивая пружину на 4 см, произвели работу в 100 Дж. Какая работа будет произведена при растягивании пружины на 10 см?

4.Известно, что сила, противодействующая растяжению пружины, пропорциональна удлинению её (закон Гука). Растягивая пружину на 3 см, произвели работу в 50 Дж. Какая работа будет произведена при растягивании пружины на 5 см?

5.Известно, что сила, противодействующая растяжению пружины, пропорциональна удлинению её (закон Гука). Чтобы растянуть пружину на 2 см, нужно произвести работу в 20 Дж. Насколько можно растянуть пружину, затратив работу в 80 Дж?

6.Известно, что сила, противодействующая растяжению пружины, пропорциональна удлинению её (закон Гука). Чтобы растянуть пружину на 3 см, нужно произвести работу в 40 Дж. Насколько можно растянуть пружину, затратив работу в 60 Дж?

7.Скорость нагревания тела пропорциональна квадрату времени и в конце пятой секунды равна 8 С. На сколько градусов нагреется тело от момента T0 = 3 с. до момента T1 = 10

c.?

8. Скорость нагревания тела пропорциональна квадрату времени и в конце третьей секунды равна 10 С. На сколько градусов нагреется тело от момента T0 = 2 c. до момента

T1 = 4 c.?

9. Скорость охлаждения тела пропорциональна e 2t и в конце третьей секунды равна

2 С. На сколько градусов охладится тело от момента T0 = 1 c. до момента T1 = 3 c.?

10. Скорость охлаждения тела пропорциональна e 3t и в конце второй секунды равна

3 С. На сколько градусов охладится тело от момента T0 = 1 c. до момента T1 = 3 c.?

11.Переменный ток i пропорционален sin 4t и в конце второй секунды равен 3 А. Какое количество электричества протечет через поперечное сечение проводника за промежуток времени от t1 = 1 c. до t2 = 3 c.?

12.Переменный ток i пропорционален sin 6t и в конце третьей секунды равен 4 А. Какое количество электричества протечет через поперечное сечение проводника за промежуток времени от t1 = 1 c. до t2 = 2 c.?

13.Переменный ток i пропорционален sin 3t и в конце первой секунды равен 2 А. Какое количество электричества протечет через поперечное сечение проводника за промежуток времени от t1 = 0; 5 c. до t2 = 1; 5 c.?

14.Электрическая цепь питается батареей аккумуляторов. В течении 10 минут напря-

жение на клеммах равномерно падает от E0 = 60 В до E = 40 В. Сопротивление цепи

R = 20 Ом. Найти количество электричества, протекающее через цепь за 10 минут.

15. Электрическая цепь питается батареей аккумуляторов. В течении 5 минут напряжение на клеммах равномерно падает от E0 = 40 В до E = 30 В. Сопротивление цепи R = 10

Ом. Найти количество электричества, протекающее через цепь за 5 минут.

16. Электрическая цепь питается батареей аккумуляторов. В течении 10 минут напряжение на клеммах равномерно падает от E0 = 30 В до E = 10 В. Сопротивление цепи

R = 20 Ом. Найти количество электричества, протекающее через цепь за 10 минут.

17.Напряжение электрической цепи равномерно падает, уменьшаясь на 1,5 В в минуту. Первоначальное напряжение цепи E0 = 120 В., сопротивление цепи R = 60 Ом. Найти работу тока за 5 минут. Индуктивностью и емкость пренебрегаем.

18.Напряжение электрической цепи равномерно падает, уменьшаясь на 2,5 В. в минуту. Первоначальное напряжение цепи E0 = 60 В., сопротивление цепи R = 30 Ом. Найти работу тока за 10 минут. Индуктивностью и емкость пренебрегаем.

19.Напряжение электрической цепи равномерно падает, уменьшаясь на 2 В. в минуту. Первоначальное напряжение цепи E0 = 90 В., сопротивление цепи R = 20 Ом. Найти работу тока за 15 минут. Индуктивностью и емкость пренебрегаем.

20.В цепь равномерно вводится напряжение. В начале опыта напряжение равно нулю. По истечении минуты напряжения достигает 120 В. Сопротивление цепи равно 100 Ом. Индуктивностью и емкость пренебрегаем. Найти работу тока в течение одной минуты.

21.В цепь равномерно вводится напряжение. В начале опыта напряжение равно нулю. По истечении минуты напряжения достигает 90 В. Сопротивление цепи равно 80 Ом. Индуктивностью и емкость пренебрегаем. Найти работу тока в течение двух минуты.

22.В цепь равномерно вводится напряжение. В начале опыта напряжение равно нулю. По истечении минуты напряжения достигает 80 В. Сопротивление цепи равно 100 Ом. Индуктивностью и емкость пренебрегаем. Найти работу тока в течение одной минуты.

23.Вычислить работу, которую необходимо затратить для того, чтобы выкачать воду, наполняющую цилиндрический резервуар высотой h = 5 м, имеющий в основании круг радиуса r = 3 м. Ускорение свободного падения g положить равным 10 м/c2.

24.Вычислить работу, которую необходимо затратить для того, чтобы выкачать воду, наполняющую цилиндрический резервуар высотой h = 3 м, имеющий в основании круг радиуса r = 2 м. Ускорение свободного падения g положить равным 10 м/c2.

25.Вычислить работу, которую необходимо затратить для того, чтобы выкачать воду, наполняющую цилиндрический резервуар высотой h = 4 м, имеющий в основании круг радиуса r = 3 м. Ускорение свободного падения g положить равным 10 м/c2.

26.Скорость движения пропорциональна четвертой степени времени и в конце второй секунды равна 4 см/с. Чему равен путь пройденный за первые 3 секунды?

27.Известно, что сила, противодействующая растяжению пружины, пропорциональна

удлинению её (закон Гука). Растягивая пружину на 3 см, произвели работу в 80 Дж. Какая

работа будет произведена при растягивании пружины на 5 см?

28.Скорость нагревания тела пропорциональна четвертой степени времени и в конце второй секунды равна 10 С. На сколько градусов нагреется тело от момента T0 = 1 c. до момента T1 = 3 c.?

29.Скорость охлаждения тела пропорциональна e 2t и в конце четвертой секунды равна

3 С. На сколько градусов охладится тело от момента T0 = 2 c. до момента T1 = 4 c.?

30. Переменный ток i пропорционален sin 3t и в конце второй секунды равен 2 А. Какое количество электричества протечет через поперечное сечение проводника за промежуток времени от t1 = 1 c. до t2 = 2 c.?

10. Несобственные интегралы

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

 

1

 

 

dx

 

 

 

 

 

1.

R

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x2+4x+13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

dx

 

 

 

 

 

2.

R

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

x(ln x)3

 

 

 

3.

1

 

 

x+2

 

 

 

dx

R

 

2

3

 

 

0

x +2x+2

4.

1

x2e x dx

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

xdx

 

 

 

 

 

5.

R

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

(x2+2)3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

dx

 

 

 

 

 

6.

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

R

xe 2

dx

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

dx

 

 

 

 

 

8.

R

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

x2 8x+17

 

 

1

 

xdx

 

 

 

 

 

9.

R 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

px2+1

 

 

3

 

 

 

 

 

 

0

R

10.tgxdx

0

11.

R7

 

 

 

dx

 

1+cos x

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.

1R

 

 

 

dx

 

 

p

 

 

 

 

 

 

1

3

 

7 x

 

 

 

 

 

 

13.

xe x2 dx

0

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

dx

14.

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1 cos 2x

 

 

 

1

 

 

 

dx

15.

R

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

(x+3)4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.

R3

 

 

xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p4

 

x2

0

 

 

 

 

17.

Re

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

0

 

(x 3)2

18.

R

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x ln x

 

10

 

 

 

 

 

dx

19.

R

 

 

p3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

(x 2)2

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.

R 0

 

dx

 

 

 

 

 

 

2

 

x2 4

21.

R

 

 

 

xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

+3

 

 

 

1

 

 

 

 

dx

 

+

1

 

 

 

 

 

 

22.

1R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x2

+2x+2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

23.x sin xdx

0

1

R

24.x ln xdx

0

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

dx

Re

 

 

 

 

 

 

 

25.

 

 

3

 

e

 

x(ln x) 2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

dx

26.

 

 

 

x ln2 x

 

0

 

 

 

 

 

 

 

+1

 

xdx

27.

 

 

 

p

 

 

 

 

4 x2

1

 

 

 

 

 

1R

 

 

 

 

 

 

 

R

28.x cos xdx

 

0

 

 

 

+1

 

dx

29.

R

 

 

 

4x+5

x2

30.

1

 

 

1 ln x dx

 

R

 

x

2