2 Прямое расширение: общий случай.

Идея прямого расширения спектра, рассмотренная выше для случая передачи данных с помощью бинарной ФМ и применения бинарных сигнатур, легко может быть обобщена на более широкий диапазон методов модуляции данных и сигнатур. Пусть обозначает комплексное колебание, отвечающее потоку данныхb_k k –го пользователя, передаваемых в некотором цифровом формате модуляции данных (АМ, М–ичная ФМ, КАМ и др.) При М–ичной цифровой передачи данных состоит из соприкасающихся прямоугольников длительностиT=(logM)T_b, манипулированных комплексными символами, принадлежащими конкретному алфавиту М-ичной модуляции. Например, в случае ФМ-8 прямоугольники длительности T=3T_b манипулированы комплексными амплитудами, принадлежащими алфавиту . Если же выбрана манипуляция КАМ-16, тогда прямоугольники имеют длительность , а их комплексные амплитуды принимают значения T=4T_b. В случае обычной (не широкополосной) М-ичной модуляции передаваемый сигнал, переносящий поток данных b_k (теперь удобно полагать, что компоненты b_k,i потока представляют собой М–ичные комплексные символы ), имеет вид

Тогда принятый сигнал

обладает комплексной огибающей вида

(5)

Передаваемый i–й символ данных b_k,i есть ничто иное, как комплексная амплитуда непрерывной несущей, постоянной на интервале [(i-1)T,iT] . Следовательно, для восстановления этого символа приемник должен принять решение относительно M копий прямоугольного импульса, существующего на интервале [(i-1)T+τ_k,iT+τ_k] и обладающего различными конкурирующими значениями комплексной амплитуды. Для выполнения указанной задачи необходимо вычислить корреляцию между наблюдаемой комплексной огибающей Y(t) , выделенной из зашумленного наблюдения y(t), и exp(jφ_k), представимую в виде

которая (после нормировки к энергии символа опорного образца) используется для вынесения необходимой оценки о символеb_k,i.

Демодулятор на рис. 7, где двойной круг символизирует операцию комплексного умножения, реализует указанную процедуру.

Рисунок 7. M-ичный демодулятор.

Данная схема является обобщением корреляционной структуры, представленной на рис. 1, b, на случай произвольной цифровой модуляции данных. Первоначально наблюдаемая комплексная огибающая умножается на exp(jφ_k) с целью компенсации канального фазового сдвига φ_k. После этой операции полезная компонента (5) наблюдения становится. Любое комплексное колебание эквивалентно двум вещественным (реальной и мнимой частям), так что выход умножителя на рис. 7 трактуется в терминах реальной и мнимой частей произведения. Полезными компонентами произведения служат реальная и мнимая части, а последующее их интегрирование, как и ранее, служит выделению из шума. Отсчеты с выхода интегратора в моментыiT+τ_k являются оценками реальной и мнимой частей принятого М–ичного символа данных, которые используются в блоке решения для выдачи демодулированного символа.

Рассмотрим теперь, как прямое расширение спектра может быть включено в данную схему модуляции – демодуляции. Пусть  будет комплексной огибающейk–й пользовательской CDMA сигнатурой. Ее алфавит может быть выбран независимо от алфавита модуляции данных, например, может быть бинарным, квадратурным, АФМ и т.д. Тогда прямое расширение означает умножение колебаний модулированных данных на сигнатуру с целью использования их произведениякак комплексной огибающей передаваемого сигнала:

(6)

Принятый полезный сигнал представляет собой задержанную и сдвинутую по фазе копию сигнала (6)

с комплексной огибающей

(7)

Постоянство на интервале [(i-1)T+τ_k,iT+τ_k] снова означает, что для выделения i–го символа приемник должен принять решение об истинности одной из M конкурирующих копий одной и той же сигнатуры , умноженной на различные символы данныхb_k,i. Тогда корреляция вида

(8)

послужит (после соответствующей нормировки) для получения необходимой оценки b_k,i и снова может трактоваться, как пара отсчетов с выходов интеграторов демодулятора, изображенного на рис. 7, при изменении опорного сигнала в комплексном умноdawжителе с exp(-jφ_k) на . После умножения на подобный опорный сигнал полезная компонента наблюдаемой комплексной огибающей

на интервале i-го символа данных становится просто одной из M возможных копий видеосигнала , умноженного на различные комплексные коэффициентыb_k,_i.Если чипы сигнатуры не имеют амплитудной модуляции, т.е. подвергается только фазовой манипуляции, то =1 и, как показывает предыдущее соотношение, умножение на превращает комплексную огибающую принятого сигнала в одну из характеристик обычной (не широкополосной)M–ичной модуляции данных, т.е. осуществляет снятие расширения. Благодаря этому приемник снова может рассматриваться как двухэтапный: первоначально осуществляется снятие расширения, а затем обычная М–ичная демодуляция, использующая, например, схему на рис. 7.

Остановимся более подробно на реализации комплексного умножения и выделении комплексной огибающей из действительно наблюдаемого вещественного колебанияy(t) . Вспомнив основные правила комплексной арифметики

Re(xy)=Re(x)Re(y)-Im(x)Im(y), Im(xy)=Re(x)Im(y)+Im(x)Re(y),

видно, что умножитель двух комплексных величин x и y содержит четыре обычных умножителя и два сумматора (рис. 8).

Рисунок 8. Комплексный умножитель.

Входные комплексные величины x, y определены своими реальными и мнимыми частями, а результат представляет собой двумерный вектор, состоящий из вещественной и мнимой частей произведения xy.

Получение комплексной огибающей наблюдения основывается на определении . Применив вышеприведенное правило комплексного умножения и формулу Эйлера, получаем. Умножение обоих частей этого выражения наи , а также применение тригонометрического преобразования приводит к следующему результату

(9)

Первые слагаемые в правых частях соотношений (9) представляют собой низкочастотные колебания (поскольку комплексная огибающая определяет закон модуляции, т.е. является низкочастотной), тогда как остальные являются полосными сигналами с центральной частотой 2f₀. Полоса закона модуляции значительно меньше f₀ (см. рис. 9, а). Следовательно, фильтр низких частот легко может отфильтровать высокочастотные компоненты в (9), пропустив только вещественную и мнимую части желаемой комплексной огибающей . Данный принцип восстановления комплексной огибающей из реального наблюденияy(t) реализуется схемой, представленной на рис. 9, b.

В качестве заключения приведенному обсуждению рис. 10 иллюстрирует операции, выполняемые на передающей и приемной сторонах обычной широкополосной системы с прямым расширением спектра. Модулятор (рис. 10, а) реализует алгоритм, определяемый соотношением (6), используя только вещественную часть комплексного произведения.

Рисунок 9. Восстановление комплексной огибающей.

В демодуляторе (рис. 10, b) комплексная огибающая наблюдения, восстанавливаемая согласно схеме на рис. 9, b, в дальнейшем подается на вход обычного М– ичного демодулятора (см. рис. 7) для принятия решения о принятых символах.

Рисунок 10. Модуляция (a) и демодуляция (b) при прямом расширении спектра.

Отметим также, что только что описанный способ реализации расширения–сжатия не является единственным и что существует многообразие конкретных схемных решений этих операций. Например, перемножение комплексных огибающих может быть выполнено неявным образом в ходе процедуры гетеродинирования. В частности, если – два полосных сигнала с несущими частотамиf_i и комплексными огибающими , то их произведение будет

Два слагаемых в последнем выражении представляют собой полосные сигналы с несущими частотами f₁-f₂ и f₁+f₂ . Если нижняя несущая частота f₁-f₂ превосходит полосу произведения , то после отфильтровывания слагаемого с более высокой частотой оставшийся полосный сигнал с более низкой частотой будет обладать комплексной огибающей вида, т.е. в точности произведением, получаемым после снятия расширения. Аналогичным образом, слагаемое с более высокой частотой представляет со-

бой полосный сигнал, комплексная огибающая которого является аналогичным произведением, но без комплексного сопряжения.

Прямое расширение используется во всех CDMA стандартах 2-го и 3-го поколений: IS-95 (cdmaOne), UMTS и cdma2000. В них используются различные комбинации алфавитов манипулированных данных и сигнатур, которые более подробно будут рассмотрены в параграфе 11.2.