3.5. Неявные итерационные методы. Метод Зейделя.

Вернемся к общей записи итерационного стационарного процесса в канонической форме .

Рассмотрим произвольную квадратную матрицу:

.

Разложим её на сумму трех матриц

,

где - диагональная часть матрицы , которая содержит элементы , стоящие на главной диагонали:

,

- нижняя треугольная матрица

,

- верхняя треугольная матрица.

.

В классическом методе Зейделя, записанном в канонической форме, полагают

В результате формула принимает вид:

,

или

.

Перейдем от векторной формы записи рекуррентной формулы к построчной:

Уравнения позволяют последовательно рассчитать компоненты вектора - ой итерации подобно тому, как это делалось во время обратного хода в методе Гаусса:

, .

Формула предполагает, что , . Если матрица удовлетворяет условиям теоремы Самарского : , то, согласно неравенству , все ее диагональные элементы должны быть строго положительными и, тем самым, не могут обращаться в ноль.

Алгоритм в методе Зейделя прост и удобен для вычислений. Он не требует никаких действий с матрицей . Ранее вычисленные на текущей итерации компоненты сразу же участвуют в расчетах наряду с компонентами и, таким образом, не требуют дополнительного резерва памяти, что существенно при решении больших систем.

Сходимость метода Зейделя в случае, когда матрица удовлетворяет условию теоремы Самарского, т.е. является самосопряженной и положительно определенной, будет доказана в следующем разделе. К этому утверждению добавим без доказательства еще один результат: метод Зейделя сходится для любой системы , в которой матрица обладает свойством диагонального преобладания.

Задача 3.

Рассмотреть систему (см. задачу 2) и построить для нее приближенное решение с помощью метода Зейделя.

В рассматриваемом случае рекуррентные формулы для построения -ой итерации по -ой итерации принимают вид:

Принимая, как и при решении задачи 2, за начальное приближение нулевой вектор, подсчитаем по формулам несколько первых итераций, сопровождая этот процесс подсчетом невязки:

, , ,

, , ,

, , .

Обсудим полученные результаты. Начнем с невязки. Ее вторая компонента все время остается равной нулю, поскольку второе уравнение системы на каждой итерации выполняется, как видно из , точно. Первые компоненты невязки и норма убывают по закону геометрической прогрессии с знаменателем , т.е. гораздо быстрее, чем в методе простой итерации. Хорошая сходимость процесса видна также из прямого сравнения членов итерационной последовательности с точным решением системы .

3.6. Метод верхней релаксации

Модифицируем метод Зейделя. С этой целью введем параметр и запишем рекуррентное соотношение в виде

.

В данном случае

, .

При мы возвращаемся к методу Зейделя.

Соотношению можно придать вид

.

Такая форма записи показывает, что параметр влияет на диагональ матрицы .

Для построения алгоритма вычисления очередной итерации нужно разделить в левой части рекуррентной формулы члены, содержащие и , и придать ей форму, аналогичную :

.

Если перейти от векторной записи к записи типа в виде отдельных уравнений, то можно получить для компонент очередной итерации формулы, структурно похожие на :

, .

Исследуем условия сходимости метода верхней релаксации при дополнительном предположении, что матрица удовлетворяет условиям теоремы Самарского . Самосопряженность матрицы означает, что , . Отсюда следует

.

Составим для рассматриваемого случая матрицу . Согласно

.

Запишем условие ее положительной определенности

.

Второе слагаемое в выражении не дает вклада в квадратичную форму в силу соотношения .

Матрица является, по предположению, положительно определенной. Следовательно, все ее диагональные элементы строго положительны: , . Это означает положительную определенность матрицы : . В результате знак выражения определяется знаком первого множителя, так что достаточное условие для сходимости итерационной последовательности метода верхней релаксации принимает вид:

Метод Зейделя, соответствующий случаю , удовлетворяет этому условию.

Можно поставить вопрос об оптимальном выборе параметра , при котором метод сходится быстрее всего. Теоретическое исследование, на котором мы не будем останавливаться, показывает, что такое значение существует и может быть выражено через наибольшее и наименьшее собственные значение матрицы . Однако на практике его приходится подбирать экспериментально методом проб и ошибок, поскольку найти и с достаточной точностью удается в редких случаях.

Задача 4

Построить приближенное решение системы методом верхней релаксации, полагая .

Выпишем для рассматриваемого случая матрицы и , определяющие итерационный процесс:

, .

С их помощью рекуррентное соотношение , записанное покомпонентно, принимает вид:

Выражая из первого соотношения , из второго , получим окончательные расчетные формулы для компонент очередной итерации:

Примем, как и в предыдущих случаях, за начальное приближение нулевой вектор и сделаем три итерации. При этом для каждой из них подсчитаем невязку , позволяющую следить за сходимостью процесса

, , ,

, , ,

, , .

Поведение невязок, а также сравнение членов итерационной последовательности с точным решением системы показывают сходимость процесса, более быструю, чем в методе Зейделя. Выбранное значение параметра оказалось близким к оптимальному .