Теорема. Всякие три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.
Следствия
1.Максимальное число линейно независимых векторов на плоскости равно двум.
2.Система векторов на плоскости, содержащая более двух векторов, линейно зависима.
3. В трехмерном пространстве или R3
Из предыдущей теоремы следует, что 3 некомпланарных вектора линейно зависимы.
Теорема. Всякие 4 вектора в пространстве линейно зависимы.
Следствия
1.Максимальное число линейно независимых векторов в R3 равно 3.
2.Система векторов в R3, содержащая более трех векторов, линейно зависима.
Опр. Тройка некомпланарных
векторов a, b , c называется правой,
если с конца третьего вектора c наикратчайший поворот от первого вектора a ко второму вектору b виден происходящим против часовой стрелки.
b
a
с
b |
с |
a |
2.4. Векторные пространства и базисы
Опр. Если каждый вектор векторного пространства R (R1, R2 или R3) может представляться в виде линейной комбинации n некоторых векторов
|
a |
1 |
, a |
2 ,..., |
a |
n |
{ a 1 , a 2 ,..., a |
n } |
|
то говорят, что система векторов |
|||||||||
|
|
||||||||
порождает пространство R и пишут: |
|
||||||||
S |
q ( |
a |
1 , a |
2 ,..., |
a n ) |
R |
|
|
|
( S |
q |
- |
порожденно |
|
|
е пространст |
во) |
|
|
Если, кроме того, эта система векторов { a 1 , a 2 ,..., a n } линейно независима и упорядочена, то говорят, что она
образует базис пространства R и пишут dimR=n (размерность R).
Замечание. Из сказанного выше следует, что базисом прямой, плоскости или пространства является любая линейно независимая система векторов, содержащая:
1.На прямой или в R1
базис - один ненулевой вектор
{ |
a |
} |
- |
базис, |
|
|
S |
q |
( |
a |
) |
|
R |
1 |
, |
dimR |
|
|
1 |
|
1 |
|
Тогда |
|
|
|
|
d |
|
R |
1 |
|
имеем |
|
|
|
d |
|
|
|
a |
. |
|