Практичне заняття №2 спектри неперіодичних сигналів

2.1 Мета заняття

Метою заняття є вивчення студентами методів спектрального аналізу неперіодичних сигналів.

2.2 Методичні вказівки для самостійної підготовки до заняття [1,3-5].

Будь-який фізичний сигнал є обмеженим у часі та має обмежену енергію згідно з наступною умовою:

(2.1)

де - скінченна величина.

Кожен з неперіодичних сигналів можна розглядати як періодичний з періодом . Завдяки цьому спектральний аналіз періодичних процесів може бути узагальненим і на неперіодичні процеси. При збільшенніінтервали між суміжними частотами у спектрі сигналу та амплітуди спектральних складових зменшуються, а пристають нескінченно малими. При цьому ряд Фур'є, що відображує спектральний опис періодичного сигналу, перетворюється на інтеграл Фур'є, що відображує спектральний опис неперіодичних сигналів.

Нехай ,- періодичний та неперіодичний сигнали відповідно. Сигналвідповідає ряду Фур'є:

,	(2.2)
.	(2.3)

При ,,, аперетворюється в поточну частоту.

Замінимо суму інтегралом

.

(2.4)

Позначивши інтеграл у квадратних дужках через отримаємо формули прямого й зворотного перетворення Фур'є:

	(2.5)
.	(2.6)

Тут - комплексна спектральна щільність або спектральна характеристика (спектр) неперіодичного сигналу (функція частоти).

Порівнюючи ряд та інтеграл Фур'є, слід зазначити, що, як у випадку ряду, так і у випадку інтеграла Фур'є сигнал може бути представлено у вигляді суми комплексних гармонік з позитивними та негативними частотами.

Комплексні гармоніки ряду мають вигляд

,

де , тобто комплексні амплітуди, що мають кінцеві значення модуля, помножуються на оператор обертання.

Комплексні елементарні гармоніки під знаком інтегралу у виразі (2.6), які мають комплексні амплітуди із нескінченно малим модулем, помножуються на оператор обертання.

На графіках АЧС одиночних сигналів вздовж осі ординат відкладають не амплітуди, а модуль спектральної щільності – відношення нескінченно малої амплітуди до нескінченно малого інтервалу частот, що є кінцевою величиною. На графіках ФЧС одиночних сигналів вздовж осі ординат відкладають аргумент спектральної щільності. Графіки ймають не дискретний, а суцільний характер, тому що частоти зростають неперервно.

Формули для визначення комплексних амплітуд ряду Фур'є (2.3) та обчислення спектральної щільності (2.5) ідентичні. Вони відрізняються друг від друга лише множником і змінноюу випадку ряду Фур'є тадля інтеграла Фур'є. Межі інтегрування збігаються, тому що в обох випадках вони дорівнюють інтервалу часу, протягом якого функціявідмінна від нуля. Функціяпри одиночному сигналі повинна бути абсолютно інтегрувальною, тобто при досить великому видаленні від її “середини” функція стає нескінченно малою, а межіможуть бути обмежені. Через це між комплексними амплітудами ряду та спектральною щільністю існує наступна залежність:

,

(2.7)

де .

Формула (2.7) означає, що для обчислення комплексних амплітуд ряду Фур'є у випадку періодичного сигналу досить обчислити спектральну щільність одиночного сигналу, з якого утворена періодична послідовність, а потім помножити значення цієї щільності для частот. Це дозволяє переходити від спектра періодичної послідовності імпульсів до спектра відповідного одиночного сигналу і навпаки.

Виділивши дійсну та мниму частини, отримаємо наступну формулу для спектральної щільності сигналу:

,

(2.8)

де ,.

Модуль спектральної характеристики визначається співвідношенням

,

(2.9)

і є парною функцією , а фаза спектральної характеристики визначається співвідношенням

.

(2.10)

Функція є непарною до частоти, тому що- парна, а- непарна функції.

Приклад 2.1. Спектр дельта-функції (рис. 2.1).

Рис.2.1 Дельта-функція

Спектр сигналу виду

визначимо, використовуючи формулу (2.5):

.

(2.11)

З урахуванням того, що за допомогою дельта-функції можна відобразити значення реального сигналу в конкретний момент часуу вигляді

,

(2.15)

маємо

.

(2.16)

Отже, АЧС сигналу

,

(2.17)

а ФЧС сигналу

.

(2.18)

Графіки спектрів дельта-функції наведено на рис. 2.2.

Рис.2.2 АЧС і ФЧС дельта-функції

Спектральна щільність дельта-функції на всіх частотах однакова. Цим пояснюється, наприклад, те, що розряд блискавки, що відповідає дельта-функції, створює перешкоди радіоприйому на всіх частотах. Початкові фази елементарних гармонійних складових є такими, що одночасне проходження гармонік через амплітудне значення має місце у момент часу , коли сума гармонік утворює нескінченно велику величину. Для всіх інших значень часу ця сума дорівнює нулю.

Приклад 2.2. Спектр функції вмикання. Графік сигналу, що описується функцією вмикання

(2.19)

наведено на рис.2.3. Тут - функція Хевісайда.

Рис.2.3 Функція вмикання

Функція вмикання не є абсолютно інтегрувальною, тому застосовувати пряме перетворення Фур'є до цієї функції не можна. Для визначення спектра розглянемо експонентний імпульс

(2.20)

графік якого представлений на рис. 2.4.

Рис.2.4 Експонентний імпульс

Використовуючи (2.5), запишемо формулу для спектральної щільності експонентного імпульсу

Очевидно, що

.

Отже, спектр амплітуд має вигляд:

,

а спектр фаз:

.

Графіки спектрів експонентного імпульсу наведено на рис. 2.5.

Рис.2.5 АЧС і ФЧС експонентного імпульсу

Вихідну функцію вмикання (2.19) можна представити у вигляді експонентної функції (2.20) у якої . Тоді спектральна щільність функції вмикання може бути виражена в такий спосіб:

.

Отже, АЧС та ФЧС функції вмикання має відповідно вигляд:

,
,

де знак “ - ” відповідає області позитивних частот, а знак “+” - області негативних частот.

Графіки спектрів функції вмикання наведені на рис. 2.6.

Рис.2.6 АЧС і ФЧС функції вмикання

Спектральна щільність зростає зі зменшенням частоти. На дуже високих частотах (коротких хвилях) спектральна щільність є малою. Цим пояснюється та обставина, що так звані “промислові перешкоди” радіоприйому найбільш інтенсивні на довгих хвилях. У метровому діапазоні хвиль промислові перешкоди є незначними.

Початкові фази всіх елементарних гармонійних складових дорівнюють , тому гармоніки змінюються за законом синуса. У момент часувідбувається формування переднього фронту функції вмикання.

Графік сигналу, що описується функцією вмикання із запізнюванням, наведено на рис. 2.7.

Рис.2.7. Функція вмикання із запізнюванням

Спектр такого сигналу дорівнює

,

тобто АЧС не змінюється

,

а ФЧС

,

буде відповідати графікові, що наведено на рис. 2.8.

Рис.2.8 ФЧС функції вмикання із запізнюванням

Приклад 2.3. Спектр одиночного прямокутного імпульсу.

(2.20)

Розглянутий сигнал наведено на рис. 2.9.

Рис.2.9 Одиночний прямокутний імпульс

Використовуючи (2.5), запишемо формулу для спектральної щільності одиночного прямокутного імпульсу:

Таким чином, спектр одиночного прямокутного імпульсу (2.20) є речовинним. Його графік визначається законом зміни величини . Ця величина примає максимальне значення, що дорівнює одиниці. Зі зростанням частотинемонотонно зменшується, проходячи через нуль при, де. Графік зміни спектральної щільностінаведено на рис. 2.10а пунктиром. Суцільною лінією показано модуль спектральної щільності , тобто амплітудно-частотний спектр. Приспектральна щільність дорівнює площі імпульсу. Чим більше ця величина (більше енергія сигналу), тим більше спектральна щільність сигналу.

На мал. 2.10б наведено ФЧС одиночного прямокутного імпульсу. Позитивним значенням відповідають початкові фази, що дорівнюють нулю або парному числу, а негативним – початкові фази, що дорівнюють непарному числу.

Слідство. Дельта-функцію можна розглядати як граничну форму прямокутного імпульсу тривалості й амплітуди. Тоді спектральну щільність дельта-функції можна виразити в такий спосіб:

Отже, АЧС сигналу

,

а ФЧС сигналу

.

а)

б)

Рис.2.10. АЧС і ФЧС одиночного прямокутного імпульсу

2.3 Задачі для самостійної роботи

2.3.1 Відобразити за допомогою інтегралу Фур'є задану функцію та побудувати її графік:.

2.3.2 Знайти спектр одиночного імпульсу високочастотних коливань (рис. 2.11), якщо
	Рис.2.11 Імпульс (а)

2.3.3 Визначити спектральну щільність одиночного імпульсу: .

2.3.4Визначити спектральну щільність уніполярного прямокутного імпульсу (рис. 2.12). Побудувати АЧС і ФЧС при тривалості імпульсу мс та амплітудіВ. Побудувати аналогічні залежності для імпульсів удвічі меншої тривалості. Відобразити на графіках вплив затримки імпульсу на час.
	Рис.2.12 Імпульс (б)

2.3.5Спектральна щільність імпульсу в діапазоні частот від доМГц практично рівномірна й становить 10 мкВ/Гц. Визначити амплітуди перших десяти гармонік періодичної послідовності подібних імпульсів з періодами 1 мс і 1 мкс.

2.3.6Визначити спектр імпульсу, що наведено на рис. 2.13. Побудувати АЧС і ФЧС при тривалості імпульсу мкс і амплітудіВ.
	Рис.2.13 Імпульс (в)

2.3.7 Знайти сигнал , що відповідає спектру, який представлено на рис.2.14. Аргумент спектральної щільностіна всіх частотах дорівнює нулю.
	Рис.2.14 Спектр

2.3.8 Визначити спектральну щільність коливань , який задано при.

2.3.9 Знайти спектральну щільність трапеціїдального імпульсу , який показано на рис.2.15а, і його похідної (рис.2.15б).

а)	б)
Рис.2.15 Щільність та похідна щільності трапеціїдального імпульсу

2.3.10 Знайти спектральну щільність трикутного імпульсу , який показано на рис.2.16.
	Рис.2.16 Імпульс (г)

2.3.11 Визначити АЧС і ФЧС сигналу у вигляді суми двох зміщених у часі -функцій:. Побудувати відповідні графіки.

2.3.12 Експонентний імпульс напруги діє на ланцюг, який пригнічує всі частоти, що перевищують, при цьому АЧС знижується до однієї десятої від максимального значення. Визначити частку енергії у відсіченій частини спектра й різницю напруг на виході й вході (зміну фаз ланцюгом не враховувати). Побудувати залежність напруги на виході ланцюга від часу.

2.3.13 На вході радіотехнічного пристрою діє прямокутний імпульс напруги з амплітудою тривалістю, а також гармонійне коливання з амплітудоючастотоюй початковою фазою. Визначити спектральну щільність сумарної напруги (початок відліку часу співпадає з серединою імпульсу).

2.3.14 Визначити спектральні щільності пакетів імпульсів прямокутної й трикутної форми, які зображено на рис. 2.17.

а)	б)
Рис.2.17 Пакети імпульсів прямокутної та трикутної форми

2.3.15Напівхвильовий косинусоїдальний імпульс тривалістю задано у виглядіпри. Визначити його спектральну щільність . Побудувати АЧС і ФЧС у координатах ,.

2.3.16 Визначити спектральну щільність імпульсу .

2.3.17 Визначити спектр і форму сигналу , якщо відомі спектральні щільності множниківта.

2.3.18 Побудувати АЧС уніполярного прямокутного імпульсу тривалістю 1 мкс. Використовуючи отриманий графік, побудувати АЧС періодичної послідовності імпульсів з періодом.

2.3.19 Визначити спектральну щільність імпульсу, який показано на рис. 2.18. Побудувати АЧС і ФЧС при тривалості імпульсу мкс і амплітудіВ.	U0
	Рис.2.18 Імпульс (д)

2.3.20 Визначити спектральну щільність імпульсу, який показано на рис. 2.19. Побудувати АЧС і ФЧС при тривалості імпульсу мкс і амплітудіВ.
		Рис.2.19 Імпульс (є)
2.3.21 Визначити спектральну щільність імпульсу, який показано на рис. 2.20. Побудувати АЧС і ФЧС при тривалості мкс і амплітудіВ.
		Рис.2.20 Імпульс (і)
2.3.22 Визначити спектральну щільність імпульсу, який показано на рис. 2.21. Побудувати АЧС і ФЧС при тривалості імпульсу мкс і амплітудіВ.
	Рис.2.21 Імпульс (к)
2.3.23 Визначити спектральну щільність імпульсу, який показано на рис. 2.22. Побудувати АЧС і ФЧС при тривалості імпульсу мкс і амплітудіВ.
	Рис.2.22 Імпульс (л)
2.3.24 Визначити спектральну щільність імпульсу, який показано на рис. 2.23. Побудувати АЧС і ФЧС при тривалості імпульсу мкс і амплітудіВ.
	Рис.2.23 Імпульс (м)

2.3.25 Визначити спектральну щільність імпульсу, який показано на рис. 2.24. Побудувати АЧС і ФЧС при тривалості імпульсу мкс і амплітудіВ.
	Рис.2.24 Імпульс (н)

2.3.26 Визначити спектральну щільність імпульсу, який показано на рис. 2.25. Побудувати АЧС і ФЧС при тривалості імпульсу мкс і амплітудіВ.
	Рис.2.25 Імпульс (о)
2.3.27 Визначити спектральну щільність імпульсу, який показано на рис. 2.26. Побудувати АЧС і ФЧС при тривалості імпульсу мкс і амплітудіВ.
	Рис.2.26 Імпульс (п)
2.3.28 Визначити спектральну щільність імпульсу, який показано на рис. 2.27. Побудувати АЧС і ФЧС при тривалості імпульсу мкс і амплітудіВ.
	Рис.2.27 Імпульс (р)

2.4 Контрольні запитання і завдання

1. За яких умов неперіодична функція може бути представлена інтегралом Фур'є?

2. Яким чином можна отримати спектр неперіодичного сигналу безпосередньо зі спектру відповідного періодичного сигналу?

3. Як можна енергетично визначити спектр неперіодичного сигналу?

4. Що є практичною шириною спектра неперіодичного сигналу? Які критерії використовують для вибору практичної ширини спектру сигналу?

5. Як спектр неперіодичного сигналу відрізняється від спектру періодичного сигналу?

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №3

МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ВИПАДКОВИХ СИГНАЛІВ

3.1 Мета заняття

Метою заняття є ознайомлення студентів з математичними моделями випадкових сигналів.

3.2 Методичні вказівки для самостійної підготовки до заняття [1,3-5,8].

3.2.1Випадкові сигнали та їх імовірнісні характеристики. У реальних умовах більшість сигналів має випадковий характер, внаслідок чого одержувач заздалегідь не може передбачати, яким буде переданий сигнал.

Однак не можна також затверджувати, що приймальна сторона не має у розпорядженні ніяких попередніх (апріорних) даних про сигнали. По-перше, попередньо часто є відомою вся множина (ансамбль) можливих сигналів. По-друге, як правило, заздалегідь відомі значення очікуваної ймовірності сигналів із загального ансамблю сигналів. Наприклад, при передачі тексту відомо, які букви, а також сполучення букв і сполучення слів використовуються при передачі частіше і які рідше.

Таким чином, попередні відомості, які ми маємо про сигнали, носять статистичний характер. Тому для дослідження проходження сигналів через інформаційні системи варто застосовувати статистичні методи.

Доцільність застосування статистичних методів обумовлена ще й тим, що на сигнал впливають перешкоди, що є, як правило, невідомими функціями часу. Основним змістом задачі прийому сигналів на фоні перешкод є найбільш повне добування інформації із сигналу. Успішного рішення цієї задачі можна досягти тільки на основі використання статистичних методів прийому.

Нарешті, доцільність використання статистичних методів викликана ще й тим, що характеристики систем, по яких проходять сигнали, під впливом різноманітних зовнішніх і внутрішніх факторів можуть змінюватися випадковим образом.

Рис.3.1 Випадкові процеси	Рис.3.2 Нормальний закон розподілу

Процес, що описується за допомогою випадкової функції часу, називається випадковим процесом. Іноді замість терміна «Випадковий процес» застосовують у тому ж сенсі терміни «Стохастичний процес» або «Імовірнісний процес».

Конкретний вигляд, який приймає випадковий процес за результатами реєстраційного експерименту, називається реалізацією процесу. Окремі спостереження випадкового процесу в однотипних системах за однакових умов реєстрації дають різні реалізації випадкового процесу (рис. 3.1). Вигляд функціївипадковим чином змінюється від однієї реалізації до іншої. Сукупність реалізацій випадкового процесу, отриманих у результаті реєстрації, називається ансамблем реалізацій випадкового процесу.

Величина -ї реалізації випадкового процесу в певний момент часу (наприклад,) називається вибіркою випадкового процесу . Сукупність значень вибірок у певний момент часу (наприклад, ) утворює випадкову величину .

Імовірність того, що в певний момент часу величина перебуває в інтервалі між і, дорівнює

(3.1)

де - одномірна щільність імовірності або одномірна функція розподілу випадкового процесу.

Щільність імовірності є в загальному випадку функцією часу, тому що залежить від, є похідною від інтегральної функції розподілу

На рис. 3.2 наведено графік нормального закону розподілу щільності ймовірності випадкової величини в певний момент часу, який найбільш часто зустрічається на практиці.

Математичний опис цього закону має вигляд

(3.2)

де й— математичне очікування й середньоквадратичне відхилення випадкової величини.

Заштрихована на рис. 3.2. площа під кривою розподілу дорівнює ймовірності знаходження в інтервалі між і

.

(3.3)

Для будь-якого закону розподілу щільності ймовірності є чинною рівність

(3.4)

Одновимірний закон розподілу щільності ймовірностей є найпростішою статистичною характеристикою випадкового процесу. Він дає уявлення про процес лише в окремі, фіксовані моменти часу, характеризує процес статично й не відображує динаміку його розвитку.

Для більш повної характеристики випадкового процесу необхідно знати характер зв'язку між імовірними значеннями випадкової функції при двох довільних моментах часу й. Цей зв'язок виражається через двовимірну щільність імовірності і формулюється в такий спосіб: імовірність знаходження кожної з функцій, що входять у сукупність функцій, в інтервалів момент часуй в інтервалів момент часу.

(3.5)

де - двовимірна щільність імовірності або двовимірна функція розподілу випадкового процесу.

На рис. 3.3. наведено поверхню двовимірного нормального закону розподілу щільності ймовірності для випадкових величин з нульовим середнім значенням у моменти часу .

Міркуючи аналогічним образом, можна ввести поняття про тривимірну , а також про -мірнущільності імовірності випадкового процесу. Тоді ймовірність складної події, яка полягає в тім, що в момент часу функціяперебуває в інтервалів момент часуфункціяперебуває в інтервалій т.д., у момент часуперебуває в інтервалій т.д.,

	((3.6)

Рис.3.3 Двовимірний нормальний закон розподілу

Чим більше число , тим точніше -вимірна функція розподілу характеризує статистичні властивості випадкового процесу. Однак-вимірні функції розподілу можуть бути отримані за допомогою досить складної й трудомісткої обробки множини реалізацій випадкового процесу. При користуванні-вимірними функціями розподілу виникають істотні математичні труднощі. Тому на практиці частіше оперують кінцевим числом числових характеристик, які дають безумовно менш повну характеристику випадкового процесу, але достатню для рішення ряду важливих задач і, крім того, можуть бути отримані шляхом порівняно простої обробки реалізації випадкового процесу.

3.2.2Числові характеристики випадкового процесу. Найпростішими моментними функціями, які в основному використовуються для характеристики випадкових процесів, є моменти розподілу перших двох порядків: математичне очікування, дисперсія та кореляційна функція випадкового процесу.

Математичне очікування (або перший момент одномірного закону розподілу) визначається за формулою

(3.7)

Фізично математичне очікування відповідає середньому значенню сукупності вибірок випадкового процесу (випадкової величини ) у певний момент часу.

Дисперсія (або другий центральний момент одномірного закону розподілу) - це математичне очікування квадрата відхилення величин від математичного очікування в певний момент часу, що визначається за формулою

(3.8)

Дисперсія виражає міру розсяглості значень випадкової величини біля математичного очікування, іншими словами - «ступінь випадковості» величини.

Квадратний корінь від дисперсії називають середньоквадратичним відхиленням випадкової величини.

Аналогічно можна знайти середнє значення квадрата випадкової величини :

(3.9)

Позитивний корінь цієї величини називається середньоквадратичним значенням .

Згідно з (3.8) можна встановити залежність між дисперсією й середньоквадратичним значенням випадкової величини:

.

З урахуванням того, що , можна отримати

,

(3.10)

тобто дисперсія дорівнює різниці квадратів середньоквадратичного значення й математичного очікування.

При дисперсіязбігається із квадратом середньоквадратичного значеннявипадкової величини .

Математичне очікування, дисперсія та середньоквадратичне значення випадкової величини є в загальному випадку функціями часу. Вони характеризують траєкторію випадкового процесу в окремі моменти часу, але не враховують зв'язок між значеннями випадкового процесу в різні моменти часу. Цей зв'язок відображує кореляційна функція , яка дорівнює середньому значенню добутку значень випадкової функціїв моменти часуй

.

(3.11)

Зв'язок між значеннями двох випадкових процесів іу моменти часуйвідповідно відображує взаємна кореляційна функція, яка дорівнює середньому значенню добутку

.

(3.12)

Часто використовують нормовані автокореляційну й взаємну кореляційнуфункції (коефіцієнти кореляції), які визначаються за формулами:

;	(3.13)
.	(3.14)

Нормовані кореляційні функції зручні тим, що вони не перевершують одиниці за абсолютною величиною.

Математичне очікування, дисперсія, квадрат середньоквадратичного значення та кореляційна функція, які визначаються за формулами (3.7), (3.8) та (3.11) відповідно, отримують шляхом осереднення множини реалізацій випадкового процесу для фіксованих моментів часу. Осереднені характеристики можуть бути також отримані шляхом обробки однієї з реалізацій випадкового процесу на досить великому інтервалі часу.

Середнє за часом значення випадкового процесу визначається за формулою

(3.15)

де - реалізація випадкового процесу;- час спостереження процесу.

За аналогією користуються поняттями середнього за часом значення від функції , від квадрата різниціта від добутку, які визначаються відповідно за формулами

	(3.16)
	(3.17)
	(3.18)

У загальному випадку для різних реалізацій випадкового процесу утворюються різні значення середнього за часом від ,,та.

Якщо припустити, що відображує зміну напруги (або струму), то фізично (3.15) дорівнює потужності постійної складової, що розсіюється на опорі в 1 Ом. У зв'язку із цим вважають, що середнє за часомвідповідає потужності постійної складової реалізації випадкового процесу.

За аналогією можна вважати, що (3.16) відображає повну середню потужність, а (3.17) - середню потужність «випадкової» складової процесу .

Якщо випадковий сигнал є дискретним, то числові характеристики визначаються за формулами

	(3.19)

де - апріорна ймовірність випадкової величини;- спільна апріорна ймовірність величин і;- число значень випадкової величини.

3.2.3 Стаціонарні випадкові процеси. В інформаційних системах дуже часто зустрічаються випадкові процеси, що відбуваються у часі приблизно однорідно. Ці процеси мають вигляд неперервних випадкових коливань біля деякого середнього значення, причому ні середнє значення, ні характер цих коливань не зазнають істотних змін у часі. Такі випадкові процеси називаються стаціонарними.

Прикладами стаціонарних випадкових процесів є шуми на виході електронних пристроїв, випадкові коливання в ланцюгах живлення та т.і.

У будь-якій динамічній системі випадковий процес починається з так званого «перехідного» процесу, а потім переходить у сталий режим, що з деяким наближенням можна вважати стаціонарним. Строго кажучи, стаціонарні процеси є нескінченними у часі, тобто не мають ані початку, ані кінця. Таких процесів практично не існує. Однак багато випадкових процесів на певних відрізках часу з певним наближенням можна вважати стаціонарними.

Відомо два поняття стаціонарності: стаціонарність у вузькому смислі та стаціонарність у широкому смислі.

Під стаціонарними процесами у вузькому смислі розуміють випадкові процеси, для яких функція розподілу щільності ймовірності довільного порядкуне змінюється за будь-якого зсуву усієї групи моментіввздовж осі часу, тобто для будь-якихі:

.

(3.20)

З цього випливає, що для стаціонарних процесів:

а) одновимірна функція розподілу щільності ймовірності не залежить від часу, тобто

;

(3.21)

б) двовимірна функція розподілу щільності ймовірності залежить тільки від різниці часу , тобто

;

(3.22)

в) тривимірна функція розподілу щільності ймовірності залежить тільки від двох різниць часів і, тобто

і т.д.

(3.23)

Оскільки математичне очікування й дисперсія виражаються через одновимірну функцію розподілу щільності ймовірності, то на підставі слідства (а) можна затверджувати, що для стаціонарного процесу математичне очікування й дисперсія не залежать від часу. Внаслідок залежності двовимірної функції розподілу тільки від різниці часів , кореляційна функція стаціонарного процесу також залежить тільки від різниці часів.

Таким чином, для стаціонарних процесів

	(3.24)

На практиці найбільш часто зустрічаються випадкові процеси, для яких при виконанні умов (3.24) моменти вищих порядків залежать від часу. Тому поняття стаціонарності виявилося доцільним розширити, взявши за основу визначення стаціонарності умови (3.24).

У зв'язку з цим було запропоновано поняття стаціонарності в широкому сенсі, відповідно до якого стаціонарними процесами є такі випадкові процеси, математичне очікування й дисперсія яких не залежать від часу, а кореляційна функція залежить тільки від різниці часів .

Випадкові процеси, стаціонарні у вузькому смислі, будуть завжди стаціонарними в широкому смислі, але не навпаки.

Стаціонарні випадкові процеси за своєю природою простіші, ніж нестаціонарні, завдяки чому описуються більш простими характеристиками. Через те, що стаціонарні процеси зустрічаються на практиці дуже часто, набула широкого застосування спеціальна теорія стаціонарних випадкових процесів.

Властивості стаціонарного процесу багато в чому обумовлюються властивостями кореляційної функції, тому для вивчення стаціонарного процесу потрібно, у першу чергу, визначити властивості кореляційної функції.

3.2.4 Властивості кореляційної функції стаціонарного випадкового процесу. Визначимо, як поводиться кореляційна функція при необмеженому збільшенні різницевого часового інтервалу .

Зі збільшенням часового інтервалу залежність між величинамийслабшає. Приці величини стають незалежними. З урахуванням того, що математичне очікування добутку випадкових незалежних величин дорівнює добутку математичних очікувань співмножників і що для стаціонарного процесу математичне очікування не залежить від часу, отримаємо:

(3.25)

Таким чином, при необмеженому збільшенні аргументу кореляційна функція прагне до квадрату математичного очікування випадкового процесу.

Отже, при кореляційна функція дорівнює потужності постійної складової реалізації випадкового стаціонарного процесу.

При зменшенні часового інтервалу залежність між величинамитапосилюється, а приотримаємо

(3.26)

Таким чином, при кореляційна функція дорівнює початковому моменту другого порядку функції. Фізично початковий момент другого порядку відображує, як відомо, повну середню потужність випадкового процесу.

Отже, дисперсія стаціонарного випадкового процесу

(3.27)

У силу незалежності функції розподілу щільності ймовірності стаціонарного випадкового процесу від початку відліку часу кореляційна функція є парною функцією , тобто

(3.28)

Можна показати, що кореляційна функція за абсолютним значенням є максимальною при . Дійсно, якщо розглянути математичне очікування квадрата суми або різниці величині, то отримаємо

Середнє значення позитивної величини (квадрата суми або різниці двох величин) не може бути негативним, тому

звідки

(3.29)

На рис. 3.4 наведено типові графіки кореляційної функції . Як видно з рис. 3.4, асимптотичне наближення функції до сталого значенняможе відбуватися як монотонно (рис. 3.4а), так і немонотонно (рис. 3.4б).

На практиці часто замість випадкового процесу розглядають його відхилення від математичного очікування, яке називається пульсаціями або флуктуаціями процесу.

Кореляційна функція пульсацій стаціонарного випадкового процесу дорівнює

.		(3.30)
Рис.3.4 Типові графіки кореляційної функції

З (3.30) видно, що математичне очікування пульсацій дорівнює нулю, а їх дисперсія визначається за формулою

.

(3.31)

Відношення

(3.32)

називають нормованою кореляційною функцією (коефіцієнтом кореляції) пульсацій випадкового процесу (або випадкового процесу з нульовим середнім). Типові графіки нормованої кореляційної функції пульсацій показано на рис. З.5.

Рис.3.5 Типові графіки нормованої кореляційної функції пульсацій

Для чисто випадкового стаціонарного процесу завжди можна визначити таке значення інтервалу , що привеличинийможна вважати практично незалежними, причому практична незалежність розуміється в тому розумінні, що приабсолютна величина коефіцієнта кореляції залишається менше заданої величини:

.

(3.33)

Величина звичайно приймається рівною 0,05. Інтервалназивають часом кореляції випадкового процесу. Час кореляції іноді визначається як половина ширини основи прямокутника одиничної висоти, площа якого дорівнює площі під графіком коефіцієнта кореляції (рис. 3.5,а), тобто

(3.34)

3.2.5Ергодичність стаціонарних процесів. Існує клас випадкових процесів, які мають важливу для практичних задач властивість ергодичності.

Випадковий процес називають ергодичним, якщо усереднення по множині з імовірністю, якомога близькою до одиниці, дорівнює усередненню за часом.

Отже, для ергодичних процесів є чинними формули

;	(3.35)
;
;
.

Розгорнувши вирази середніх за множиною та часом, отримаємо

	(3.36)

Ергодична властивість випадкового процесу має істотне практичне значення. При дослідженні таких процесів немає необхідності вивчати велику сукупність реалізацій, а досить лише однієї реалізації, яка спостерігається протягом тривалого часу. Наприклад, статистичні властивості флуктуаційних шумів на виході електронних підсилювачів можна вивчати протягом досить тривалого часу на одному підсилювачі, а потім результати цього дослідження поширити на всі ідентичні пристрої.

3.2.6Спектральна щільність стаціонарного випадкового процесу. Як відомо, при вивченні детермінованих сигналів досить зручним є гармонійний аналіз. У зв'язку із цим бажано було б використовувати апарат перетворень Фур'є і для випадкових процесів. Однак безпосереднє використання класичного гармонійного аналізу до випадкових процесів неможливо по наступних причинах:

1) реалізації випадкового процесу не задовольняють умові абсолютної інтегрованості

;

2) для випадкового процесу частотний спектр (у класичному представленні) також є випадковою функцією.

Рис.3.6 Реалізація випадкового процесу

Можна узагальнити гармонійний аналіз, здійснивши усереднення спектральних розкладань, які отримано для окремих реалізацій.

Для цього введемо нову функцію , що збігається на інтерваліз реалізацієювипадкового процесу, а за межами цього інтервалу дорівнює нулю (рис. 3.6)

(3.37)

Для такої функції є чинним перетворення Фур'є

(3.38)

Середня потужність сигналу дорівнює

(3.39)

З іншого боку, середня потужність сигналу може бути визначена через частотний спектр

.

(3.40)

Функція , що є частиною (3.40), характеризує розподіл потужності реалізації по спектру частот і називається спектральною щільністю потужності.

Для визначення спектральної щільності сукупності реалізацій необхідно здійснити усереднення по ансамблю можливих значень функції :

.

Очевидно, що

,

тому

.

При , остаточно отримуємо

.

(3.41)

Таким чином, спектральна щільність , що є усередненою характеристикою сукупності реалізацій випадкового процесу, відповідає прямому перетворенню Фур'є для кореляційної функції. Зворотне перетворення Фур'є має вигляд

.

(3.42)

Перетворення (3.41) і (3.42), що зв'язують функції й, мають назву перетворень Хінчина - Вінера.

Якщо замість кругової частоти ввести частотув герцах, то формули (3.41) і (3.42) приймуть вигляд

;	(3.43)
.	(3.44)

Для стаціонарних процесів усереднення по множині може бути замінено усередненням за часом, тому функція може бути представлена у вигляді

(3.45)

Таким чином, енергетичний спектр стаціонарного випадкового процесу може бути визначено двома шляхами:

а) безпосереднім спостереженням однієї реалізації та знаходженням межі(3.45);

б) знаходженням перетворення Фур'є кореляційної функції.

Функція відіграє велику роль при дослідженні перетворень випадкових сигналів у лінійних системах.

Для з'ясування фізичного смислу функції приймемо в (3.42)

.

(3.46)

Відомо, що виражає потужність сигналу, томудає усереднену енергетичну картину розподілу потужності сигналу вздовж частотного спектру.

Із властивості перетворень Фур'є слідує, що при розширенні функції її частотний спектрстискується й, навпаки, при звуженнічастотний спектррозширюється (рис. 3.7).

Рис.3.7 Перетворення Хінчина - Вінера

У зв'язку із цією властивістю розглянемо граничний випадок , коли спектральна щільність потужності є рівномірною на всіх частотах.

Випадковий процес, що має рівномірний на всіх частотах спектр, називають «білим шумом».

Функцію спектральної щільності білого шуму представлено на рис. 3.8, а.

Рис.3.8 Спектральна щільність та кореляційна функція білого шуму

Кореляційна функція білого шуму

(3.47)

оскільки інтеграл

є, як відомо, зворотним перетворенням Фур'є від дельта-функції .

Таким чином, кореляційна функція білого шуму відображується дельта ‑ функцією (рис. 3.8, б)

Білий шум характеризується тим, що його значення у будь-які два (навіть як завгодно близькі) моменти часу є некорельованими.

Необхідно підкреслити, що поняття «білий шум» засновано на спектральній властивості випадкового процесу й зовсім не пов'язане із законами розподілу щільності ймовірності. Зокрема, якщо білий шум має нормальний закон розподілу, то його називають нормальним білим шумом.

Білий шум є ідеалізацією, яка ніколи не зустрічається в реальних умовах, хоча б тому, що досить близькі значення випадкової функції практично завжди залежні, а також і тому, що реальні процеси мають кінцеву потужність, а для білого шуму повна потужність процесу нескінченна. Однак подібна ідеалізація в багатьох важливих практичних випадках значно спрощує математичний аналіз і не додає істотних погрішностей.

Спектри реальних процесів практично обмежені смугою частот внаслідок обмеженості смуги пропущення реальних систем.

Якщо білий шум пропустити через ідеальний фільтр низьких частот із граничними частотами ,, то на виході отримаємо шум з обмеженим спектром (рис. 3.9).

Рис.3.9 Спектральна щільність	Рис.3.10 Кореляційна функція

Кореляційна функція такого сигналу

,

(3.48)

де - середня потужність процесу.

Графік кореляційної функції (3.48) представлено на рис. 3.10.

Для такого процесу інтервал кореляції має обмежену величину, яку можна визначити, наприклад, як інтервал між точкоюй точкою, деперший раз обертається в нуль, тобто.

Отже, обмеження спектру спричиняє появі кореляції, причому зі скороченням смуги частот інтервал кореляції збільшується.

Якщо для випадкового процесу спектр неперервний і зосереджений біля деякої фіксованої частоти , причому виконується умова

,

(3.49)

то такий процес називається вузькосмуговим.

Якщо вузькосмуговий спектр має максимум при та є симетричним щодо цієї точки (рис. 3.11), то кореляційна функція процесу

.

Рис.3.11 Спектральна щільність вузькосмугового процесу

Оскільки за умовою смуга спектра є малою в порівнянні із частотою , то верхні межі інтегрування без особливої погрішності можна поширити нескінченно.

Беручи до уваги, що інтеграл від синуса в нескінченних межах дорівнює нулю, отримаємо

,

(3.50)

де

;

.

З (3.50) видно, що кореляційна функція вузькосмугового процесу, спектр якого розташовано симетрично біля деякої частоти , дорівнює помноженої накореляційній функції, що відповідає спектру, якій отримано з вихідного зсувом на величинув напрямку низьких частот.

3.2.7Ефективна ширина спектра випадкового процесу. При аналізі випадкових процесів із нерівномірним спектром (рис. 3.12) часто користуються поняттям еквівалентної або ефективної ширини спектра, яка визначається формулою

.

(3.51)

де - найбільше значення функції спектральної щільності.

Рис.3.12 Спектральна щільність процесу з нерівномірним спектром

Середня потужність процесу при цьому буде дорівнює

.

(3.52)

Інтервал кореляції визначається з урахуванням (3.41) співвідношенням

,

тому може бути встановлено наступний зв'язок між інтервалом кореляції й ефективною шириною спектра процесу:

.

(3.53)

Приклад 3.1. Знайти математичне очікування числа появ події в одному випробуванні, якщо ймовірність подіїдорівнює.

Випадкова величина - число появ подійв одному випробуванні - може приймати тільки два значення:(подіявідбулася) з імовірністюй(подіяне відбулася) з імовірністю. Шукане математичне очікування дорівнює

Отже, математичне очікування числа появ події в одному випробуванні дорівнює ймовірності цієї події.

Приклад. 3.2. Здійснено три постріли з ймовірностями влучення в ціль, рівними ;і. Знайти математичне очікування загального числа влучень.

Число влучень при першому пострілі є випадкова величина яка може приймати тільки два значення: 1 (влучення) з імовірністюй 0 (промах) з імовірністю.

Математичне очікування числа влучень при першому пострілі дорівнює ймовірності влучення (див. приклад 3.1), тобто . Аналогічно знайдемо математичні очікування числа влучень при другому й третьому пострілах

;

Загальне число влучень є також випадковою величиною, що складається із суми влучень у кожному із трьох пострілів:

.

Шукане математичне очікування дорівнює

.

Приклад 3.3. Знайти дисперсію випадкової величини , що задана наступним законом розподілу:

	1	2	5
	0,3	0,5	0,2

Дисперсія дискретної випадкової величини

Математичне очікування

.

Тоді шукана дисперсія

.

Приклад 3.4. Проводиться 10 незалежних випробувань, у кожному з яких імовірність появи події дорівнює. Знайти дисперсію числа появ подіїпри випробуваннях.

Число появ події в незалежних випробуваннях складається з появ події в окремих випробуваннях, тобто .

Величини взаємно незалежні, тому дисперсія суми випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин.

На підставі (3.10) можна написати наступну формулу для дисперсії величини :

.

Математичне очікування числа появ події в одному випробуванні дорівнює ймовірності події (див. приклад 3.1), тому

.

Величина є математичним очікуванням випадкової величини.

Величина може приймати тільки два значення, а саме з імовірністю йз імовірністю, тому

.

Тоді

.

Очевидно, для випадкових величин за аналогією будемо мати

; ; …...;.

Отже, шукана дисперсія

.

Приклад 3.5. У вимірювальному приладі відстань між сусідніми значеннями шкали постійна й дорівнює а. При огрубленні відліку до найближчого цілого ділення погрішність округлення по абсолютній величині не перевищує половини відстані між сусідніми значеннями шкали.

Знайти щільність розподілу ймовірності, математичне очікування й дисперсію погрішності огрублення.

Погрішність при огрубленні відліку можна розглядати як випадкову величину , що може приймати з рівною ймовірністю будь-які значення в межах від до . Отже, щільність розподілу випадкової величини постійна в межах від до й дорівнює нулю за цими межами.

Відомо, що

,

тому

.

Аналітично закон рівномірного розподілу можна записати наступним чином:

Математичне очікування й дисперсія погрішності округлення дорівнюють:

.

.

Приклад 3.6 Випадкова величина розподілена за нормальним законом, який задається функцією

.

Показати, що є математичне очікування, а — дисперсія випадкової величини .

Відповідно до (3.7) математичне очікування випадкової величини

.

Уведемо нову змінну

.

Звідси

.

Тоді отримаємо

.

Перший доданок правої частини дорівнює нулю, тому що під знаком інтеграла непарна функція. Відомо, що інтеграл

,

тоді

.

Дисперсія відповідно до (3.8)

.

Уведемо нову змінну

.

Звідси

.

Тоді

.

Інтегруючи вроздріб, поклавши й, після певних перетворень отримаємо

.

Приклад 3.7. Контрольно-вимірювальний пристрій має систематичну погрішність +30 мВ і випадкову погрішність, розподілену за нормальним законом зі середньоквадратичним відхиленням 10 мВ. Знайти ймовірність того, що загальна погрішність пристрою прийме значення, що належить інтервалу 10 ‑ 50 мВ.

Імовірність того, що погрішність пристрою не перевищить по абсолютній величині заданої межі, дорівнює

.

Введемо нову змінну

.

Звідси

.

Тоді

.

Користуючись функцією Лапласа

остаточно отримаємо

.

У нашому випадку

мВ і мВ.

Тоді за допомогою таблиці функції Лапласа (додаток 1) знаходимо

.

Приклад 3.8. Знайти спектральну щільність для процесу з кореляційною функцією виду функції.

Виходячи з визначення функції як межі прямокутного імпульсу, тривалостій висотиприінтеграл , де - довільна функція, може бути представлено у вигляді

.

Відповідно до теореми про середнє значення маємо:

.

Таким чином,

.

(3.54)

Тоді, відповідно до загальної формули (3.41), згідно з (3.54) знайдемо спектральну щільність

.

Отже, при кореляційній функції типу функції спектр рівномірний на всіх частотах (сигнал типу «білий шум», див. рис. 3.8а та б).

Приклад 3.9. Знайти кореляційну функцію періодичного сигналу з періодом .

Кореляційна функція сигналу дорівнює

.

Представимо періодичну функцію рядом Фур'є

.

Тоді

.

Відомо, що , тому дрібдорівнює нулю за будь-яких комбінаційі крім . Отже,

.

Як видно з отриманої формули, кореляційна функція періодичного сигналу з періодом є періодичною функцією аргументуз тим же періодом. Амплітуда гармоніки кореляційної функції дорівнює подвоєному квадрату амплітуди відповідної гармоніки. При цьому як парна функція розкладається в ряд по косинусах.

Приклад 3.10. Нормована спектральна щільність випадкової функції постійна на деякому інтервалі частот , і дорівнює нулю поза цим інтервалом (рис. 3.13). Визначити нормовану кореляційну функцію.

Рис.3.13 Нормована спектральна щільність

Виходячи з умови, що площа, обмежена кривою , дорівнює одиниці, знаходимо значенняпри.

;

.

З (3.42) маємо

.

3.3 Задачі для самостійної роботи

3.3.1 Знайти кореляційну функцію для процесу зі спектральною щільністю у вигляді функції -(рис. 3.14).

Рис.3.14 Спектральна щільність процесу

3.3.2 Білий шум зі спектральною щільністю проходить через підсилювач із частотною характеристикою у формі гаусової кривої (рис.3.15). . Знайти кореляційну функцію й спектральну щільність вихідного сигналу
	Рис. 3.15 Спектральна щільність процесу

3.3.3 Кореляційна функція випадкового процесу задана співвідношенням , де (рис.3.16). Знайти спектральну щільність випадкового процесу.
	Рис. 3.16 Кореляційна функція випадкового процесу

3.3.4 Знайти інтервал кореляції стаціонарного випадкового процесу з функцією кореляції.

3.3.5 Стаціонарний випадковий процес має ефективну ширину спектра, рівну 1,5 Мгц. Максимальне значення однобічного спектра потужності становить . Визначити дисперсію даного процесу.

3.3.6 Знайти середнє значення й дисперсію огинаючої вузькосмугового нормального випадкового процесу з функцією кореляції.

3.3.7 Вузькосмуговий нормальний випадковий процес має функцію кореляції. Знайти функцію кореляції й спектральну щільність огинаючої цього процесу.

3.3.8 Вузькосмуговий нормальний випадковий процес має функцію кореляції. Довести, що квадрат огинаючої цього процесу має функцію кореляції.

3.3.9 Вузькосмуговий нормальний випадковий процес характеризується функцією кореляції. Знайти одномірну щільність імовірності миттєвої частоти даного процесу.

3.3.10 Визначити спектральну щільність стаціонарного випадкового процесу , який описується функцією кореляції

3.3.11 Знайти функцію кореляції стаціонарного випадкового процесу, що має спектральну щільність .

3.3.12 Визначити спектральну щільність випадкового процесу з лінійно убутною нормованою функцією автокореляції

де .

3.3.13 Знайти кореляційну функцію й дисперсію стаціонарного випадкового процесу зі спектральною щільністю гаусова виду .

3.3.14 Знайти кореляційну функцію й дисперсію стаціонарного випадкового процесу з обмеженою спектральною щільністю низькочастотного виду

3.3.15 Згідно з заданою графічно функцією розподілу стаціонарного випадкового коливання (рис. 3.18) визначити щільність імовірності й зобразити зразковий вид реалізації даного процесу.
	Рис. 3.18 Функція розподілу

3.3.16 Опір ланцюга (лінійний елемент) і струм- некорельовані стаціонарні випадкові коливання. Визначити середнє значення електрорушійної сили, що створює струм у ланцюзі, якщо відомо, щоОм, аА.

3.3.17 Згідно з заданою щільністю ймовірності стаціонарного випадкового процесу (електричного струму) ,визначити коефіцієнт, функцію розподілута імовірність перебування значенняв інтервалі. Побудувати графікийдля випадкуА^-1.

3.3.18 Визначити математичне очікування, дисперсію, середній квадрат і середньоквадратичне значення стаціонарної випадкової напруги, який задано одномірною щільністю ймовірності

3.3.19 Функція розподілу стаціонарної випадкової напруги має вигляд

Визначити математичне очікування, дисперсію й середній квадрат цього процесу. Пояснити фізичний сенс цих параметрів.

3.3.20 Напруга на виході вимірювального підсилювача є нормальним стаціонарним випадковим процесом з математичним очікуванням мВ і дисперсієюВ². Визначити ймовірність того, що миттєве значення напруги не перевищить за модулем 150 мВ.

3.3.21 Кореляційні функції трьох випадкових процесів дорівнюють: а) ;б) ;в) . Визначити інтервал кореляції, де - нормована кореляційна функція процесу.

3.3.22 Визначити спектральні щільності середньої потужності стаціонарних випадкових коливань по відомим кореляційним: а) ;б) . Побудувати графіки отриманих.

3.3.23 Згідно з заданою графічно спектральній щільності середньої потужності (рис. 3.19) визначити кореляційну функцію стаціонарного випадкового процесу.
	Рис. 3.19 Спектральна щільність середньої потужності процесу

3.3.24 Визначити ефективну ширину спектра стаціонарних процесів за заданими кореляційними функціями: а) ;б) ;в) .

3.3.25 Визначити кореляційну функцію та дисперсію стаціонарного випадкового процесу, що має спектральну щільність середньої потужності .

3.4 Контрольні запитання і завдання

1. Які труднощі виникають при використанні -вимірної щільності розподілу ймовірностей випадкового процесу для аналізу систем передачі інформації?

2. Якими усередненими характеристиками описуються звичайно випадкові процеси?

3. Що розуміють під математичним очікуванням і дисперсією випадкового процесу?

4. Що розуміють під кореляційною функцією випадкового процесу?

5. Що розуміють під стаціонарністю випадкового процесу в широкому та вузькому сенсах?

6. Які основні властивості має кореляційна функція стаціонарного процесу?

7. Який випадковий процес називають білим шумом?

8. Якою є кореляційна функція білого шуму?

9. Що розуміють під ефективною шириною спектру випадкового процесу?

10. Який зв'язок існує між інтервалом кореляції та ефективною шириною спектру випадкового процесу?